從中國版《幾何原本》研究測度幾何

程碧波

摘要：本文基于中國版《幾何原本》重新審視測度問題，提出幾何與幾分理論下的測度等、測度鄰域、測度勢和測度連續(xù)等定義，并給出新理論下的確界定理、區(qū)間套定理、中值定理等。

關鍵詞：測度;幾何;幾何原本;測度幾何

本文基于徐光啟版《幾何原本》（以下稱中國版《幾何原本》）重新審視測度問題。中國版《幾何原本》卷五第一界，闡述了“幾何”之含義：“分者，幾何之幾何也。小能度大，以小為大之分。以小幾何度大幾何謂之分。曰，幾何之幾，何者謂非？此小幾何不能為此大幾何之分也。如一點無分亦非幾何，即不能為線之分也。一線無廣狹之分，非廣狹之幾何，即不能為面之分也。一面無厚薄之分，非厚薄之幾何，即不能為體之分也。曰，能度大者謂小幾何，大幾何能盡大之分者也。”這段話清晰地闡述了何為“幾何”：某量可以被更小的某度來分盡，既無不足亦無余數(shù)的，此量即為大幾何，此度即為小幾何。如果不能分盡，就“不為大幾何內(nèi)小幾何也”，換言之，就不叫幾何。本段對不能分盡的，給出了另一個專門名詞“幾分”。“若不盡分者，當稱幾分”。

一、切邊角、曲線角與無窮小量的圖形與數(shù)學表示

通常認為可繪制出的量均為有限小量，但中國版《幾何原本》給出了可繪制的無窮小量“切邊角”。“切邊角”即切線與曲線的夾角，其無限趨于0但實際上并不等于0。進一步地，“切邊角”是導數(shù)數(shù)據(jù)的代表，絕大多數(shù)導數(shù)值的極限為有窮值，但導數(shù)值本身并不是有窮值。例如：

（1）式即中國版《幾何原本》所說的“曲線角”，其值包含無窮小量。通常說其實取的是時的極限值，即直線角斜率。任何時候的曲線角與斜率相差小量。因此可繪制出的量中通常均有無窮小量。由（1）亦可知，將舍棄為0的后果，是失去了“曲線”的特征。更一般地，現(xiàn)代數(shù)學把點作為線的構(gòu)成部分，把單點作為無窮區(qū)間套的唯一公共點，都表明現(xiàn)代數(shù)學認為存在尺度為無限小乃至0的圖形。

下文將含有無窮大、無窮小項的數(shù)值稱為無窮數(shù)值，否則稱為有窮數(shù)值。并用表示所有正無窮小數(shù)，表示所有負無窮小數(shù)。因此表示既不無窮小亦不無窮大的數(shù)（但既可能有窮也可能無窮），稱為有限數(shù)。

二、現(xiàn)有極限、連續(xù)及相關定理存在的問題

當前的數(shù)學體系對測度的理解存在較大的問題，這也說明此數(shù)學體系的確是在中國版《幾何原本》的基礎上發(fā)展，但卻錯誤中國版《幾何原本》關于測度的闡述，從而出現(xiàn)方向性的問題。