“后練習”：數學課堂練習新思考

吉祥

摘? 要：分析小學數學課堂練習的三個教學案例，環(huán)顧當前數學課堂練習中存在“碎”“小”“單”“假”等問題，提出一個泛概念——“后練習”。尋找“后練習”的心理機制，提出“后練習”內容追求多變，讓學生內省反思;“后練習”方式多樣，讓學生體驗過程;“后練習”層次多級，讓學生爬坡生長;“后練習”時間多輪，讓學生沉浸問題。

關鍵詞：后練習;案例;心理機制;實踐建構

先看以下三個教學案例：

案例1：在教學“小數的初步認識”時（蘇教版三年級下冊），某教師在練習環(huán)節(jié)中出示了這樣一道問題：“下面哪些圖可以用0.3表示？”約占全班人數70%的學生認為，①③④號圖的涂色部分用0.3都可以表示，這個選擇結果超過了教師們的預想。一道簡單的“小數的初步認識”的選擇題，學生的出錯率如此之高，分析原因是學生對小數概念的本質未充分認識。授課教師一步一步追問：“你們是怎么想的呢？”發(fā)現學生僅僅考慮到了大小相等的三份，卻忽略了平均分成10份這一前提條件，簡單理解為“涂幾份就是零點幾”。

案例2：在進行兩位數乘一位數“24×3=”的練習時，統計了一下學生的答案，得到“24×3=92”的學生并不少。教師誤認為學生計算粗心，反復強調計算要細心，可下次計算學生仍然出現相同錯誤，為什么？還是要分析更深層次的原因：一種可能是“三四十二，寫二進一，十位的2加上進位的1等于3，三三得九，變成了92”;另一種可能是“三四十二，寫二進一，二四得八，加上進位的1，得9”;還有一種可能是算成了“23×4”;等等。一道問題的錯誤背后總是有原因的，原因也可能是多種多樣的，這也是教學的不確定性。教學時直面學生的各種問題和錯誤，基于學生，尊重學生，讓學生大膽地表達自己的真實想法，而不是教師用自己的教代替學生的想。教學需要多一些這樣的聲音：“你是怎么想的？”

案例3：兩位教師設計的“24時計時法”練習題完全不同。一位教師直接提問：“5時，用普通計時法如何表示？”學生回答：“上午5時。”另一位教師創(chuàng)設情境：“老師和幾個朋友相約外出游玩，買好了幾張汽車票（電腦出示，車票上標明開車時間為5：00），老師打電話通知幾位朋友，應該怎樣說呢？”學生說：“（依照老師語氣）喂，明天5時的汽車票，不要遲到噢！”（眾笑）另一學生提醒道：“不能這樣說，老師的朋友有可能認為是下午5時。應該說明天上午5時?！苯處熝a充說：“想得真周到，日常生活中多用普通計時法。”學生補充說：“車票上沒有說是上午、下午，兩者都是有可能的?！薄坝羞@樣的可能嗎？”學生回答：“不可能！因為車票用的都是‘24時計時法，5時一定表示上午5時?！眲?chuàng)設一個具體情境，讓學生主動交流，大膽發(fā)表見解，未知的學生得到了補充，錯誤的認知得到了修正。

分析上述三個教學案例：一是練習要對教學漏洞進行有效補充。案例1中，教師在教學時未充分關注到一位小數是把圖形平均分成十份，表示這樣的幾份，練習時學生暴露的問題正是對教學漏洞的填補，進一步完善學生對小數概念的本質認識。二是練習要對學情進行剖析。案例2中，若教師粗心大意地理解學生的計算問題，未對學情分類辨析，學生的學習問題可能永遠存在。因而，練習時教師要提供更多的平臺和舞臺，多追問“你是怎么想的？”讓學生真實展示思考歷程，發(fā)現認知盲點，才能有效解決問題。三是練習要幫助學生完善經驗。案例3中，第一位教師的方法簡單，為教知識而講知識，機械單調，練習無趣;而另一位教師創(chuàng)設了一個簡單的生活情境，讓學生在情境中自覺運用了“24時計時法”，感受到了計時法的生活元素，既讓學生靈活運用了計時法，又幫助學生積累了生活經驗。

一、“后練習”價值追求

環(huán)顧當前小學數學課堂“練習”，又何止上述缺位、失位、空位的現象，還存在“碎”“小”“單”“假”等問題?！八椤保壕毩曇运槠姆椒▊魇?，一個個碎碎的問題，不能引發(fā)學生深度思考，看不到問題背后的數學方法和數學思考?！靶　保好恳粋€具體的問題僅僅是一個“單質細胞”，缺少前后聯系，未進行整體化練習設計?！皢巍保壕毩暿侵卑椎谋硎觯唵螜C械式的知識記憶，只追求問題的答案化，缺少情境化的生活元素，學生感到枯燥無味?！凹佟保壕毩暿莾?yōu)等學生配合教師的表演，后進學生只是“旁觀者”。練習的情境性、思辨性、挑戰(zhàn)性、實效性令人堪憂，看不到學生數學高水平能力的發(fā)展、思維的拔節(jié)、數學素養(yǎng)的提升。

我們倡導“后練習”：（1）從練習內容上看，練習內容既包括課前預學單，課中問題解決，課后練習提升，教師根據所學內容的前后聯系設計有價值的、發(fā)展數學思維的題組。（2）從練習方式上看，學生的練習不單在動筆寫字上，更重在練習過程中進行主體活動、同伴對話、自我建構，在互動、互講、互評過程中進行深度的思維碰撞。（3）從練習層次上看，學生的認知是有差異的，我們應當尊重他們的認知特征，設計有層次的練習，讓每一位學生在已有基礎上得到生長和延續(xù)，指向學生數學核心素養(yǎng)的發(fā)展。（4）從練習時間上看，它不僅包括每節(jié)課的課堂練習時段，更廣泛地考慮一節(jié)課的課前、課中及課后的學習時段。

二、“后練習”心理機制

心理學家奧蘇伯爾提出學習的三種類型“運用”“問題解決”“創(chuàng)造”之時，他認為“運用”這種學習類型其實就是我們通常所講到的“練習”，練習本身就是一種學習。

心理學家加涅更是強調練習在學習中的作用。他闡述學習的八個階段當中便有一個專門的階段留給練習——作業(yè)階段。學習過程需要有作業(yè)階段似乎是不言而喻的，因為只有通過作業(yè)才能反映學生是否已習得了所學習的內容。

認知心理學家邵瑞珍先生認為程序性知識，包括智慧技能、認知策略等。從陳述性形式向程序性形式轉化的最重要教學條件是在相似的情境和不同的情境中練習。練習還必須有變化，只有經過在變化的情境中練習，認知策略等才能獲得遷移，才能靈活應用。

皮連生教授認為，技能的獲得一定要經過練習這一個階段，他甚至將技能定義為“在練習基礎上形成的按某種規(guī)則或操作程序順利完成某種智慧任務或身體協調任務的能力”。

美國認知心理學家安德森認為技能的獲得分為陳述性知識編碼和程序性知識編碼兩個階段。這一觀點得到了普遍認可，根據這一理論，我們提出了一個泛概念——“后練習”，試圖重新構筑一個學生程序性知識學習的模型，將練習分為三個階段：第一階段稱為練習匹配階段，當環(huán)境刺激進入工作記憶時，學生進行淺層練習后直接進入長時記憶中儲存;第二階段是一般練習階段， 或稱為匹配練習階段，當學生熟悉的相似環(huán)境刺激進入工作記憶，同時激活長時記憶中已儲存的上階段知識，解決問題;第三階段是練習的后期階段，或稱為提升能力階段，當學生能夠進行相似環(huán)境的問題解決后，教師需要進行問題“升級”，使得長時記憶系統能夠辨別相似編碼，區(qū)分不同問題類型，進一步形成數學問題解決的能力。

三、“后練習”實踐建構

1. “后練習”內容多變，讓學生內省反思

“后練習”內容追求多變。練習題設置要呈現題組，考慮練習的目的，統籌練習的過程，突顯學生的主體地位，經歷練習前的活動、練習中的參與及練習后的內省。比如，賁友林老師在“圓的認識”練習時，安排學生畫一組圓。出示方格紙，提出第一個要求：在方格紙上畫圓，過A點任意畫一個圓。展示學生作品時，學生介紹：“我過A點畫了3個圓，有大有小。”教師追問：“都能畫3個嗎？”學生說：“還有很多呢，我畫了5個。”賁老師：“過A點能畫多少個圓？”學生補充道：“無數個。”

賁老師接著提出第二個要求：過A和B兩點畫圓。學生展示作品并交流：“過A、B兩點，畫了3個圓。”另一個學生補充說：“我還有不同的畫法?！边€有一位學生在下面嘀咕：“那過A、B兩點可以畫多少個圓呢？”很快有學生舉手說：“能畫無數個，這些圓好像在一條線上。”另一個學生補充道：“這些圓的圓心在一條線上?！?/p>

賁老師提出第三個要求：過A、B、C三點畫一個圓。邀請學生展示作品，學生展示作品時交流發(fā)現：“過A、B、C三點，只能畫一個圓。”學生思考：怎么只能畫一個圓呢？有學生自言自語：好像只能畫一個圓。

在學生自我追問、自我內省的基礎上，賁老師繼續(xù)追問：“通過這三次畫圓，你們有什么發(fā)現？”學生回答：“過一點可以畫無數個圓。”“過兩點也可以畫無數個圓，但這些圓的圓心在一條直線上?！薄斑^三點也可以畫圓，但只能畫一個。”賁老師說：“你們還有什么問題嗎？”學生提出：“這些點在任意位置時都可以畫圓嗎？”“過四點能畫圓嗎？”……“后練習”的內容追求多變，在變化過程中讓學生自然感悟、內省反思。

2. “后練習”方式多樣，讓學生體驗過程

“后練習”貫穿于教學的全過程，練習需要在活動中體驗，在情境中感悟，在比較中發(fā)現，倡導練習方式的多樣：看一看、辨一辨、畫一畫、推一推、查一查、寫一寫……

看一看：一年級的“多（少）一些、多（少）得多”練習中，對于多一些與多得多的具體界限是難以明說的，很難用一個具體的百分比或具體數量來界定的。練習要化無形為有形，借助數射線這一直觀圖來幫助理解，在直觀的比較中讓模糊的界限在學生心中逐步“清晰”起來：（1）在數射線上找到幸運數“25”，然后逐漸向右移動，問26、27……這些數與25相比怎樣？（2）逐步向右移動下去，與25相比會怎樣？停至40時，觀察25與40這兩個數點，問40與25相比，感覺怎樣？（3）找到25、28與40這三個點，問28比25怎樣？40比28又怎樣？這樣的直觀比較，過程體驗性強，練習中思考，化無形為有形。

辨一辨：學習了幾種相似的概念后，學生就會產生知識點混淆，作業(yè)的正確率降低，這就需要設計對比性練習，讓學生將多種相似但又有所不同的知識點進行比較，找它們的聯系與區(qū)別，形成良好的結構。例如，學習了奇數、偶數與質數、合數后，一下子集中了這么多的數論概念，學生難以完全消化，設計必要的辨析題：什么是奇數？什么是偶數？什么是質數？什么是合數？奇數一定是質數嗎？偶數一定是合數嗎？什么數既是偶數又是質數？哪些數既是奇數又是合數？讓學生通常辨一辨，理一理，想一想，對不同概念進行區(qū)別與聯系，形成自我獨特的認知結構。

畫一畫：數學練習中許多問題表面看相近，仔細分析大有不同，借助畫圖可以有效地促進學生對其本質的把握。如在教學“分數乘法”時：（1）第一根繩子長12米，比第二根繩子多■，第二根繩子長多少米？（2）第一根繩子長12米，比第二根繩子多■米，第二根繩子長多少米？兩題看上去幾乎無差別，僅一字之差，借助畫線段圖，尋同求異，分析具體量與分率的各自內涵，達到了深化理解的目的?！昂缶毩暋苯柚嬀€段圖、示意圖、韋恩圖等，讓學生獨自面臨問題，有更好的思考“拐杖”，學會用數學的方法解決問題。

推一推：練習經常設計一些判別題，讓學生推理判斷，培養(yǎng)學生初步的邏輯推理能力，同時也培養(yǎng)了思維的深刻性。例如，學習了“平均數”后，出示判斷題：（1）第一小組男同學的平均體重是34千克，說明每一位同學的體重都是34千克。（2）小明的身高是1.5米，他去平均水深是1.2米的池塘里游泳，肯定沒有危險。（3）三年級5個班平均每班捐書42本，有的班捐的本數可能比42本少。讓學生一一判斷、推理每道題的正誤，說出自己判斷的依據和想法，以此來檢測學生是否真正理解了平均數的統計學意義，而不是簡單地會算平均數，真正發(fā)展學生推理的數學素養(yǎng)。

查一查：數學要學會實踐性練習，走進工廠車間，了解家庭日常收支，調查了解數學知識在生產和實際生活中的運用，使學生真正體會到數學來源于生活。比如，農村各地正在進行產業(yè)結構調整，組織學生到農戶進行調查、收集數據，分析產業(yè)結構調整帶來的經濟效益;組織學生收集某段時間馬路交通的車流量，制成“車流量統計表”;收集不同商店的商品價格，制成“商品價格對比表”;組織學生收集鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)近年來產值和利潤情況，制成折線統計圖。讓學生能根據自己制成的統計圖表，提出一些實際問題。

寫一寫：寫“數學日記”“數學故事”“數學心得”等，讓學生運用自我語言表達數學學習的新思考、新發(fā)現，深化他們對問題的理解，找到成功的感覺，增加學習自信心。例如，在學習了自然數、整數之后，學生對“數”產生了興趣，他們會把觀察學習的收獲寫進日記里?！敖裉熳罡邷囟仁?5度，用自然數‘15表示，那么零下15度怎樣表示呢？前進了‘500米與后退了‘500米又是什么聯系呢？查閱資料我發(fā)現，有些數可以在它的前面加個‘-，它可以表示負數。真想不到，看起來很枯燥的數原來有這么多奧秘！”此外，還可以組織學生進行“數學日記”評比，講數學故事，演數學情景劇等。

3. “后練習”層次多級，讓學生爬坡生長

“后練習”追求練習的層次性。創(chuàng)設一個整體的學習過程，從課前的預學練、課中基礎練、對比練、提升練、分層練，課后的補充練、拓展練，通過設計有價值的數學問題，發(fā)展學生的數學思維能力，培養(yǎng)他們解決復雜問題的水平。以蘇教版小學數學四年級下冊“乘法分配律”教學為例。

課前預學練：用兩種方法解答下列問題（列綜合算式），思考每一題兩道算式之間有什么關系。

（1）一種童裝，上衣每件55元，褲子每條45元，買這樣的4套要用多少元？

（2）下圖中大長方形的面積是多少平方厘米？

課中基礎練：獨立完成教材第63頁“練一練”的第1、2題。

課中對比練：在橫線上填上恰當的運算符號或數。

（1）56×7+56×13 =（? ? ? ? ? ） ×

（2）（7? ? 13）×56=7×（13×56）。

學生思考填空并說明依據。對比“乘法分配律”與“乘法結合律”的異同。練習前后讓學生辨一辨：這兩道題有什么聯系？有什么區(qū)別？

課中提升練：采用“男女生大PK”創(chuàng)設情境，第一輪出示：64×8+36×8（男），（64+36）×8（女）。練習后男生感覺不公平，表達訴求，得出有時借助括號可以使計算簡便。教師順勢進行第二輪比賽：25×4+25×40（女），25×（4+40）（男）。練習后男生仍覺得不公平，引導學生討論思考。在學生所感所悟的基礎上，教師出示第三輪練習，不計算讓學生自主選擇問題，順應學生自覺“求簡”的學習需要，運用乘法運算律進行簡便運算成為學生的主動追求。

課中分層練：主要體現學生練習水平的差異，教師在口袋中常常放一些“小紙條”，根據學生的練習進度及理解水平，適時適當地遞給部分優(yōu)秀學生一張“小紙條”，保證優(yōu)秀學生吃飽吃好。

課后補充練：補充練習常以課堂中出現錯誤最多的問題作為樣題，給學生修補認知漏洞;也可結合下一節(jié)課需要學習的新問題編制，體現實踐性、精簡化。

“后練習”時間多輪，要讓學生課前、課中及課后全身心沉浸于問題研究?！昂缶毩暋背珜Ь毩曋械纳疃葘W習，讓學生在課堂不同練習階段都得到提升?！昂缶毩暋奔葘W習內容的引發(fā)、探究、鞏固，還對知識學習的生長和延伸，更讓學生在學習過程中內省、提升和發(fā)展。數學以“問題”為核心的，在課堂教學中，抓住核心問題、提煉關鍵問題、解決重要問題是數學教師的必修課。杜威認為兒童的學習就是問題解決的過程。設置數學練習不只是關心問題本身，解決問題的過程伴隨著如何尋找解決問題的思路，如何培養(yǎng)高層次的思考技能，這些對學生的后繼學習和未來發(fā)展更加重要。