淺談高中數學解題中的幾類“陷阱問題”

摘 要：隨著教育的不斷深入，我國數學高考的命題也開始朝著綜合能力考查的趨勢前進.但在這種綜合型的命題里，往往會出現一些帶有“陷阱”的試題，若不能夠幫助學生把握好這幾類題型，就容易讓學生被試題中的“陷阱”所迷惑，導致無法快速進行解析.就此，本文重點分析了高中數學解題中幾類的“陷阱問題”，從而幫助學生能夠通過形成聯想記憶來對這類題型進行快速解答，提高自身的學習效率.

關鍵詞：高中數學;解題;陷阱問題

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0019-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：邱智偉（1989.2-），男，福建省莆田人，碩士，中學一級教師，從事高中數學教學研究.

一、綜合利用基礎知識，解決“模型”型陷阱問題

扎實的數學基礎對于高中數學來說有著重要的意義，甚至許多數學題目都以數學基礎為標準進行對應的設題，其中就包括“模型”型陷阱.所謂的“模型”型陷阱就將兩個相似的知識點和數學模型放在同一道題目中進行運用，從而考查學生的綜合分析能力.但事實上，這種陷阱容易讓學生在分析此類問題的過程中，受到原先知識的阻礙，從而影響自身對問題的判斷.尤其針對一些基礎薄弱的學生來說，這種題型是最容易造成知識點混淆.

例題1 如圖，點P是單位圓上的一個頂點，它從初始位置P0開始沿著單位圓按順時針方向運動角α（0<α<π2）到達點P1，然后沿著單位圓逆時針方向運動π3到達點P2，若點p2的橫坐標為-45，則cosα的值等于.圖1

解析 ∵cos（α+π3）=-54，

∴sin（α+π3）=35.

∴cosα=cos[（α+π3）-π3]

=12cos（α+π3）+32sin（α+π3）

=12×（-45）+32×53=33-410.

思路解讀 這道例題主要考查的是三角函數的定義以及兩角和與差公式的理解，但許多學生在做關于這類題型時，往往會忽略角度所在的象限，從而導致無法正確轉換數值，最終得出錯誤的結果.所以，關于這類“模型”型陷阱的問題，大多都是考查學生對綜合知識的運用，能否有效的理解基本的數學定義和概念.因此，在實際解決這類題型時，首先就要能夠關注知識點之間的串聯.其次，要能夠仔細觀察題目條件與模型之間的關系.最后，能夠根據現有的條件準確運用學習過的數學定理來解決對應數學題，從而提高問題解決的效率.

二、發散學生數學思維，解決“方法”型陷阱問題

部分學生在解題的過程中，往往會受到傳統解題思路的限制，導致在實際解題的過程中無法找尋新的解題思路.而這種“方法”型陷阱就是針對這類學生進行設置的，一旦學生在解題思路上出現局限性，就會出現看似合理運用方法解題，卻依舊出現錯誤的情況.所以，解決這類題型，首先就是要能夠使學生形成嚴謹的解題思維.

例題2 設有四個數成等比數列，其乘積為16，中間兩項的和為5，試求公比q的值.

誤解 設這四個數分別為aq3，aq，aq，aq3則aq3×qa×aq×aq3=16，a4=16.

又中間兩個數為2q，2q，

知2q+2q=5，則2q2-5q+2=0，

∴q1=12，q2=2.

當q=12時，四個數為16，4，1，14，公比為14;

當q=2時，四個數為14，1，4，16，公比為4.

思路解讀 ：該題是一道“方法”型陷阱的問題，主要考查學生對方法使用的能力.但許多學生在做這道題時，往往受到思維定勢的影響，把處理等差數列問題的方法錯誤的遷移到等比數列中來，

以上解法受四個數成等差數列，設成a-3d，a-d，a+d，a+3d的影響，將成等比數列的四個數設成aq3，aq，aq，aq3，而這樣的四項只能是同號的，實際上成等比數列的四個數不一定是同號的.

正解 設這四個數是a，aq，aq2，aq3，

由乘積條件有a4a6=16，得a2q3=±4.

由和的條件有aq+aq2=5.

故得方程組

（1）aq+aq2=5，（aq）（aq2）=4

或（2）aq+aq2=5，（aq）（aq2）=-4.

解方程組（1），答案同原解.

解方程組（2），得

a=（5+41）22（5-41）q=5-415+41，

或a=（5-41）22（5+41）2，

q=5+415-41.

（5+41）22（5-41），5+412，

5-412，

（5-41）22（5+41）;

或（5-41）22（5+41），5-412，5+412，（5+41）22（5-41）.

綜上，本題正確答案：q的值為14或4或5-415+41或

5+415-41.

三、加強學生讀題能力，解決“條件”型陷阱問題

讀題能力對于高中數學來說尤其重要，許多高考題目都喜歡考查學生的審題，只有學生對題目進行認真的閱讀、仔細審題，才能夠逐步發現其中蘊含的隱藏信息，進而做到快速準確地解題.不僅如此，這類“條件”型的陷阱也是日常數學考試中經常出現的一種類型，其原理就是通過隱藏一些數學條件來考查學生的讀題能力.甚至有些數學題會故意給出一些多余的條件和迷惑性的條件來進行干擾，設置不同的陷阱，若學生不能夠有效把握準確的讀題能力，就會導致在解題中出現錯誤的思維.

例題3 已知△ABC，點G為重心，過點G作任意一條直線分別交邊AB、AC于E、F，設AE=xAB，AF=yAC，求證：1x+1y=3.

解析 這道題中的x、y為AB、AC上向量的比例系數，因而，首先需要讓兩邊上能夠建立向量的直接關系，在變化的過程中，E、G、F三點共線是不變的，并且AE、AG、AF滿足共線定理的內容，從而設D為BC的中點，則

∵AD=12AB+12AC，AG=23AD，

則32AG=12AB+12AC，代入AE=xAB，AF=yAC，

∴AG=AE3x+AF3y.

又∵E、G、F三點共線，∴13x+13y=1.

思路解讀 這道題是以三點共線為軸的一道問題，其設置對學生思路啟發最重要的就是要能夠注意到E、G、F三點共線，而在該題中將這一個條件設置得極為隱蔽，學生在讀題時就很容易忽略這個觀點和條件，最終導致這道題目解題失敗.所以對于這類題型，首先教師要能夠引導學生認真審題，理清不同類型中的題目特點.接著要能夠緊扣三點共線定理的關系，發覺題目中隱含的條件，來進一步解題.最后，要保證解題思路通暢，面臨“條件”性陷阱問題，認真審題和讀題是尤其關鍵的.

四、理清數學概念知識，解決“知識”型陷阱問題

這種“知識”型陷阱問題也是常見的一類題型，而設置這種題型的目的就是為了能夠加強學生對數學基礎概念的學習和掌握.高中數學知識點繁多，且許多內容更加的抽象難懂.若學生無法理清每個單元中不同的概念知識，對基礎概念掌握不夠透徹，在面對這種“知識”型陷阱時，就容易被其中的條件所混淆，會出現定理適用范圍的錯誤，數學公式應用的錯誤等.

例題4 判斷f（x）=1+sinx-cosx1+sinx+cosx的奇偶性.

解析 這道題目首先由1+sinx+cosx≠0，可以得出f（x）的定義域為{x|x≠2kπ-π2且x≠2kπ-π（k∈Z）}.因為它不是關于原點對稱的區間，所以f（x）就為非奇非偶函數.

思路解讀 關于這類題型，首先要能夠理清關于定

義域的要求.一個函數是奇函數還是偶函數的必要條件是定義域關于原點對稱，若不對稱這說明該函數為非奇非偶函數.但部分學生在做這類題型時，經常由于概念沒有掌握清楚且不考慮定義域就會形成錯誤的解答，如f（x）=2sinx2cosx2+2sin2x22sinx2cosx2+2cos2x2=tanx2，這道題中的原函數與tanx2不是同一函數，因而這種解題思路就是錯誤的.因此，這類“知識”型陷阱的問題就是考查學生的概念知識掌握情況，只有學生擁有完整的數學知識體系才能夠保障學生在解題的過程中不會出現錯誤.

五、培養全面解題思路，解決“圖解”型陷阱問題

在日常的解題過程中，常常會出現各種各樣的圖形題.而設置這類題型的目的就是為了能夠考查學生的作圖能力和綜合解題能力.但許多學生往往因為作圖的不規范或不精確，導致產生錯誤的結果.甚至部分學生由于考慮不周全，而忽略了其他的答案，所以全面解題思路的培養對學生來說是尤其重要的.例題5 直二面角α-l-β的棱l上有一點A，在平面α、β內各有一條射線AB、AC與l成45°角，ABα，ACβ，則∠ABC=.

解析 由圖2可知，AB、AC和l成45°，且ABα，ACβ，因而有兩種情況.

根據上圖，可求得cos∠BAC=12，所以∠BAC=60°.又根據下圖，由cos∠BAC=cos135°cos45°得cos∠BAC=-12，所以∠BAC=120°.

綜上所述，∠BAC=60°或120°.

思路解讀 該題是一道圖形題，這種圖形題常常以“形”助“數”，但許多學生在做這類題型時，往往只考慮了一種情況，而忽略了另外一種情況，這就是“圖解”型陷阱設計的所在，因而想要避免掉進陷阱里，就要能夠做到使用數形結合的方式來解決問題，能夠始終全面考慮“數”，且基于數的基礎上，對“形”簡潔精確.

總之，隨著素質教育的不斷深入，高中數學的考試題目也越來越往學生綜合能力的方向發展，這種發展的結果也必然會出現各種陷阱型的題目.因而，這就要求教師要能夠把握不同類型的“陷阱問題”，把握好學生對基礎知識的掌握能力，防止學生在解題過程中，將錯誤的條件作為正確條件進行解題，從而降低學生解題的準確率.

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[責任編輯：李 璟]