黎曼，他對素數有著迷人的依戀

蔡天新

我身體的大部分會逃脫死亡，我將會永生，仍然活在后世的贊美聲中。 —（古羅馬）賀拉斯二○一九年春天，包括上海天文臺在內的全球六家天文觀察機構同時發表聲明，公布了他們合作拍攝的首張黑洞照片。此前兩年，引力波被直接探測到和阿蒂亞爵士宣布證明黎曼猜想這兩項重大科學新聞，同樣引發了全球公眾的高度關注，絲毫不亞于一年一度的奧斯卡頒獎禮。物理學家愛因斯坦再次成為人們膜拜的偶像，與黑洞一樣，引力波的存在也是他的廣義相對論所預言的。然而，有一個關鍵性人物被忽視了，那便是十九世紀的天才數學家伯恩哈德 ·黎曼，他建立的黎曼幾何學是廣義相對論的基石，同時他還提出了迄今為止數學領域最負盛名的黎曼猜想。

一、外表文弱羞怯的年輕人

二○一○年秋天，我應德國哥廷根大學一位數學同行的邀請，來到慕名已久的數學圣地做客一個月。一個星期六的早上，我獨自開始了火車之旅。那天我上午游覽不來梅，下午游覽漢堡，它們是柏林以外僅有的兩座直轄市，也是德國吞吐量最大的兩個港口，分別位于威悉河和易北河下游。在漢堡用過晚餐之后，我踏上了歸途。與來時路線相反，我選擇了東線，經過呂訥堡、于爾岑，到漢諾威后再換車返回哥廷根。

巧合的是，這幾座城鎮恰好都與本文主人公黎曼有著密切的關聯。黎曼在漢諾威和呂訥堡念的中學，而于爾岑是離他出生地和度過童年時光的兩個小村（他的父親是村里的牧師）最近的火車站。即便黎曼時代不通火車，這里也是他去往哥廷根求學的必經之地。火車在日落時分抵達，靠站后我下車去拍攝了站牌，在那短促的幾分鐘里，我滿腦子都是黎曼。

然而，關于黎曼的生平，至今我們所知的仍然不多，他本人也沒有留下內心活動的記錄，只有部分往來的書信。黎曼的同代人里，只有他的師弟戴德金，在黎曼去世十年以后編撰他的文集時為他寫下一篇十七頁的小傳。戴德金是黎曼與他共同的導師高斯的同鄉，出生在不倫瑞克，他是高斯的關門弟子。

依照戴德金的描述，黎曼是個極為羞怯的人，每當出現在人群中，他都會覺得不自在。這與他從小所處的宗教環境不無關系，他的家族成員都是虔誠的路德教徒，他們 “每天在上帝面前自我反省 ”。家族成員之間的關系則非常親密，每次離開家，黎曼便會犯思鄉病，如同法國前輩數學家、思想家帕斯卡，或者后來客居英倫的印度數學天才拉馬努金。此外，他和拉馬努金還有一個共同的老朋友 —肺結核。

除了思鄉病和肺結核，黎曼還是一位疑病癥患者，這個詞是如今流行的抑郁癥的同義語。只不過由于黎曼遺孀的請求，戴德金才避免使用它。黎曼的妻子是其姐姐的朋友，他的姐姐是兄弟姐妹六人中唯一比黎曼活得長久的人。在他們備受崇敬和愛戴的父親去世以后，黎曼經常沉浸在痛苦的回憶之中，幸好他有一座安逸的避風港，那就是他的數學世界。特別地，黎曼對素數及其分布有著一種深深的、迷人的依戀。

那時候德意志已開始實行教育家馮 ·洪堡倡導的教育改革，大學的首要任務是教學，尤其是培養優秀的中學教師，而把研究工作交給科學院。于是乎，偉大的數學家高斯也被要求講授 “線性代數 ”，唯有馮 ·洪堡本人創辦的柏林大學例外，那里的數學研究處于領先地位，盡管沒有高斯那樣史詩般的英雄人物。幸好還有條規則，學生學習期間可以到其他學校修學。為了汲取更多的營養，黎曼轉學到了柏林。

在柏林大學的兩年期間，黎曼如饑似渴地學習新的、充滿活力的數學，那會兒年富力強的數學家雅可比、狄里克萊、施坦納和艾森斯坦等人都在柏大。黎曼向他們學了很多東西 ——從雅可比那里學到高等代數和高等力學，從狄里克萊那里學到數論和分析，從施坦納那里學到了現代幾何，而從僅僅比他年長三歲的艾森斯坦那里則學到了橢圓函數和自信。他有信心超越前輩同行。

二、一顆太陽一樣輝耀的心

一八四九年，黎曼從柏林回到哥廷根。兩年以后，他以一篇題為《單復變函數一般理論的基礎》的論文獲得博士學位，那年他二十五歲。在哥廷根大學求學的最后一年半，他以極大的興趣去聽哲學講座和韋伯的實驗物理學課程，把他的純粹數學暫時放到一邊。這使得他后來的數學工作常常處于更深的哲學背景下，同時畢生保持了對物理學的濃厚興趣。雖說黎曼外表文弱、羞怯，內心卻勇敢而強大，有一顆像太陽那樣輝耀的心，加上卓越的才華，使他具備一種驚人的沖擊力和能量。

復變函數論是數學的重要分支，黎曼與法國人柯西、德國同胞維爾斯特拉斯被公認為這一分支的三大奠基人，他們的出發點有所不同，柯西是從分析出發，維爾斯特拉斯是從函數論出發，而黎曼則是從幾何出發。黎曼給單值解析函數下了嚴格的定義，還對多值函數定義了黎曼曲面。此外，他還率先研究了曲面拓撲，并解決了曲面上函數存在性和唯一性的問題，這對后世有著重要影響。這篇論文是十九世紀數學的經典，但在當時除了被高斯關注以外，并未引起太大反響。直到三年以后，黎曼才被哥廷根大學聘為無薪講師。

一八五四年，黎曼為無薪講師職位做了就職演講。黎曼向系教授會提交了三個題目，其中兩個是關于數學物理的，他原本希望能選中這兩個題目中的一個，因為他已經有所準備。但是最后時刻他又說出了第三個題目，是關于幾何基礎的。沒想到高斯對這個問題更感興趣，他本人對此已考慮多年，并與俄羅斯數學家羅巴切夫斯基、匈牙利數學家鮑耶各自建立了一種非歐幾何學，即羅氏幾何。黎曼并未有完全的把握，也只好硬著頭皮上臺了。

黎曼演講的題目是《論作為幾何學基礎的假設》，從中他建立起黎曼幾何學的基礎，并給出了黎曼度量的定義。他把高斯的內蘊幾何從歐幾里得空間推廣到任意 n維空間，并稱其為流形，再把流形上的點用 n元有序數組表示。黎曼還引進子流形和曲率的概念，讓他尤其關注的是所謂 “常曲率空間 ”，即每一點上曲率都相等的流形。這種常曲率有三種可能性：曲率為正常數，曲率為負常數，曲率為零。

黎曼指出，第二種和第三種分別對應于羅氏幾何和歐氏幾何，而第一種情形對應的則是他創造的黎曼幾何。在歐氏幾何里，過已知直線外一點恰好能做一條直線與該直線平行;在羅氏幾何里，過已知直線外一點可做不止一條直線與該直線平行;而在黎曼幾何里，過已知直線以外一點不能做任何直線與該直線平行。可以這么說，黎曼是第一個理解非歐幾何學全部意義的數學家。

黎曼畢生保持著對物理學的濃厚興趣，他熱衷于研究熱學、聲學、電學和光學。黎曼的論文《論有限振幅平面聲波的傳播》討論了壓縮波和膨脹波：壓縮波壓縮得越厲害，波速更快;膨脹波膨脹得越厲害，波速減緩。一八六○年，黎曼發表了《熱傳導的一個問題》，從中發展了二次微分形式，它也是相對論的基礎。同年，黎曼訪問了巴黎，受到法國數學同行的熱情接待，他們給予黎曼極大的贊賞。

一八六二年夏天，三十六歲的黎曼結婚了，夫人叫愛麗絲。婚后不到一個月，他患上了胸膜炎，繼而導致肺結核。從此黎曼與意大利結了緣，他生命最后的四年基本上是在亞平寧度過的，那里有著溫暖的氣候。黎曼很喜歡意大利的藝術，他的獨女伊達在比薩出生。有兩次黎曼以為自己康復了，但穿越阿爾卑斯山的旅途勞頓和嚴寒天氣又使得病情復發，幸好哥廷根大學方面慷慨地一再延長他的休假期。

英裔美國作家德比希爾畢業于倫敦大學數學系，他的《素數之戀》曾獲首屆歐拉圖書獎（二○○七年，本文從此書中文版選取了一些素材）。他把數學家分成兩類，即邏輯型的和直覺型的，并舉維爾斯特拉斯和黎曼為例。他認為維爾斯特拉斯是攀巖者，每一步都建立在堅實的論證基礎上，而黎曼則是空中飛人表演者，有很強的直觀想象力和跳躍性的思維。這讓我想起新近因為新冠肺病去世的美國物理學家戴森，他寫的《飛鳥與青蛙》也把天才人物做了相似的分類。

在生命的最后一年，黎曼接連獲得榮譽。巴黎科學院選舉他為通訊院士，英國皇家學會選舉他為外籍會員。與此同時，他的病由學之術有二，曰致知，曰履事，兼之者上也。—王廷相于結合了黃疸癥而變得越發嚴重。一八六六年七月二十日，黎曼在意大利北部的塞拉斯加與世長辭。黎曼走時十分寧靜，由他父親傳遞給他的那份虔誠始終伴隨著他。而黎曼這個名字，無論過去、現在還是將來，都將永遠伴隨著每一位數學工作者。黎曼安葬在阿爾卑斯山南麓的馬焦雷湖畔，墓碑上刻寫著圣徒保羅的一句話：

世間的萬物相互助力，

愛神的人必諸事順暢。

黎曼下葬后，愛麗絲帶著伊達（英國詩人拜倫的獨女也叫伊達，她是第一個計算機程序員）返回了哥廷根。伊達成年以后嫁給一位數學博士，黎曼的這位從未謀面的女婿后來出任不來梅一所航海學校的校長，把岳母和岳父唯一在世的姐姐（也叫伊達）接了過去。他們組建了一個大家庭，兒孫的數目難以統計，黎曼的后裔如今已融入普通百姓之中。