高考中函數與導數熱點問題的分析與研究

高震

摘 要：本文從解答題的角度，分別以2019年全國3卷理科、2019年全國1卷理科和2019年浙江卷理科導數題為實例，針對2019年高考中的函數與導數的三類熱點問題進行分析和研究，形成了一定的規律，總結了高考中函數與導數熱點問題的解決方法和套路。

關鍵詞：函數與導數;不等式

1.問題的綜述

眾所周知，高考中函數與導數是要考查的核心內容，是歷年高考的重點、熱點，在新課程改革后的高考試卷中經常以選擇題、填空題和解答題的形式命題，有基礎題，也有中檔題，更多的時候是以難題的位置來考查，能力要求高，是各地高考卷常見的壓軸題，綜合程度高，難度較大，分值占比多，因此探究此類問題的處理策略時，找到解題套路是獲取高分的必要途徑。高考中函數與導數涉及的問題形式多樣，常見的熱點問題有：研究函數的性質（如單調性、求切線方程、單調區間、極值、最值等）;研究函數的零點問題（方程根的個數、曲線的交點個數等）;利用導數求解不等式問題（證明不等式、不等式的恒成立問題、存在性問題或者求解參數的取值范圍等等）.

2.三種常見熱點問題的舉例

2.1熱點一 利用導數研究函數的性質

以含參數的函數為背景，結合具體函數與導數的幾何意義，研究函數的性質，本熱點主要有三種考查方式：

1.討論函數的單調區間

2.討論函數的極值或最值情況

3.利用函數的單調性求參數的取值范圍

（2019年全國3卷理科）

已知函數f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區間[0，1]最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

【點睛】這是一道常規的函數導數綜合題，題目難度比往年降低了不少。考查的函數單調性，最大值最小值這種基本概念的計算。思考量不大，由計算量補充。

2.2熱點二研究函數的零點

函數與方程思想一直是高考考查的重點，函數的零點或者方程的根是近幾年高考命題的熱點，常常轉化為研究兩個函數圖像的交點問題，通過研究函數的極值的情況，數形結合解決問題，本熱點主要有兩種考查方式：

i1j討論函數的零點個數

（2）已知函數的零點個數求參數的取值范圍

（2019年全國1卷理科）

已f（x）=sinx-ln（1+x），函數f'（x）為f（x）的導數.證明：

（1）f'（x）在區間存在唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

【點睛】本題考查導數與函數極值之間的關系、利用導數解決函數零點個數的問題.解決零點問題的關鍵一方面是利用零點存在定理或最值點來說明存在零點，另一方面是利用函數的單調性說明在區間內零點的唯一性，二者缺一不可.

2.3熱點三利用導數求解不等式問題

不等式實際上是高考要考查的一個非常重要的內容，高考試卷中雖然很少直接考查，但幾乎每年都會滲透在函數與導數的綜合應用中進行考查。本熱點主要有三種考查方式：

i1j解不等式

i2j證明不等式

i3j已知不等式成立（恒成立問題或存在性問題）求參數的取值范圍

（2019年浙江卷科）

已知實數a≠0，設函

（1）當時，求函數f（x）的單調區間

（2）對任意均有求a的取值范圍.

【點睛】本題考查利用導數這一工具研究函數的單調性，從而求解不等式的恒成立問題，求得參數的取值范圍。

3.小結

導數是研究函數的單調性、極值（最值）最有效的工具，而函數是高中數學中最重要的知識點，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：考查導數的幾何意義，例如求函數在某點處的切線方程;利用導數討論函數的單調性，求單調區間、極值和最值等等;已知帶有參數的函數的單調性，反過來求參數的取值范圍;求解函數的零點問題、方程根的問題或者兩個函數圖像交點的個數問題;證明函數不等式;證明數列不等式;利用導數解決生活中的優化問題…從歷年高考題中我們可以總結以下規律：

對我們廣大的考生而言，目標決定態度，心態影響高度。目標不能僅僅停留在第一問必拿。這樣你對第一問的難度就會期望降低。一旦第一問比較復雜，你就拿不到第一問的滿分。第二問也不是難的不能去啃，往往第一問復雜了，第二問就會在此基礎上有法可尋。廣西地區2019年全國3卷理科的導數滿分人數有近900人，滿分人數的增多，激勵我們增強信心，做好準備。100%的準備。80%的期望。

筆者是從事了三屆完整高中數學教學的一名一線教師，從這些年對高考試卷中函數與導數熱點問題的分析與研究把高考的函數與導數解答題歸為四大模型：模型一恒成立問題、存在性問題和零點問題的模型。解題的關鍵套路：獨立參量、分類討論和數形結合。模型二函數不等式的模型。解題的關鍵套路：通過構造函數轉化為模型一。模型三數列不等式的模型。解題的關鍵套路：通過對帶參數的函數不等式進行賦值得到一個沒有參數的函數不等式，然后在對自變量進行賦值得到一個基本的數列不等式，最后通過累加等數列變形技巧得到最終的數列不等式。模型四極值點偏移問題的模型。解題的關鍵套路：直接構造極值點偏移函數或者先對條件進行變形再構造函數。

參考文獻

[1]張鵬麗《基于全國卷的函數與導數教學研究》陜西師范大學，2017-05-01，碩士論文

[2]吳寶樹《全國高考統一命題視角下的函數與導數復習策略研究》福建師范大學，2017-03-22，碩士論文

[3]劉偉偉《高考函數與導數解答題的研究與思考》河北師范大學，2017-03-20，碩士論文

[4]孫維《新課程背景下高考函數與導數解答題命題研究及分析》青海師范大學，2015-04-01，碩士論文

[5]郭慧清《2017年高考函數與導數專題命題分析》中國數學教育，2017-08-15，期刊