穿越舊知出新意 追問重重逐本質

胡冰雁

摘要：問題鏈是指基于特定的教學目標而設定的一系列問題。問題鏈教學以問題串聯課堂，貫穿課堂始終，提高學生的專注力與邏輯思考能力，培養學習積極主動性，提升學生的核心素養。

在數學課堂中，我們常用問題鏈的方式來構建數學教學過程。利用問題鏈教學方法，突出數學課堂教學的重點，為教學難點搭建起橋梁，分散難點，各個擊破。問題鏈教學的實施關鍵在于每一個問題的設置，不僅要求成鏈式問題，更追求問題的質量與效果。下面，筆者通過《反比例函數的圖像及性質》這一課，結合案例分析問題鏈在數學教學中的作用及注意點。

1.教學案例分析

在初中數學中我們就學習到：反比例函數（）的圖像是雙曲線。在高中階段我們學習了《雙曲線的標準方程》，《雙曲線的簡單幾何性質》這兩節課之后，學生會產生這樣的疑問，雙曲線的標準方程（且）與上述方程形式上截然不同，但從圖像上看反比例函數圖像是雙曲線，這樣的關系如何進行探究與證明？

2.案例展示

2.1穿越舊知，引入新課：

問題1：函數圖像直觀又形象的揭示了函數的性質，那么我們所熟悉的反比例函數（）的圖像有哪些性質呢？請同學們畫出反比例函數圖像，并說明其性質。

追問：在初中數學中我們就學習到：反比例函數（）的圖像是雙曲線。而在前一階段學習過程中，我們也學習了雙曲線的簡單幾何性質，請同學們作出雙曲線的函數圖像說明其性質。

設計意圖：教育學家蘇霍姆林斯基說過：“借助已有的知識去獲取新知，這是最高的技巧”。通過學生作圖，讓學生感知兩者圖像上的異同之處，感受知識的傳承與連接。

2.2探究分析，概念建構

問題2：標準方程下的雙曲線圖像與反比例函數圖像有什么區別與聯系？

預設：學生回答，反比例函數圖像也有兩支，中心對稱，有漸近線，將其進行旋轉之后可以得到標準方程下的雙曲線圖像等等。

追問：反比例函數圖像的漸近線夾角幾度？聯想到什么特殊的雙曲線？

預設：兩漸近線的夾角為，聯想到等軸雙曲線，進而引出等軸雙曲線的概念。

特別地，我們有等軸雙曲線的概念：實軸和虛軸相等的雙曲線叫等軸雙曲線，其標準方程可寫為，滿足，兩漸近線夾角為。

問題3：如何證明反比例函數圖像是雙曲線？有哪些角度可以思考呢？

追問①：的圖像是雙曲線嗎？你是如何得到的呢？從等軸雙曲線的角度出發可以進行驗證嗎？

方法一：驗證法

如圖，設雙曲線上任意一點，則有，即

化簡為，由雙曲線的定義可知的圖像為雙曲線。

同理，可驗證的圖像也為雙曲線。

追問②：該雙曲線的標準方程下漸近線是？反比例函數下的漸近線是？它們的夾角是？如果進行旋轉的話可以得到雙曲線圖像嗎？

方法二：旋轉法

證明：如圖，設原平面直角坐標系下反比例函數（）上任意一點，則，旋轉角，旋轉后的坐標系下的點滿足，化為，將上述式子代入到反比例函數方程（）中，不難得到，其中，化簡得。故的圖像為雙曲線。

設計意圖：通過問題設計，讓學生進行分析探究，嘗試多角度多方法解決同一個問題，回歸到雙曲線定義的本質，由數到形，再由形到數，由特殊函數到一般函數，體會數學思想在其中的碰撞融合。

2.3巧用性質，融會貫通

（四）、總結思考，提升能力

最后教師引導學生一起交流學習中的體會、感受與收獲，并圍繞本節課的重點進行總結。從雙曲線的定義出發，利用坐標軸的旋轉確定反比例函數圖像是雙曲線這一概念，進行例題求解，提升能力。

3.總結

教師在問題鏈教學的把握上容易進入為了問題而設置問題的誤區，在課堂上設計一系列過于簡單或者跳躍性較大的問題，將問題鏈教學流于形式。因而在教學過程中，首要把握的是要以學情為基礎，從學生的學情出發設置第一個引入式問題，激發學生學習興趣，對既學知識的質疑能力。其次，在課堂教學中，注意將教學問題分解，從一種形式向另一種形式轉化。例如反比例函數與雙曲線標準方程看似毫無關聯，但是數與形相輔相成，方程的形式雖然不同，其圖像之間卻有著千絲萬縷的聯系。在本節課的教學過程中，抓住這一學生遺留下來的沖突點，分解成圖形與代數兩方面的問題進行探究，體會數學問題的雙重性。

參考文獻

[1]馬偉明. 精心設計“問題鏈” 打造高效課堂[J]. 中學化學教學參考， 2015（12）：32-33.

[2]黃光榮. 問題鏈方法與數學思維[J]. 數學教育學報， 2003， 12（2）：35-37.