數學“四基”的內涵、關系與應用

蘇明強

摘? 要：數學“四基”是“雙基”內涵的豐富、發展和分化的結果，數學“四基”之間不是一種簡單的疊加、拼湊或混合，它們之間是一個既相互獨立，又相互聯系、相互依存和相互促進的有機統一體，數學“四基”不應成為教師教學的一種擺設，而應成為教師教學的一種價值取向。

關鍵詞：數學“雙基”;數學“四基”;數學課標

2011年教育部頒布實施了《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱為《2011年版課標》）[1]，在課程總目標中首次明確提出數學“四基”的目標要求，即基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗。經過近10年的探索、實踐與研究，我們應該認真總結我國數學“四基”的經驗，為后續的教學實踐提供參考。

一、數學“四基”的內涵

數學“四基”是在我國傳統“雙基”的基礎上，經過內涵的不斷豐富、發展變化直至最后分化而成，因此，數學“四基”是我國傳統“雙基”的一次發展和突破。

1. 基礎知識

數學“四基”中的基礎知識是指數學課程標準所規定的數學的基本概念、基本性質、基本法則、基本公式、基本定律和基本定理等教學內容。因此，在我國數學教育“雙基”理論的發展中，數學思想和數學方法逐步從基礎知識中分化并獨立出來，最終形成“四基”中的基本思想，在數學“四基”教學中，強調學生應該建立在理解的基礎上，掌握數學的基礎知識，而不應該是簡單模仿和死記硬背。

2. 基本技能

在數學“四基”中的基本技能是指在某種操作規則或者操作程序下通過實踐、練習等方式獲得的操作技術和運用數學知識解決問題的能力，包括運算、測量、繪圖以及問題解決等。因此，在我國數學教育“雙基”理論的發展中，數學思維逐步從基本技能中分化并獨立出來，最終形成“四基”中的基本活動經驗。在傳統“雙基”的教學中，常常由于過于強調技能的熟練程度和速度，導致過多重復的機械訓練，從而增加了學生的課業負擔，在“四基”教學中，強調技能的準確性，而不盲目追求技能的速度。

3. 基本思想

基本思想是數學“四基”的重要內容，是數學“雙基”進一步發展分化出來的結果，數學思想蘊含在數學知識的形成、發展和應用過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括 [2]。史寧中教授認為數學的三種基本思想是抽象、推理和模型 [3]。筆者認為，數學的基本思想是數學形成、發展和應用過程中最為重要的思想，它是數學思考在更高層次上所達成的一種狀態和境界，是一種穩固的數學思維模式，主要包括抽象思想、推理思想、建模思想。基本思想還可以演派出一些具有操作性的下位數學思想，如抽象思想的下位思想有分類思想、集合思想、變中不變思想、數形結合思想、符號表示思想、對應思想、極限思想等，推理思想的下位思想有轉化思想、歸納思想、演繹思想、類比思想等，建模思想的下位思想有量化思想、簡化思想、優化思想、函數思想、方程思想、統計思想和隨機思想等。

4. 基本活動經驗

基本活動經驗是數學“四基”的另一重要內容，也是數學“雙基”進一步發展分化出來的結果。關于基本活動經驗的問題，目前國內學者并沒有統一的認識，張奠宙等認為：數學基本活動經驗是一種從感性向理性飛躍時所形成的認識 [4];孔凡哲等認為：數學基本活動經驗是個體經歷數學活動之后所積淀的內容 [5]。史寧中教授在《義務教育數學課程標準（2011年版）解讀》一書中指出：數學基本活動經驗是學習主體通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗。筆者認為：從數學學習的角度來看，數學活動是在教師的組織和引導下，具有某種特定學習目標和教學價值取向的活動，它是數學學習的重要過程和組成部分。在小學數學課堂學習中，常見的數學活動主要有操作活動、觀察活動和思維活動，操作活動和觀察活動為思維活動提供直觀的感受和初步的體驗，幫助獲得感性認識，進一步促進形成理性認識，操作活動是數學學習的基礎，觀察活動是數學學習的關鍵，思維活動是數學學習的根本。因此，在數學學習過程中，基本活動經驗主要包括操作活動經驗、觀察活動經驗和思維活動經驗，其中，思維活動經驗是基本活動經驗最重要的內容，需要在數學學習活動過程中長期積累和逐步積淀。

二、數學“四基”的關系

從數學教學的角度來看，基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗之間不是一種簡單的疊加、拼湊或混合，它們之間是一個既相互獨立，又相互聯系、相互依存和相互促進的有機統一體，基礎知識和基本技能是數學教學的重要內容，基本思想是數學教學的精髓，基本活動經驗是數學教學的重要任務。

1. 內部關系

從數學學習的過程分析，常常由于數學知識的抽象性，在數學學習過程中，學生需要通過動手操作學具或畫圖等直觀手段，引發必要的數學思考，從而幫助理解所學的數學知識，并在數學知識的實踐與運用過程中獲得基本技能。在基本技能獲得過程中，學生不僅積累了操作活動經驗，而且積累了重要的思維活動經驗，尤其是積累了抽象的經驗、歸納的經驗和演繹的經驗等活動經驗，這些活動經驗都是后續數學學習的重要基礎。當數學活動經驗積累到一定程度，將在學生的腦海里促進形成某種較為穩固的思維模式，這就形成了數學思想;當數學思想形成后，將進一步改良學生已有的認知結構，進一步完善已經形成的知識體系，同時，將從策略和方法上促進新知識的學習和新技能的獲得，這就是數學“四基”相輔相成、和諧統一、螺旋遞進的關系（如圖1）。

2. 外部關系

數學“四基”內部與外部“三維”目標有著密切的聯系，數學“四基”內部的相輔相成、和諧統一和螺旋遞進的關系，促進了數學課程“三維”目標的整體實現。數學“四基”中的“基礎知識”和“基本技能”對應著“三維”目標中的“知識與技能”這一維度的結果目標;數學“四基”中的“基本思想”和“基本活動經驗”對應著“三維”目標中的“過程與方法”這一維度的過程目標。在數學“四基”的教學中，教師在“雙基”教學基礎上，通過“基本思想”“基本活動經驗”的教學，將更好地促進學生對“基礎知識”“基本技能”的理解、掌握和運用，更好地感悟數學的基本思想，積累數學的基本活動經驗，體會數學的神奇與魅力，體會數學的價值，提高學習的興趣，增強學習的信心，從而促進“三維”目標中“情感與態度”這一維度過程目標的達成。因此，數學“四基”內部的和諧統一將更好地促進外部“三維目標”的整體達成，它們之間的關系如圖2所示。

三、數學“四基”的應用

數學“四基”是《2011年版課標》的一個核心問題，它不僅是一個理論研究的問題，而且是一個重要的實踐研究問題。“四基”作為新時期我國數學課程的一個目標要求，將引領我國數學課程的改革與實踐，它不應成為教師教學的一種擺設，而應成為教師教學的一種價值取向。要在數學課堂中真正貫徹落實數學“四基”的基本理念，教師必須有意識地運用數學“四基”分析教材、分析學情、設計教學以及評價反思。下面，以小學數學“三角形邊的關系”一課為例，從教學實踐的層面，談談數學“四基”在教材分析方面的應用。

教材分析是教學設計的重要基礎，是教師提升教學水平和業務能力的重要保證。傳統意義上的教材分析一般是指分析教學內容的地位、作用以及知識之間的內在聯系等。然而，在數學“四基”教學中，為了更好地落實“四基”目標，教師在教材分析時，不能僅僅停留在傳統“雙基”層面的分析上，還應有意從“四基”的角度分析教材，尤其是應該重視從“基本思想”的角度分析教材，充分挖掘教學內容所蘊含的數學思想，真正從數學思想的高度去把握教材，這樣，才能更好地把握教學內容的數學本質，發現一片嶄新的天地。

“三角形邊的關系”一課，是三角形認識的一次升華，是從圖形外部感知到內在規律的一次探索過程，是從認識圖形要素到探索要素關系的一次遞進過程，是從直觀觀察到思想感悟的一次體驗過程，它是將來進一步認識其他幾何圖形、探索圖形奧秘的重要基礎。從基礎知識的角度分析，“三角形兩邊之和大于第三邊”這一結論顯然是本節課的基礎知識“點”;從基本技能的角度分析，“運用三角形邊的關系正確判斷三條線段能否圍成三角形”，就應該是本節課的基本技能“點”，以上的“雙基”內容，是本課的教學重點。除此之外，我們還應該從“基本思想”和“基本活動經驗”的角度對教材進行更為深入的分析，從“基本思想”的角度分析，就會發現：過去十幾年來，許多教師在本節課的教學中，過于強調讓學生動手操作圍三角形，教師幾乎把注意力都放在操作材料（吸管、牙簽、小木棒、紙條等）的改良上，卻忽視了蘊含在數學知識背后的重要數學思想——推理思想，這是本課教學非常重要的價值所在。當我們在“四基”教學的框架下，強調教學融入“數學思想”突出“數學思考”時就會發現：在三角形邊的關系這一探索過程中，通過“個別”三角形的觀察、操作，得出“所有”三角形邊的一般規律，這里蘊涵著推理思想中的歸納思想。在此基礎上，引導學生進行聯想，將三角形拓展到凸多邊形，并對凸多邊形邊的關系進行適當思考時，可以獲得猜想：在邊的關系上，其他凸多邊形具有與三角形相似的規律，在這里又蘊涵著推理思想中的類比思想，這些都是數學基本思想的重要內容，它們都是后續探索幾何圖形要素之間大小關系和位置關系的重要思想基礎。從基本活動經驗的角度分析，通過本課的學習，我們可以幫助學生積累歸納和類比的思維活動經驗，這些經驗都屬于合情推理的內容，不僅是培養學生創新意識的重要內容，而且是后續學習三角形內角和的重要經驗基礎。

因此，通過以上的“四基”分析，筆者認為：三角形邊的關系一課的教學，不能僅僅停留在動手操作和直觀觀察的層面上，更重要的教學價值應該在于數學思想和數學推理之上。教師應該引導學生在三角形邊的關系探索過程中，在觀察與操作的基礎上，把問題聚焦到推理的層面上，啟發學生進行有價值的數學思考，體會歸納思想和類比思想，積累思維活動經驗，這樣才能為后續幾何圖形的學習與探索，奠定重要的思想和經驗基礎。

參考文獻：

[1][2]? 中華人民共和國教育部制訂，義務教育數學課程標準（2011年版）[S]，北京：北京師范大學出版社，2012：8.

[3]? 史寧中. 漫談數學的基本思想[J]，中國大學教學，2011（07）：9-11.

[4]? 張奠宙，竺仕芬，林永偉. “基本數學經驗”的界定與分類[J]. 數學通報，2008（05）：4-7.

[5]? 孔凡哲，張勝利. 基本活動經驗的類別與作用[J]. 教育理論與實踐，2009（06）：42-25.