與橢圓、雙曲線頂點有關的性質

王坤蓉

文[1]研究了橢圓和雙曲線在頂點處的一些直角性質，本文將提出更一般的結論。

定理1、如圖，設橢圓的上、下頂點分別為B1，B2，M，N是橢圓上的兩動點（不與B1，B2重合），直線MB1與NB2交點為P，直線MB2與NB1交點為Q，則PQ⊥y軸。

證明：設B2P，B2Q所在直線斜率分別為k1，k2，則由直線B2P的方程為y=k1x-b，

由，解得N點的坐標為，同理可得M點坐標為，所以。

由解得點Q坐標為，同理可得點P的坐標為，∴PQ⊥y軸

由此定理以及其證明過程可以得到以下的推論：

推論1、

推論2、設直線B2M，B2N的斜率分別為k1，k2，若k1，k2為常數m，則有

（1）點P，Q恒在定直線上

（2）

（3）（其中O為坐標原點）

推論3、如圖，記直線MB1與NB2交點為P，直線MB2與NB1交點為Q，k1，k2分別為B1M，B1N的斜率，若k1·k2為常數m時，點P，Q恒在定直線。

其余性質與推論2類似。

推論4、如圖，設橢圓的左、右頂點分別為A1，A2，M，N是橢圓上的兩動點（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點為P，直線MA2與NA1交點為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）

（3）若k1·k2為常數m（k1，k2分別為A1N，A1M的斜率），則

①P，Q恒在定直線上。

②

③

推論5、如圖，設橢圓的左、右頂點分別為A1，A2，M，N是橢圓上的兩動點（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點為P，直線MA2與NA1交點為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）若k1·k2為常數m（k1，k2分別為A2M，A2N的斜率），則P，Q恒在定直線上。

其余性質與推論4類似。

定理2、設雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2，M，N是雙曲線上的兩動點（不與A1，A2，重合），直線MA1與NA2交點為P，直線MA2與NA1交點為Q，則有

（1）PQ⊥x軸。

（2）

（3）若k1·k2為常數m（k1，k2分別為A1N，A1M的斜率），則

①P，Q恒在定直線上。

②

③

特別地，當k1·k2=-1即m=-1時，就可以得到文[1]中，所有的結論。

參考文獻

[1]數學通訊《橢圓和雙曲線的一種直角性質》2006年第12期