對一道三角高考試題的解法探究及教學(xué)思考

林佩芬

《課程標(biāo)準(zhǔn)》 指出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)的情境并提出問題對于啟發(fā)學(xué)生思考、發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要性。

本文以一道三角試題的解法探究為例，就教學(xué)思考作一探析，以饗讀者。

1.題目再現(xiàn)及解法探析

試題（2014年高考課標(biāo)全國卷Ⅰ第8題）

設(shè)，，且，則（ ）

A. B.

C. D.

分析：本題是一道考查基本知識與基本方法的好題，入口寬，解法多，考生如果能熟悉運用三角公式，可得到如下幾種求解方法。

法1：由得：，

，所以。

因為α-β，，所以α-β，

，故選B。

法2：由得：，

，，。

因為，所以，，故選B。

法3：由得：

，

所以。

因為，所以，，故選B。

法4：由得：

，

所以。

因為，所以，，故選B。

評析：在課堂教學(xué)時，一般情況下，教師不應(yīng)將解題思路原封不動地交給學(xué)生，而必須有所為，有所不為。

教師在選擇傳授的某一種或兩種思路時，就要考慮學(xué)生的意識機(jī)能中，所存在的數(shù)學(xué)知識、方法、數(shù)學(xué)觀念，還要考慮情感的體驗等，這是基于最近發(fā)展區(qū)的教學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知水平，能讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，真正理解知識的本質(zhì)。

有效的數(shù)學(xué)解題教學(xué)是基于學(xué)生認(rèn)知水平的，學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)是學(xué)生的知識生長點，也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基準(zhǔn)點。教師根據(jù)學(xué)生的思維認(rèn)知水平促疑生疑，以引起學(xué)生的共鳴，提升學(xué)生的興趣，提升教學(xué)效能。

2.思想感悟及素養(yǎng)培養(yǎng)

但若教學(xué)僅止步于此，可以看到，這樣的教學(xué)活動是無法讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，更不可能感悟數(shù)學(xué)的基本思想。為此必須創(chuàng)設(shè)思想立意活動，引領(lǐng)學(xué)生立意于思想解決問題。

引領(lǐng)學(xué)生立意于特殊與一般思想，可以感知：α隨著β的變化而變化，這樣的α與β有無窮多對，但α與β間的關(guān)系不會改變，則可將β特殊化予以求解。如取，即得，驗證選項即知正確答案為B。

在這里，“特殊與一般思想”的立意是問題獲得輕松解決的關(guān)鍵。正是由于“特殊與一般思想”的立意，我們“依據(jù)邏輯規(guī)則從特殊到一般與一般到特殊地進(jìn)行推理”，將問題輕松予以解決，在這個過程中，邏輯推理等能力得到了發(fā)展。

引領(lǐng)學(xué)生立意于有限與無限思想，可以感知：α隨著β的變化而變化，β可無限趨近于0，也可無限趨近于，則可將β極限化予以求解。令，則，，驗證選項可排除A、C;令，則，，驗證選項可排除D，故正確答案為B。

在這里，“有限與無限思想”的立意是問題獲得輕松解決的關(guān)鍵。正是由于“有限與無限思想”的立意，我們“從事物的具體背景中抽象出了一般規(guī)律”，并依據(jù)規(guī)律將問題輕松予以解決，在這個過程中，數(shù)學(xué)抽象等能力得到了發(fā)展。

可見，“思想立意”能讓學(xué)生感悟知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實踐的經(jīng)驗，同時提升和發(fā)展邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象等能力，是基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的重要舉措。

3.教學(xué)啟示與建議

“四基”提出的目的是通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅把數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)和手段，還要學(xué)會思考，逐步具有數(shù)學(xué)抽象的能力和邏輯推理的能力，這是核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)要求。

為了實現(xiàn)這樣的教育目標(biāo)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中至少應(yīng)當(dāng)遵循這兩個原則：把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，設(shè)計并且實施合理的教學(xué)活動。

之所以要求數(shù)學(xué)教學(xué)要遵循這兩個原則，是因為學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，本質(zhì)上是學(xué)生自己“悟”出來的，是學(xué)生通過自己的獨立思考，以及和他人的討論與反思，逐漸養(yǎng)成的一種思維習(xí)慣。

學(xué)生也只有這樣，才能在掌握知識技能的同時理解知識的本質(zhì)，感悟知識所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，在這個基礎(chǔ)上“積累數(shù)學(xué)思維和實踐的基本經(jīng)驗”，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

為此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，設(shè)計合適的情境與問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言描述背景、表達(dá)問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析問題、解決問題，在問題解決的過程中，促使學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，收獲數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)的基本思想，在這個基礎(chǔ)上培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中. 《高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、評價與教學(xué)實施》.中小學(xué)教材教學(xué)，2017.5

[2]林新建. 思想立意，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)通報，2019.6