橢圓標準方程的變式探究

摘 要：求解橢圓的標準方程是橢圓中的基本問題，此類問題變化多端，理解常見的橢圓標準方程的變化題型，能夠對該類試題的掌握起到關鍵性作用.

關鍵詞：橢圓;標準方程;變式探究

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0029-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：程傳芝，女，中學高級教師，從事高中數學教學研究.

一、規(guī)律分析

高考對橢圓的考查多以解答題的形式考查，也有少數年份在客觀題中進行考查.以選擇題、填空題的形式考查橢圓的定義、焦點坐標、離心率、標準方程等問題;以解答題的形式考查橢圓的性質、直線與橢圓的關系、與其它知識交匯（如平面向量），涉及到最值問題、定值（定點）問題、幾何量的取值范圍問題，以及存在型探索性問題.預計2021年高考對橢圓的命題有以下特點：（1）以選擇題或填空題考查橢圓的定義和性質，難度中等;（2）以解答題形式重點考查橢圓的綜合問題，多與直線結合進行命題，難度較大.

二、母題探究

母題 已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為45，則橢圓的標準方程為（? ）.

A.x26+y24=1? B.x216+y236=1

C.x236+y216D.x249+y29=1

解析 由長、短半軸長之和為10，焦距為45，可得a+b=10，2c=45，∴c=25.又a2=b2+c2，聯立a+b=10，a2-b2=20，可解得a=6，b=4.

∵焦點在x軸上，∴所求橢圓方程為x236+y216=1.故選C.

點評 根據條件求橢圓方程常用的主要方法有：

（1）定義法，定義法的要點是根據題目所給的條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義;

（2）待定系數法，待定系數法的要點是根據題目所給的條件確定橢圓中的兩個系數a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的標準方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），再用待定系數法求出m，n的值即可.

三、變式分析

變式1 （已知離心率求橢圓標準方程）已知中心在坐標原點的橢圓過點A（-3，0），且離心率e=53，則橢圓的標準方程為.

解析 若焦點在x軸上，由題知a=3，因為橢圓的離心率e=ca=53，所以c=5，b=2.所以橢圓方程是x29+y24=1.若焦點在y軸上，則b=3，a2-c2=9，又離心率e=ca=53，解得a2=814.故橢圓的標方程是

y2814+x29=1.

變式2 （變換條件求橢圓方程）在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為63，直線l：y=13x與橢圓E相交于A，B兩點，AB=210，則橢圓的標準方程為.

解析 由離心率不妨設a=3m，c=6m，b=3m（m>0），則橢圓方程為x29m2+y23m2=1.與直線y=13x聯立，可得x2=274m2，x=±332m，x1-x2=33m，且1+k2=103，由弦長公式33m×103=210，解得m=23，據此可得橢圓方程為x212+y24=1.

變式3 （變?yōu)槔命c差法求橢圓標準方程）已知橢圓E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F3，0，過點F的直線交E于A、B兩點.若AB的中點坐標為1，-1，則E的方程為（?? ）

A.x245+y236=1?? B.x236+y227=1

C.x227+y218=1D.x218+y29=1

解析 設Ax1，y1，Bx2，y2，直線AB的斜率 k=-1-01-3=12.x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式相減得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，∴1a2+1b2×12×2-2=0，即a2=2b2.又c2=9，a2=b2+c2，解得： a2=18，b2=9，方程是x218+y29=1，故選D.

? 參考文獻：

[1]沈杰.關于橢圓標準方程的推導[J].高中數學教與學，2005（09）：13.

[2]陳明輝.橢圓標準方程推導方法的探究[J].中學生數理化（學研版），2015（04）：32-33.

[3]陳國林.橢圓中的最值問題歸納[J].數理化解題研究，2017（31）：11-12.

[責任編輯：李 璟]