采用相對熵評價雷達相對系統誤差估值

高 效， 敬 東， 陳 鋼

(中國人民解放軍93209部隊， 北京 100085)

0 引言

雷達相對系統誤差是指雷達在對目標進行測量時存在的相對于指定參照系的固定誤差，包括雷達動態測量中的測向誤差Δθ、測距誤差Δρ、仰角誤差Δα、雷達站址標定誤差(Δx,Δy)和雷達組網應用中存在的坐標轉換誤差等[1-4]。在雷達組網觀測中，動態目標的絕對位置多數情況下是不可知的，我們比較容易得到的是在同一時間段內不同雷達對同一飛行目標的離散觀測值。而相對于網內其他雷達來說，總會有一部雷達的觀測是精確的，此時可以以該雷達(命名為主站)的測量值作為對目標位置的真實描述，其他雷達(命名為次站)以此為參照，從而求得次站雷達相對于主站雷達的相對系統誤差。

估計、消除單雷達測量中存在的系統誤差有兩種途徑：設備校準和數據校準[1-3]。對于多雷達組網后的系統誤差校準，情況就更為復雜。如何評價一組系統誤差估值或某種數據校準方法的有效性，成為一個亟待解決的問題。

傳統的系統誤差估值有效性評價多采用“取點評價法”，就是將同一時刻，雷達測量位置點與目標在參照系中的位置點(這兩個點又稱為時間配準點)之間的直線距離作為基本評價依據[5]。為了提高評價的可信度，往往需要取多個時間配準點，將多個時間配準點修正前后距離的平均值[6-7]之比作為最終的系統誤差估值有效性評價指標。這種方法原理上比較科學，但在工程實現上，由于雷達異步工作，“多個時間配準點”在原始測量中幾乎不存在，雖然采用卡爾曼濾波等方法可以外推得到配準時刻的目標位置點，但外推過程又不可避免地引入了新的計算誤差，因此取點評價法的可操作性和準確性不高。

我們針對傳統方法從局部(單點)入手帶來的問題與不足，引入信息論中相對熵的概念，通過選取典型航路(目標保持一定高度沿直線飛行)上的一組主、從雷達測量數據，整體比較次站觀測航跡線系統誤差修正前后與主站觀測航跡線的相似性來評價系統誤差估值的有效性以及修正效果。這樣在提高準確性和可操作性的同時，簡化了評價方法的復雜程度，方便了工程上的實現。

1 基于相對熵的系統誤差估值有效性評價方法

在信息論中，相對熵用來衡量兩個取值為正的函數的相似性，比如：X為一非空集合，f(x)和g(x)是X上的兩個離散隨機概率分布函數，則f(x)和g(x)之間的相對熵定義為

(1)

對于上式，可以推導[8]：兩個完全相同的函數，它們的相對熵等于零；相對熵越大，兩個函數的差異越大，反之，相對熵越小，兩個函數的差異越??；另外相對熵是不對稱的，即

KL(f(x)||g(x))≠KL(g(x)||f(x))

為了便于使用，香農等人提出了新的相對熵計算方法，即：

KL(g(x)||f(x))]

(2)

我們采用式(2)作為雷達相對系統誤差估值有效性評價的基本依據，具體方法步驟如下：

步驟1：選取主、次站雷達對同一空中目標的一段同時段觀測數據?！巴瑫r段”是指兩部雷達觀測數據首點和末點時間差均不大于1個雷達探測周期(一般為10 s或20 s)。在目標作處于直線運動狀態時，每部雷達觀測數據點數量一般不少于10點，否則，每部雷達觀測數據點4～6點即可。這樣做的目的是選取較短時間內的單雷達測量點集合，既能保證所選測量點即時反映目標當前整體航跡走勢，又要兼顧單雷達航跡線參數估計過程中消除隨機誤差影響的最少樣本數要求。

步驟2：對主站雷達原始觀測數據(極坐標形式)進行坐標變換，得到對應的統一直角坐標數據{(Xtzi,Ytzi)，i=1,2,…,n}，n表示主站雷達觀測數據總點數。

步驟3：分別對次站雷達原始觀測數據、系統誤差修正數據進行坐標變換，得到兩組統一直角坐標{(Xtcj,Ytcj)，j=1,2,…,m}和{(Xtxj,Ytxj)，j=1,2,…,m}，m表示次站雷達觀測數據總點數。此處次站雷達系統誤差修正數據是指次站雷達原始觀測數據按照次站系統誤差估值(Δρ,Δθ,Δα,Δx,Δy)修正后的數據。

步驟4：在統一直角坐標系中，對于測量點數據{(xi,yi),i=1,2,…,p}，將X坐標作為自變量，Y坐標作為因變量，分別對主、次站雷達觀測數據和次站雷達系統誤差修正數據進行曲線擬合，得到相應的參數估計。曲線擬合方法可以采用最小二乘或切比雪夫曲線擬合法，為了防止過擬合，擬合多項式的項數一般取2或3即可[9]。本文采用加權直線航跡線參數迭代估計模型(詳見下一節)，得到主站觀測航跡線參數(kz,dz)(分別表示直線的斜率和截距)、次站觀測航跡線參數(kc,dc)和次站修正航跡線參數(kx,dx)。

步驟5：計算次站觀測航跡線與主站觀測航跡線的相對熵JSc。相對熵越小，表明兩條航跡線越相似，過程如下：

① 計算f(xi)和g(xi)。

f(xi)=kzxi+dz，g(xi)=kcxi+dc，

i=1,2,…，n+m

(3)

式中，xi∈{(Xtzi|i=1,2,…，n)∪(Xtcj|j=1,2,…，m)}，表示主站觀測點與次站觀測點橫坐標的并集，n和m分別表示主、次站雷達的觀測點數。

② 計算KL(f(x)||g(x))和KL(g(x)||f(x))。

(4)

(5)

③ 計算JSc。

(6)

步驟6：計算次站修正航跡線與主站觀測航跡線的相對熵JSx。計算過程與步驟5類同。

步驟7：次站修正航跡線系統誤差估值有效性指標V表示為

(7)

V∈[0,1]時，V越大，表示系統誤差估值越有效，航跡修正效果越好。V<0時，表示系統誤差估值不僅完全無效，反而加劇了主、次站雷達觀測航跡的分裂程度。

2 加權直線航跡線參數迭代估計模型

某時間段內單雷達觀測到典型航路上的某一飛行目標的總點數為n，所有測量點轉換到統一直角坐標系后表示為{(xi,yi),i=1,2,…,n}。我們定義單一測量點(xi,yi)對目標航跡線參數估計的貢獻率為該點的權值，記為vi。首先按照以下方法計算單一測量點的權值。

基于直線方程一般式：y-k0x-d0=0(k0為直線的斜率，d0為直線在Y軸上的截距)，測量點(xi,yi)到直線的垂直距離li表示為

(8)

用所有單雷達觀測點{(xi,yi),i=1,2…,n}到該直線的垂直距離li的平方和最小作為條件構造直線，計算在此條件下的這條直線的最佳參數，即為不加權直線航跡線參數估計模型：

(9)

(10)

在測量點(xi,yi)對應的權值vi已知基礎上，同樣基于直線方程一般式，我們用所有單雷達觀測點{(xi,yi),i=1,2,...,n}到某直線的垂直加權距離(vi×li)的平方和最小作為條件構造直線，計算在此條件下的這條直線的最佳參數(k,d)，即為單雷達加權直線航跡線參數估計模型[10]：

(11)

對于式(11)的求解，可以構造方程：

(12)

求解(12)式可以得到一組合理的直線參數解(k,d)。然后計算所有測量點(xi,yi)到新直線的加權距離之和fm(k,d)(m表示迭代次數)：

(13)

直到fm(k,d)不再減小為止，此時的(k,d)即為最佳直線參數；否則按照當前(k,d)重新計算所有測量點(xi,yi)的權值vi，回歸對式(10)的求解過程。

3 方法應用與分析

使用本文方法，我們對某雷達網中一部次站雷達相對主站雷達的兩種相對系統誤差估值方案的有效性進行評價。

對圖1中的次雷達原始測量航跡線、次雷達修正航跡線1、次雷達修正航跡線2相對于主雷達測量航跡線的相對熵分別進行了計算，計算結果如下：

圖1 主、次雷達測量數據和兩組次雷達相對系統誤差修正數據顯示圖

主雷達與次雷達原始測量航跡線的相對熵JSc=0.188 534，主雷達原始測量與次雷達修正航跡線1的相對熵JS2x=0.002 087，主雷達原始測量與次雷達修正航跡線2的相對熵JS2x=0.084 058。則次站兩組相對系統誤差估值有效性指標V1和V2計算結果分別為

(14)

由1>V1>V2>0可以得出以下結論：

①V1和V2對應的系統誤差估值均能有效減小主、次站雷達觀測航跡的分裂程度,說明次站雷達的兩組相對系統誤差估值方案都有效；

② 在減小主、次站雷達觀測航跡的分裂程度上，V1對應的系統誤差估值要優于V2對應的系統誤差估值，取得了較好的航跡修正效果,與圖1的觀察結果一致。

為了進一步驗證本文方法在工程上的有效性，我們將圖1中的主、次站雷達測量數據和次站雷達相對系統誤差修正數據加入正態隨機誤差，連續進行了50次模擬，次站兩組相對系統誤差估值方案有效性指標V1和V2計算結果如圖2所示，均有1>V1>V2>0的一致性結論，表明本方法有效，且受隨機誤差影響很小，可以應用于實際系統中。

圖2 次站雷達相對系統誤差估值有效性指標對比圖

4 結束語

本文通過計算次站觀測航跡線系統誤差修正前后與主站觀測航跡線的相對熵，構建次站修正航跡線系統誤差估值有效性指標，用以評價系統誤差估值的有效性以及修正效果。在工程應用中，很容易得到典型航路上的主、次站觀測數據，既降低了檢飛成本，又可以保證加權直線航跡線參數迭代估計模型的適用性，進而提高本評價方法的準確性。本方法有助于提高雷達陣地檢飛、數據校準方法選擇和雷達相對系統誤差估值表計算過程中對系統誤差估值評價的科學性、準確性和可操作性，從而提升雷達網目標狀態估計和多雷達數據融合的質量。本文給出的方法，對研究基于位置信息以及目標空間運動特征的航跡關聯算法也具有一定的借鑒意義。