追本溯源，分層建構

馬吳艷

摘? 要：“角的認識和度量”，要以“認識”作為基礎，以“度量”作為知識生長點。借助于學生的已有知識經驗，通過學生的操作，引導學生重蹈人類探索量角器的思想歷程、關鍵步子，讓學生認識測量的本質、測量工具——量角器的本質，由此讓學生逐步地認識角、測量角。

關鍵詞：小學數學;角;教學建議

“角的認識和度量”是“圖形與幾何”部分的基本內容之一。蘇教版教材將這部分內容安排在四年級上冊《垂線和平行線》單元進行教學。在此之前的二年級下學期，學生已經學習了《角的初步認識》，直觀認識了角，并且初步知道了角的頂點和兩條邊。同時，學生已經在前一課時認識了射線，這些都是學生認識角的重要的知識基礎。通過這部分內容的學習，引導學生進一步深化對角的認識，學會比較角的大小，進而引出用量角器量角的方法，為學生進一步學習平角、周角、角的分類、畫指定大小的角奠定堅實的基礎。教學這部分內容，要遵循知識本身的發生、發展邏輯，去追本溯源、分層建構。下面，筆者結合自身的教學實踐對這部分教材內容做簡單分析，并提出相應的教學建議，以供備課參考。

一、教材內容分析

這部分教材內容大體上分兩段安排：第一段內容包括例2、“練一練”中的第三、第四題;第二段內容包括例3、3道“練一練”。兩個部分內容配套一個“練習13”。其中，通過例2的學習，引導學生認識角、理解角的大小與兩條邊叉開的大小有關;通過例3的學習，引導學生經歷量角器的結構誕生過程，能運用量角器量角。教學這部分內容的時候，要遵循從直觀到抽象、從操作到理解的過程。具體來說，這部分內容的編排主要有如下幾個特點。

1. 基于經驗，從直觀到抽象

學生在第一課時已經認識了線段、直線、射線等的特征，這些是學生認識角的經驗基礎。蘇教版教材從學生已有經驗出發，緊緊扣住“射線”，引導學生靜態地“認識角”。“例2”以一點為端點畫兩條射線，引導學生通過“畫一畫”“看一看”，理解教材中對角的靜態描述，即“從一點引出兩條射線可以組成角”，進而讓學生指出“角的頂點、兩條邊”。在鏈接學生已有知識經驗的同時，引導學生體會到，所畫角的兩條邊是兩條射線，頂點是兩條邊的公共的端點。接著，教材用一段紅顏色的弧線標注角，并清楚地指出，角是由兩條射線組成的圖形，是兩條射線所夾的平面部分，從而讓角的概念更加明確。在例2中，清晰地表示角的符號“∠”，以及使用符號表示角的具體方法，如∠1。這樣的表示方法，能讓學生感受、體驗到符號的簡潔，感受到符號有助于表達、交流。

在“練一練”第3題中，要求學生以一條射線為一條邊，分別畫一個角。“畫角”需要學生找到已知射線的端點，并從這一點出發，再畫出一條射線，從而與原來的射線組成了一個角。通過畫角，能夠增強學生對角的表象。在“練一練”第4題中，要求學生數一數一塊三角尺上有幾個角，并且指出每一個角的頂點、兩條邊。通過這樣的活動，讓學生感受、體驗到三角尺上的每一條邊，既是一個角的一條邊，也是另一個角的一條邊。當學生能夠清晰地指出每一個角的頂點、邊之后，角的初步概念也就在學生心里形成了。

在“練習十三”第2題中，三條射線有同一個端點。在這樣的稍復雜的圖形中識別角，就是要深化學生對角的感受與體驗，因為每兩條射線都可以組成一個角，因而從同一個頂點出發的三條射線就組成了三個角。教學中，教師要組織學生交流每個角的頂點、兩條邊，引導學生用手指示意弧線表示兩邊所夾的部分，引導學生用符號來表示各個角，感受圖中的較小角可以合成一個較大的角。

2. 基于活動，從操作到理解

活動是學生數學學習的基石，也是學生經驗建構的主要方式。“角的認識和度量”教材第二部分的主要內容就是“角的度量”。其中，例3給出一個角，讓學生用三角尺上的角去度量這個角的大小。由于三角尺上角的大小不同，所以測量的結果與表達各不相同。如果用三角尺上較大的銳角去量，那個角正好等于較大銳角;如果用三角尺上較小的銳角去量，那個角正好等于較小銳角的2倍;如果用三角尺的直角去量，那個角比直角小。教材安排這些測量活動的目的有兩點：其一就是要讓學生認識到，測量角的大小就是找尋一個大小已知的、與被測量角大小相等的角;其二就是要讓學生感悟到，測量角的大小，必須要有一個統一度量工具和計量單位，這些與測量長度需要有一個統一的長度單位、測量面積需要有一個統一的面積單位、測量容量需要有一個統一的容量單位是一致的。

在此基礎上，教材介紹了量角器。這里的介紹是有層次性的，首先是1°小角的建立，因為對于大部分學生而言，他們能清楚地看到量角器的刻度線、看到量角器上的數字，卻想不到量角器的中心與兩條刻度線竟然組成了一個“1°”小角。這里，可以引導學生進行“分角”“拼角”的活動。其次要引導學生認識量角器，尤其要把握量角器上的內外兩圈刻度，這里，要讓學生從量角器的左右兩邊感受、體驗0°、20°、90°、135°、180°的角，其意圖有兩個：一是讓學生認識到量角器能將任何一個角量出來，引導學生正確讀刻度、算角度。再次就是在認識量角器后，引導學生學會使用量角器測量角的大小。這里的活動線索是“圖示方法—模仿操作—交流體會”，也就是“點重合、邊重合、讀刻度”等。

教材對“練一練”的編排是由易到難的，其中第1題直接就能說出刻度;第2題要將量角器正確放置在角上，讀出量角器刻度;第3題先讓學生估測，然后讓學生用量角器測量驗證。“練習十三”的第8題給出四幅用量角器量角的圖，其中有三個的測量方法不對，這里可引導學生辨析正誤、改正錯誤。“練習十三”的第9、10兩題，用量角器測量角的難度顯著增加。一方面是量角器的正確放置，另一方面是選擇量角器的內外圈讀刻度。“練習十三”第13題，先讓學生估測，再讓學生測量。通過估測，培養學生估計角的大小的能力，形成估計角的大小的參照。

二、幾點教學建議

根據教材的編排意圖，教師在組織內容實施教學時，要結合學生的已有知識經驗，追根溯源、分層建構。通過教學，一方面讓學生認識“角”的本質，另一方面認識角的“度量”的本質。教材中，這兩個部分的內容前后聯系緊密、連貫性強，對此如何扎實有效地進行教學呢？筆者認為，可以從以下三個方面入手：

1. 加強動手操作，明晰測量知識本質

由于學生已經擁有了對角的初步認識，因此在實施第一部分內容教學時，教師可以從兩個方面來引導學生認識角。一方面是教材中的靜態視角，另一方面是借助活動角的動態視角。在靜態視角認識角的時候，可以引導學生“畫一畫”“標一標”;在動態視角認識角的時候，可以借助活動角的動態演示、操作，讓學生深刻認識到“角的大小就是角的兩條邊叉開的大小”。在進行第二部分內容的教學時，教師不是簡單地傳授“量角”的技能，而是讓學生經歷“量角器誕生”的過程。從“度量”的本質出發，即“度量一個對象就是看這個對象包含了多少個單位”。這樣的認識，學生應該是有其知識基礎的。因為學生在二年級下冊學習《認識厘米》時，就經歷了“厘米尺”的誕生過程，感悟到測量的本質。

量角器的認識，學生有兩個難點：其一是“不知道量角器為什么要有內外兩圈刻度”，其二是“不知道量角器的0刻度在哪里”（注：因為學生受直尺影響，容易將量角器的左端誤認為0刻度） 。為了讓學生感受、體驗量角器的測量本質，教師可以通過多種方式引導學生測量角，比如用三角尺上角去比較角，比如用活動角去比較角。這里，能讓學生感受到動態地運用活動角去比較角的大小的方便、快捷，而運用固定角去比較角的麻煩。盡管如此，學生也發現活動角只能進行角的比較，卻不能進行角的精確度量。由此激發學生產生用諸多單位小角去比較角的大小、對角的大小進行測量的需求。

2. 突破教學難點，明晰測量工具本質

運用量角器測量角，學生一般會出現如下問題：其一是不能將量角器的中心點與角的頂點對齊;其二是學生不能將量角器的0刻度線與角的一條邊重合;其三是學生不能清晰地選擇量角器的內外圈刻度進行讀數;其四是學生對于不是水平方向的角，也就是開口方向不同的角，不知道如何擺放量角器，等等。這些難點問題，歸結起來就是學生對于量角器這一角的度量的工具本質沒有深刻的認知。引導學生突破教學難點，就必須讓學生清晰測量工具的本質。為此，教學中，教師要回歸量角器的創造的源頭，引導學生自主建構量角器。

首先是從靜態地用三角尺上“固定角”比較角的大小的過程中獲得啟發，用單位小角去進行角的大小比較、測量，從而引入“1°”的單位角。其次從動態的活動角比較角的大小的過程中獲得啟發，即可以將這些“1°”的單位角串接起來，從而構建了一個量角器的雛形。再次是改進、完善量角器雛形。比如學生一開始只是制作了一個“直角形的量角器”，為此教師可以出示一個鈍角，引導學生認識到制作一個“半圓形的量角器”的必要性。學生可能一開始只是標注了量角器的單圈刻度，為此教師可以出示不同開口方向的角，比如“開口向左”和“開口向右”的角，學生就能感受、體驗到單圈刻度的量角器在測量角時擺放的不方便，據此催生學生生發出內外兩圈刻度的心理需求。在引導學生理解了測量的本質、工具的本質之后，教師可以適當地引導學生歸納，以便幫助學生更快地形成測量角的技能。

綜上所述，“角的認識和度量”，要以“認識”作為基礎，以“度量”作為知識生長點。借助于學生的已有知識經驗，通過學生的操作，引導學生重蹈人類探索量角器的思想歷程、關鍵步子，讓學生認識測量的本質、測量工具——量角器的本質，由此讓學生逐步地認識角、測量角。從而為學生后續學習相關知識打好基礎，給學生后續學習相關知識提供支持。