用類比思想構(gòu)建新知結(jié)構(gòu)
——以“整式乘法與因式分解”單元教學(xué)起始課為例

■馬國建

【教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)】

1.經(jīng)歷借助圖形直觀發(fā)現(xiàn)整式乘法法則和乘法公式，感悟數(shù)形結(jié)合的思想。

2.構(gòu)建本章的知識結(jié)構(gòu)。

3.在探究整式乘法法則、乘法公式的過程中，提升發(fā)展學(xué)生的符號意識、幾何直觀、推理能力等知識技能。

4.引導(dǎo)學(xué)生感悟：對于一個數(shù)學(xué)表達(dá)式，不僅要會順向看，還要會逆向看；弄清這兩種變形是互逆變形的過程。

【教學(xué)流程】

活動一：研究支撐回憶

問題1：下列式子屬于數(shù)的哪些運(yùn)算？

（1）8+3；（2）8-3；（3）8×3；（4）8×（3+2）；（5）（8+4）×（3+2）；（6）8÷3。

師：同學(xué)們，我們在小學(xué)是怎么稱呼這些運(yùn)算的？

生：整數(shù)加法、整數(shù)減法、整數(shù)乘法、乘法的分配律、整數(shù)除法。

師：這位同學(xué)回答得非常正確。

【設(shè)計(jì)意圖】回憶小學(xué)時的“數(shù)的運(yùn)算”，學(xué)生以輕松愉悅的心情成為課堂的主導(dǎo)者。

活動二：研究方向的確立

利用學(xué)生熟悉的長方形面積公式設(shè)置了以下若干問題：

問題2：如圖1，某城市中心廣場有一塊長方形的花圃，若花圃的豎直方向長為a 米，水平方向長為b 米，列式表示花圃的周長和面積。

師：有哪位同學(xué)會列式表示花圃的周長和面積？

生1：周長是a+a+b+b=2a+2b，面積是ab。

生2：周長還可以是長寬和的2 倍，2（a+b）。

師：同學(xué)們還有補(bǔ)充的嗎？

生3：老師，題目里有單位，所有周長的單位應(yīng)該是米，面積的單位是平方米。

師：同學(xué)們回答得真好。那么請大家思考一下周長a+a+b+b=2a+2b 是屬于什么運(yùn)算？

生4：等號左邊是4 個單項(xiàng)式的和，右邊是兩個單項(xiàng)式的和，等號左邊到右邊的過程是合并同類項(xiàng)。

生5：等號左右兩邊各是兩個多項(xiàng)式。

師：這兩位同學(xué)回答得很好。同學(xué)們，我們在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了用字母表示數(shù)，然后學(xué)習(xí)了整式中的單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。這個a+a+b+b=2a+2b從等號左邊到右邊的過程是整式的加法（合并同類項(xiàng)）。那么有哪位同學(xué)可以給我們大家舉一個整式減法的例子？

生6：5a2b-2a2b=3a2b。

師：通過問題 3、問題 4、問題 5、問題 6，結(jié)合“數(shù)的運(yùn)算”，請大家猜想一下接下來我們會研究整式的哪些運(yùn)算，并給這些運(yùn)算的類型起名字。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生自主回顧舊知識，并以主導(dǎo)者的身份去類比猜測得出后期整個章節(jié)我們需要研究整式的哪些運(yùn)算，從而達(dá)到完成新知識的探究過程。

活動三：研究的過程（小組合作討論）

問題3：如圖2，為了擴(kuò)大花圃面積，將花圃的水平方向加長n米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應(yīng)該怎么表示呢？

生1：加長后的花圃仍然是一個長方形的花圃，兩邊長分別為（b+n）米、a米，所以擴(kuò)大后的花圃面積是a（b+n）。

生2：可以將原來的面積加上多出部分的面積，因?yàn)槎喑龅牟糠忠彩情L方形，這樣得到的花圃的面積是ab+an。

生3：缺少了單位，應(yīng)該是（ab+an）平方米。

師：同學(xué)們通過兩種不同的途徑得到同一個圖形的面積。所以我們得到a（b+n）=ab+an。

問題4：如圖3，為了擴(kuò)大花圃面積，將花圃的豎直方向加長m米，水平方向加長n米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應(yīng)該怎么表示呢？

生1：加長后的花圃仍然是一個長方形的花圃，兩邊長分別為（b+n）米，（a+m）米，所以擴(kuò)大后的花圃面積是（a+m）（b+n）平方米。

生2：可以將原來的面積加上多出的3 部分的面積，這樣得到的花圃的面積是（ab+an+bm+mn）平方米。

生3：可以看成是水平方向長為（b+n）米的上下兩個長方形拼起來的，所以面積為a（b+n）+m（b+n）。

師：同學(xué)們通過不同的途徑得到同一個圖形的面積（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn。

問題5：如圖4，為了擴(kuò)大花圃面積，將花圃的豎直方向加長b米，水平方向加長a米，列式表示花圃的面積。

師：變化后的花圃面積應(yīng)該怎么表示呢？

生1：變化后的花圃是一個正方形的花圃，花圃的長和寬都是（a+b）米，所以擴(kuò)大后的花圃面積是（a+b）2平方米。

生2：還可以將4 個部分的面積相加，這樣得到的花圃的面積是a2+2ab+b2。

問題6：為了增加花圃的藝術(shù)美觀性，現(xiàn)設(shè)計(jì)如圖5 形狀的花圃，請列式表示陰影部分花圃的面積。

師：如果按照新設(shè)計(jì)的圖，同學(xué)們能否列式表示陰影部分花圃的面積？

生1：從整體看，陰影部分花圃的面積等于邊長為a的大正方形減去邊長為b的小正方形面積。可以列式為a2-b2。

生2：我仔細(xì)觀察了這兩個陰影長方形，它們的寬都是a-b，所以這兩個陰影長方形可以拼成以a-b為寬的長方形。這個時候拼接后新的長方形的長為a+b，所以陰影部分的面積為（a+b）（a-b）。

問題7：以下這些運(yùn)算我們應(yīng)該怎么給它們命名呢？

小組給出意見，教師不斷引導(dǎo)，如圖6。

師：同學(xué)們，這些式子是什么數(shù)量關(guān)系？等號左邊到右邊的過程你是怎么理解的？

生1：這些式子兩邊都是相等的，兩邊只是表示形式的不同。花圃的面積可以從整體去考慮，也可以分成若干個小的長方形去求。

生 2：a（b+n）=ab+an，從左邊到右邊，我聯(lián)想到8×（3+2）=8×3+8×2，其運(yùn)用了乘法的分配律。我猜想單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)。

生 3：（a+m）（b+n）=a（b+n）+m（b+n）=ab+an+bm+mn，從左邊到右邊，我想到多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，可以第一步直接到最后一步。先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。

師：同學(xué)們觀察得真仔細(xì)，我們由圖形的面積得到第8 個等式，從第3 個到第8 個等式里面可以發(fā)現(xiàn)，整式的乘法可以分為單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式這三類。這里我們遇到兩個特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：完全平方公式和平方差公式。

【設(shè)計(jì)意圖】在利用等面積法探究整式乘法法則、乘法公式的過程中，提升發(fā)展學(xué)生的符號意識、幾何直觀、推理能力等知識技能。

活動四：研究成果的應(yīng)用

練習(xí)1：下列式子屬于整式的乘法運(yùn)算的哪種類型？（鞏固整式的乘法類型。）

練習(xí) 2：計(jì)算 a3·a2；3（2x2+y）；（a+1）2。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在學(xué)習(xí)了整式乘法法則、乘法公式的運(yùn)算法則之后，能判斷簡單的整式運(yùn)算的類型和整式乘法運(yùn)算。為以后的單元教學(xué)精學(xué)課、單元教學(xué)習(xí)題課和單元教學(xué)整理課做鋪墊。

活動五：研究反思補(bǔ)充

問題8：類比小學(xué)學(xué)的“數(shù)的運(yùn)算”，大家覺得我們還有沒有遺漏整式的哪些運(yùn)算？

生：我覺得我們以后的學(xué)習(xí)過程中肯定會學(xué)到整式的除法。

師：很對，我們會在八年級下學(xué)期學(xué)習(xí)到整式除法的一種形式——“分式”。

師：請大家看一下這個題目99×101-99×100，大家還記得在小學(xué)怎么算的嗎？

生 1：99×101-99×100=99×（101-100）。

生2：老師，我發(fā)現(xiàn)一個相同的地方，乘法分配律的逆運(yùn)算過程在整式乘法里也成立。

師：很好，這兩位同學(xué)都很棒。請大家看一下，我們所列的各個等式從右邊到左邊的過程，將一個多項(xiàng)式寫成幾個整式乘積的形式，叫作多項(xiàng)式的因式分解。

活動六：研究總結(jié)提煉

問題9：本節(jié)課你有哪些收獲？

生1：類比小學(xué)學(xué)過的整數(shù)的運(yùn)算，得到整式除了加減之外，還有整式的乘法和整式的除法，并且了解到整式的乘法里面還包含了單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，還遇到兩個特殊的多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，完全平方公式和平方差公式。

生2：由這7 個式子我們可以發(fā)現(xiàn)，從等式的左邊到右邊的過程是計(jì)算中整式的乘法公式，由右邊到左邊的過程是因式分解。所以整式的乘法與因式分解是兩種互逆變形。

生3：借助圖形的面積，我們能直觀地發(fā)現(xiàn)整式的乘法法則和乘法公式，還總結(jié)構(gòu)建了“整式乘法與因式分解”這章的知識結(jié)構(gòu)思維導(dǎo)圖。如圖7。

師：這幾位同學(xué)總結(jié)得真好。下課！同學(xué)們再見！

【教學(xué)反思】

本節(jié)課從實(shí)際問題入手：為了擴(kuò)大花圃面積，將花圃的水平方向和豎直方向的長度不斷變化，意在讓學(xué)生認(rèn)識并理解整式的乘法和因式分解是代數(shù)運(yùn)算及解決許多實(shí)際問題的重要基礎(chǔ)。利用等面積法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、完全平方、平方差公式等結(jié)論，簡單直接，更易于驗(yàn)證公式。

學(xué)生自主回顧舊知識來類比猜測后期整個章節(jié)我們需要研究整式的哪些運(yùn)算，從而達(dá)到完成新知識的探究過程。“整式乘法與因式分解”章節(jié)起始課能幫助學(xué)生了解本章所學(xué)的主要內(nèi)容，熟悉本章的知識結(jié)構(gòu)，關(guān)注各個知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

工作室領(lǐng)銜人何麗華老師提出數(shù)學(xué)單元教學(xué)是在整體思維指導(dǎo)下，從提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對相關(guān)教材內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化。優(yōu)化后的相對獨(dú)立的數(shù)學(xué)整體教學(xué)內(nèi)容就是數(shù)學(xué)單元。