淺談高中數(shù)學(xué)教材中“1”的七十二變

葉其基

摘 要：高中數(shù)學(xué)教材中，許多題目的解答離不開(kāi)“1”的身影，“1”就像孫悟空會(huì)七十二變，靈活掌握這些“1”的變化，給我們解題帶來(lái)極大的方便，本文就從指對(duì)函數(shù)，三角函數(shù)，不等式，二項(xiàng)式定理四個(gè)方面來(lái)尋找“1”的七十二變。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);“1”;指對(duì)函數(shù);三角函數(shù);不等式;二項(xiàng)式定理

一、指對(duì)函數(shù)中“1”的妙用

在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中，“1”在解決比較大小，過(guò)定點(diǎn)等題目中起到一個(gè)十分巧妙的作用。用上了“1”這個(gè)橋梁，許多問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。

例1（必修一p57）比較的大小

解：因?yàn)?? 所以

方法小結(jié)：因?yàn)?.7和0.9不相等，所以這兩個(gè)函數(shù)的大小不能直接利用單調(diào)性來(lái)判斷大小，故要找到一個(gè)橋梁，把這兩個(gè)值連接起來(lái)，通過(guò)這個(gè)橋梁“1”分別和這兩個(gè)數(shù)分別比較大小，然后確定這兩個(gè)函數(shù)值的大小。這里利用了“”這個(gè)變化。

例2（必修一p82）比較 的大小

解：因?yàn)?? 所以>

方法小結(jié)：這兩個(gè)對(duì)數(shù)不是同底，故也是不能用單調(diào)性來(lái)解決，這個(gè)時(shí)候用上了“”這個(gè)變化，順利地把這兩個(gè)函數(shù)值的大小比較出來(lái)。

例3函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)p，點(diǎn)p的坐標(biāo)為

解：令 x-3=0，這時(shí)x=3，則，故函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)（3，3），即點(diǎn) P的坐標(biāo)為（3，3）

方法小結(jié)：指數(shù)函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)（0，1），據(jù)此可解決形如的函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，即令，函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)，這里就要抓住這個(gè)變化。

例4.函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)

解：令x+3=1，這時(shí)x=-2，則，故函數(shù)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)（-2，-1）

方法小結(jié)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)（1，0），據(jù)此可解決形如的函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，即令x+c=1，即x=1-c，得y=b，函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)（1-c，b），這里就要抓住這個(gè)變化。

二、三角函數(shù)中“1”的變化

在三角函數(shù)中，“1”也是一個(gè)多面手，常見(jiàn)的變化是同角三角函數(shù)在的平方關(guān)系和tan45°=1，這些變化對(duì)我們解決相關(guān)的問(wèn)題是很關(guān)鍵的。

例5.（必修四 p69）已知tanα=3，計(jì)算sinαcosα

解：原式====

方法小結(jié)：在三角函數(shù)當(dāng)中經(jīng)常要用上，但是題目往往不會(huì)直接給出，要像例5那樣要無(wú)中生有，利用“”的性質(zhì)，變出個(gè)“1”來(lái)。所以在解題的時(shí)候一定要找準(zhǔn)方法，留意這個(gè)“1”的妙用。

例6.（必修四p130）計(jì)算

解： =

方法小結(jié)：在正切函數(shù)當(dāng)中往往隱藏著tan45°=1這個(gè)條件，許多時(shí)候用上了“1”這個(gè)變化在求解中馬上就可以把非特殊值的角度算成特殊值的角度，從而達(dá)到解題的目的。

三、“1”在基本不等式中的靈活變化

例7.（選修4-5p35）設(shè)，，求證：

證明：因?yàn)?所以=（a+b）（） = ≥ =4

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立。

方法小結(jié)：在不等式證明或者求最值的時(shí)候，需要我們來(lái)創(chuàng)造這個(gè)條件“”。這里“1”的這個(gè)變化就能給我們創(chuàng)造“定值”，但是有些題目中并沒(méi)有直接給出“1”，我們就要把“1”變出來(lái)或者挖掘題目當(dāng)中隱含的“1”出來(lái)，所以在解題中我們一定要多留意題目中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，多積累一些常用的變化，這給我們解題會(huì)帶來(lái)意想不到的效果。

四、不等式證明中“1”的代換。

例8（選修4-5p22）已知是正數(shù)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。

證明：將兩邊不等式相除，得

根據(jù)要證的不等式的特點(diǎn)（交換的位置，不等式不變），不妨設(shè)>0，于是 所以 ?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故

方法小結(jié)：在不等式證明中一般用“作差比較法”和“作商比較法”，其中一個(gè)“作商比較法”往往就是要借助“1”的代換來(lái)證明證明一些比較復(fù)雜的不等式證明題.即：當(dāng)時(shí)，

五、“1”在二項(xiàng)式定理中的妙用

例9（選修2-3p40）用二項(xiàng)式定理證明5555+9能被8整除

證明：因?yàn)?555+9=（56-1）55+9=

由于各項(xiàng)都含有因數(shù)8，故能被8整除，即5555+9能被8整除

方法小結(jié)：面對(duì)一些高次方的多項(xiàng)式整除問(wèn)題，我們就可以考慮把這個(gè)高次方的數(shù)變成一個(gè)數(shù)與“1”的運(yùn)算，即：，從而變成二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通過(guò)二項(xiàng)式定理的展開(kāi)運(yùn)算來(lái)達(dá)到我們解題的目的。

高中數(shù)學(xué)教材中“1”的七十二變?cè)诮忸}中起著許多神奇的作用，借助“1”的變化來(lái)達(dá)到“化難為易，化繁為簡(jiǎn)”的目的，重視“1”的靈活運(yùn)用，會(huì)找到解題的“1”想不到的方法，會(huì)起到“1”點(diǎn)通的妙效。當(dāng)然，“1”在教材中還有許多變化，需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)當(dāng)中不斷總結(jié)和歸納。

參考文獻(xiàn)：

[1]普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1 4 [M].北京.人民教育出版社