例談橢圓離心率問題的求解

王小檐 肖振華

摘 要：圓錐曲線在平面解析幾何中處于核心地位，也是高考重點考查對象之一，文章主要以一道典型求橢圓離心率的問題展開多方位思考，探究數種不同的求解方法，總結了基本解題技巧以及常用的解題方法，豐富了橢圓離心率問題的探究，也加強了學生思維的訓練，提高了學生的解題能力。

關鍵詞：橢圓;離心率;解題策略

1.橢圓離心率的定義

橢圓離心率（偏心率）是指動點到焦點的距離和動點到準線的距離之比。用數學符號來表示：（c是半焦距，a是半長軸），橢圓離心率的范圍為（0，1）。

2.典題呈現

題目：已知雙曲線的一條漸近線與橢圓在第一象限的交點為P，F1，F2為橢圓C的左、右焦點，若，則橢圓C的離心率是多少？

分析：這種題型是圓錐曲線中的一道典型求橢圓離心率的問題，一般解決方法都會涉及解析幾何、平面幾何、代數運算等多個知識點，其綜合性比較強，方法也比較靈活，要真正掌握橢圓離心率的求解，首先定義是基礎，運算是關鍵，再建立起關于a，b，c間的關系是解題的突破口。

解法1：（尋找P點軌跡為橋梁）

如圖2.1所示：雙曲性的漸近線方程為，設，，定邊對定角，所以點P軌跡為圓弧，方程為與直線方程聯立可得：，解得

點評：此種方法來求解要求掌握“定邊對定角模型”探尋P軌跡是一個圓弧，然后列出軌跡方程，并與直線方程聯立，求出P點坐標，再算離心率就很容易得出結果。

解法2：（利用余弦定理來解三角形）

如圖2.1所示：雙曲性的漸近線方程為則，設，.

在和中有余弦定理可得：

將（2）+（3）式可得：

將（2）-（3）式可得：

所以，解得，

故

點評：這種方法求解的思路不易把握，圓錐曲線問題也同樣可以利用平面幾何的知識求解，打破常規解法，這種想法可以作為圓錐曲線的一個重要解題思路，幫助學生面對求離心率問題有更多的選擇機會，要熟練余弦定理的應用，這樣使問題又更簡單明了。

解法3：（巧用距離公式建立等量關系）

如圖2.1所示：雙曲線的漸近線為聯立橢圓方程：

解得又因為，所以

設，所以，又因為，

，所以，故，

即

整理可得，所以即，

故，所以

點評：這種解法中運用了余弦定理找出與c之間的關系，此外與a之間滿足，二者建立等量關系從而能夠求出橢圓離心率。

解法4：（引入參數利用等面積法）

如圖2.1所示：漸近線方程為，設則，所以，由可知，所以，即

所以3e4-22e2+7=0解得（7舍去），所以

點評：前面已經給出了，再利用求出面積，根據P點坐標同樣能夠算出面積，面積相等求出參數，再根據a，b，c間關系算出離心率即可。

結論：探求橢圓離心率問題通常利用平面幾何關系、代數運算等，如正、余弦定理，以及圖形的對稱性質，然后將這些關系結合橢圓的幾何性質用a，b，c進行表示，進而得到等量關系，就可以確定離心率。本文以一道典型例題的多種方法求解為例，為橢圓離心率的問題挖掘了多條思路，供老師和學生參考，在某種程度上運用一定的解題策略能夠激發學生的解題興趣，從而幫助學生提高解題能力。

參考文獻

[1]樊帆.一道圓錐曲線離心率范圍問題的討論[J]中學數學教學參考，2017，51-52

[2]劉族剛，朱新婉.圓錐曲線的離心率題型剖析[J]試題研究，2018，53-55

作者簡介：王小檐、肖振華，江西省贛州市贛南師范大學數學與計算機科學學院，學科教學（數學）專業研究生