搭建腳手架 還原規律本身

羅禮紅

摘 要：北師大版小學數學五年級上冊“點陣中的規律”不應只滿足于計算出點子數量，更應著眼于“規律”本身，因此搭建擺一擺的活動，進而創造小組活動、找到不同觀察所帶來的的不同規律，感受多角度觀察的思維方法，滲透數形結合與建模思想。

關鍵詞：點陣;規律;多角度;數形結合

《點陣中的規律》是北師大版五年級上冊數學好玩《圖形中的規律》的后半節課，筆者將它作為一節獨立課進行教學。在磨課中，當教師給學生一個自主發現規律的學習單后，學生大多數都填寫了“1×1，2×2，3×3……”，對于其他角度觀察的規律，比如斜著觀察、拐彎觀察，學生不僅沒有產生這樣的觀察角度，甚至覺得這樣的觀察寫出來的算式很麻煩。在第三次磨課時，有一個學生居然忍不住喊了出來：“老師，他觀察得到的算式太麻煩了！”

難怪每次磨課都不理想，我恍然大悟，原來學生對規律并不認可，他們以為要找的是最佳算法。當我們認為學生會自然地發現點陣的三種觀察方法時，我們其實是站在成人的角度上想當然而已。想要貼著學生的思維前行，就要還原點陣的規律本身。

教師如何搭建腳手架，使學生真正去發現更多的規律本身呢？筆者從這個角度出發設計教學活動，放手讓學生先有規律地擺一擺5號點陣點陣，為學生的多角度觀察搭建腳手架，再讓學生自主觀察整組點陣并列算式、找規律，讓學生獲得更多的活動經驗，感受“數形結合、多角度觀察”的意義。

教學目標：

1、以古希臘畢達哥拉斯學派研究形數的歷程為主線，讓學生經歷自主探究，能在觀察（劃分）活動中，發現正方形點陣中隱含的規律，體會圖形、算式、點數的關系。

2、結合擺一擺、觀察、列式、交流等活動，發展歸納和推理能力。

3、通過多角度觀察點陣，滲透數形結合與建模思想。

學具準備：鉛筆、尺子、橡皮、水筆、磁力板、小磁鐵。

教學過程：

一、故事引入，操作鋪墊

1、故事引入

師：你們喜歡聽數學家的故事嗎？今天老師給大家介紹一位古希臘數學家——畢達哥拉斯，他喜歡通過點陣來研究數。開始時，他在沙灘上擺石子，一個石子表示1，兩個石子表示2，3個石子表示3……后來他用石子擺出各種各樣的圖形，比如三角形、正方形、長方形等，借此來研究數，研究算式，并留下了許多寶貴的發現。他在研究中還完成了一項極限挑戰，能極速挑戰1+3+5+7+9+11+13這些加法算式呢！后人把每個小石子看成點，就組成了我們今天要研究的點陣！

2、觀察操作

（1）觀察點陣

我們先來看看這組點陣吧！逐個出示點陣圖（如下圖），看看這些點陣——由點組成的有規律的圖形，你有什么發現？

生：都是正方形的，每行和每列的點數一樣多。

生：后一個點陣比前一個點陣多一行多一列，點陣越來越大了。

師：很好，大家都是細心、會觀察的同學！點陣比較多，我們分別給它們編號：1號點陣，2號點陣……

（2）同桌合作，有規律地擺點陣

師：5號點陣是怎樣排列的？你能根據前面4個點陣的規律，有規律地擺出來嗎？同桌合作擺一擺，要擺得又快又有規律哦！

同桌合作過程中，教師巡查、指導，發現學生的不同擺法。

師：同學們動作真快，都擺出了5號點陣！誰來說一說怎么擺的呢？

生：我是一行一行擺的。

生：我在4號點陣的基礎上再擺一行一列。

生：我是一層一層往外擺的。

教師根據學生的擺法，課件動態演示，并給各種方法命名（如上圖）。

師小結：小小的一個點陣，同學們發現了不同的擺法！今天，你們想不想過一把當數學家的癮，自己來找找這組點陣中的規律？那現在我們開始自主學習——找規律！

[我的思考] 結合數學家的故事引入，能很好地激發學生的學習興趣。為什么要安排擺一擺的活動呢？若不給學生擺一擺，直接讓學生從不同的角度觀察點陣、發現規律，留給學生的思考空間會比較多，但在多次磨課中卻發現，大多數學生不理解什么叫做“不同角度觀察”，反而因為寫出乘法算式而沾沾自喜。哪怕有個別學生發現了不同角度觀察，也造成“自主探究出規律”的學生比率很低，學生只是被動地聽取他人的想法，甚至有些學生認為斜著觀察、拐彎觀察的列式都太麻煩了。因此，教師有必要在這里安排有規律地擺一擺5號點陣的活動，迫使學生去思考不同的擺法，為后面的“不同角度觀察”做鋪墊。這樣學生的自主探究變得更有目標性，突出重點，也更好地引領了學生，提高學生發現規律的參與度，對規律的體驗更為充分。

二、合作探究，交流規律

1、活動要求：

教師出示學習卡，介紹要求：第一步觀察，第二步列式，第三步交流，并讓學生默讀要求，最后請一名學生說一說：我們的活動要完成哪些任務？此處，學生用自己的語言表達后，能更清楚要求。

2、小組活動，匯報交流

學生小組活動，教師巡查指導，發現各種有意思的觀察方法和算式，再組織交流。

師：大家在小組活動中非常積極，現在我們邀請幾位同學來給大家分享。匯報時，先說一說你的算式，再說說有什么發現。

（1）橫著觀察

生：我橫著觀察，第1個點陣有1×1個點，第2個有2×2=4個點，第3個有3×3=9個點……大家有什么疑問嗎？

生：你能用圖形說明這個3×3的意思嗎？

生：橫著觀察，每行3個，有3行，就是3個3。

師：繼續這樣觀察，第6個點陣怎么計算？第10個點陣呢？（教師追問：沒有圖形了，你還能想象出圖形的樣子嗎？）

師：第一個點陣1×1，第二個點陣2×2……你們發現了這樣觀察，點數有什么規律？

生：第幾個點陣就是幾×幾。

（2）斜著觀察

教師展示學生作品，并與學生互動。

師：5號點陣，為什么不加到6？

生：斜著觀察時，最多的只有5個點。

師：從這些算式中，大家發現了什么規律？

生：算式是有對稱的，中間有一個最大數。

生：都是從1開始加到一個最大的數，然后再往回加到1。

師：繼續這樣觀察，10號點陣怎么列式？

生：假如是10號點陣，可以從1加到10，再加到1.

師：厲害，看起來復雜的算式，卻非常有規律！太棒了，還有不同角度觀察的嗎？

（3）包圍法觀察

教師展示學生作品，特別注意：只出示算式，遮住圖形，不出示觀察角度。

師：大家能根據算式，猜一猜他是怎么觀察的嗎？

生：他是包圍法（或拐彎、或直角都行）觀察的……（用手指）

師：真厲害。包圍法這個詞一下子讓人聽明白了。那誰能結合圖形說一說1+3+5+7+9的意思？

生：看這個5號點陣，拐彎觀察，分別是1個點，3個點，5個點，7個點，9個點。每次多兩個點，將它們相加就是總點數。

教師追問：繼續這樣觀察，第7個點陣怎么列式？

生1：1+3+5+7+9+11+13。最后一個數是13，可以認為是2×7-1得到的，中間重復了一個點。

師：還有不同的發現嗎？

生：算是都是從1開始的單數相加的。

師：1號點陣是1，2號點陣有兩個數相加，3號點陣有3個數相加 ……這有規律嗎？

通過這樣的提問，引導學生說出“第幾個點陣就從1開始加幾個連續單數”。讓學生在對比、想象中加深了對算式規律的認識。

三種方法小結：

師：為什么同一個點陣，我們列出了不同的算式？

生：從不同的角度觀察，列式就不同，規律就不同。

師：是啊，我們得出了不同的算式，乘法簡潔，后面的兩種很有規律。以5號點陣為例，這些算式的結果都等于多少？（25）以后我們遇到這些有規律的算式就可以化成這個乘法算式來計算了！還記得我們的極限挑戰嗎？

3、考考你：極速挑戰

（1）1+3+5+7+9+11+13+15+17

生：有9個從1開始的單數，所以結果是9×9=81.

生：最后一個數17=9×2-1，我想到了這是第9個點陣，所以也是81.

（2）1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=？

生：這個有規律的算式中間最大數是9，所以是第9號點陣，結果是9×9=81。

師：雖然是算式，但是大家想到了剛才學習的正方形點陣，用圖形來解決算式問題，太神奇了！剛才從不同的角度觀察點陣，就列出了不同的算式，這是由形到數的過程，現在看到算式，我們就想到了點陣，這恰恰是由由數返回到形的過程，正如數學家華羅庚說過的一句話：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好！

[我的思考]這是本節課的核心內容——學生自主探究一組點陣中的規律。教師鼓勵學生大膽匯報自己發現的規律，并在匯報中激發生生互動，并不斷地引導學生思考不同觀察方法得到的不同規律，使“規律”成為課堂的主旋律。最后，教師注重多種方法的聯結，看似簡單的問題，實在讓學生快速將方法串聯在一起。極限挑戰既是對規律的應用，同時又是對規律的升華，挑明數形結合的思想，讓數形結合的思想在學生的心中落地生根。

三、趣味點陣，課堂延伸

師：老師還帶來一個趣味點陣，請大家來挑戰！觀察下圖中已有的幾個圖形，你發現了什么規律？請你按規律畫出下一個圖形，并給這組點陣列出有規律的算式。

生：可以按一個直角一個直角轉彎觀察，第一幅圖有3個點，第二幅圖增加4個點，第三幅圖接著增加6個點，最后一幅圖再增加8個點，所以得到一組算式：3;3+4=7;3+4+6=13;3+4+6+8=21。最后一幅如下圖A。

生：可以將點陣添加幾個點變成正方形，然后再減掉添加的點。于是得到一組算式：2×2-1=3;3×3-2=7;4×4-3=13;5×5-4=21。最后一幅如下圖B。

生：橫著觀察，前幾行都相等，最后一行多1個點。于是得到一組算式：1+2=3;2+2+3=7;3+3+3+4=13;4+4+4+4+5=21。最后一幅如下圖C。

師：這個點陣叫做螺旋點陣，大家能從不同的角度發現它的點數，真奇妙！

圖A

圖B

圖C

[我的思考]僅僅正方形點陣的學習略微單調，不利于學生對點陣的整體認識。因此，有必要進行適當的拓展。此處，結合螺旋點陣，讓學生應用“不同角度觀察”，增加思維的靈活性。在數學上，教師希望學生舉一反三、一題多解，其實就是希望學生多角度觀察和思考。因此，這節課的價值不僅體現在這節課上，更體現在學習方法上。

四、回顧課堂，整理反思

師：借助正方形點陣、螺旋點陣，我們發現了很多規律，這些都是數學家們的重要發現，所以同學們今天已經超額完成了小小數學家的任務。關于點陣，你還想學習什么？這節課你最大的收獲是什么？

生：數形結合真奇妙。

生：我知道了如何從不同角度觀察點陣。

生：從不同角度觀察，點陣的規律就不同。

師小結：真奇妙，換個點陣看這些點陣，就有了這么多神奇的發現！就像那首詩所說的：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同！點陣中的規律還有很多很多……希望大家今后繼續探索點陣的奧妙！生活中處處都有規律，大家要有一雙善于發現規律的眼睛！

[我的思考]課雖止，探究不止。此次，學生回顧整理，既引發學生的反省意識，也讓學生放眼生活，拓展視野，激發學生繼續尋找點陣及其規律。

教學反思：

本節課立足于正方形點陣，“畢其功于一役”，在研究一組正方形點陣中將規律挖深、吃透。教學貼著學生的思維前行，創造機會讓學生進行多維探究，在數形結合中引發學生建立算式的模型，從圖到數到式，再從式到圖到數，學生的觀察能力、思維能力不斷形成并逐步提高。教師透過現象看到規律的本質，在教教材中顯性知識的同時，挖掘出其包含的隱性知識，牢牢把握住了這節課的規律本身。

學生在學習之中收獲的不僅僅是規律，更重要的是找規律的方法——多角度觀察。在磨課中，學生高呼“老師，他觀察得到的算式太麻煩了”，但是在調整教學方式后，學生在回顧整理中將“多角度觀察”作為一項重要的收獲，這無形中提升了學生的求異思維、發散思維，有效地促進了學生數學思維的發展。