由對日偏食的簡單觀測估計日月直徑

趙蕓赫 蘭 鑫 黃 敏 馬宇翰

(1. 首都師范大學附屬中學，北京 100048； 2. 四川省成都市新都一中銘章學院，四川 成都 610500; 3. 北京計算科學研究中心，北京 100193)

2019年12月26日，由于月亮處于地球和太陽間的特定位置，在全球部分地區出現了日環食現象.本次日環食的環食帶，寬約118 km，自沙特阿拉伯開始，經過卡塔爾、阿拉伯聯合酋長國等地，至太平洋西部結束.而中國全境并未處于這條帶中，因此，在中國境內能看到的是日偏食現象.

利用天文望遠鏡、單反相機、日食觀測鏡、以及目前一些智能手機自帶的照相機等都可以對日食進行觀測和記錄.在日食的若干觀測方式中，小孔成像簡單易行，初中學生便能掌握其原理.通過對該小孔成像的裝置進行改進,可以使學生能夠更好地探究其成像與像距、孔的大小形狀等的關系.將小孔成像的原理運用于日食天象中，學生容易分析出太陽在被月亮遮擋后經小孔可在光屏上成倒立縮小的實像，像距越大，像越大.且所成的像僅與這個“殘缺太陽”的形狀有關.因此，利用小孔成像的裝置來觀測日食，對于學生來說是一次很好地對于知識的遷移和應用.另外，除了運用小孔成像原理本身，對于所觀測到的日食結果也可以有很多可以挖掘和討論的.

1 利用小孔成像觀測日偏食

當日午間，北京地區天氣狀況良好，能見度很高.筆者按照計劃分別在首都師大附中北校區和北京計算科學中心，利用小孔成像原理對北京地區上空的日偏食現象進行觀測.

圖1所示小孔成像裝置由11個一次性紙杯連接而成，中間打通作為中空鏡筒，前部戳一小孔用于透光，尾部用半透明塑料薄膜套封作為觀測屏.所用一次性紙杯的高度為85 mm,上口直徑為75 mm，從小孔到觀測屏的距離d=11×85 mm=0.935 m.從北京時間下午13:30至14:20，筆者用圖2所示小孔成像裝置觀測到的部分偏食圖像如圖2所示.

圖1 觀測日偏食用的小孔成像裝置

圖2 小孔裝置成像屏上所觀測到的偏食圖像

圖2中的光亮部分為太陽經過小孔在觀測屏幕所成像.可以看出，光亮圓形的邊緣處有一缺口，這便是由于月球的遮擋導致的日偏食現象.隨著觀測的進行，月球所遮擋的部分隨著時間先增大后減小，在遮擋部分最大時，遮住的面積約占整體圓形面積的15%左右，與預測的一致.

2 從對日偏食的觀測估算日月半徑

圖3 小孔成像原理示意圖

由于偏食的出現是月球和太陽在觀測視野中幾何上的相互遮擋造成的，故本文通過對偏食的觀測結果的分析，利用偏食成像的亮部和暗部的尺寸特征對太陽和月亮的尺寸進行簡單估算.小孔成像原理的簡單圖示如下.

圖3中，物體尺寸(直徑)為R, 物體到小孔距離為L, 小孔到成像屏距離為d, 物體經小孔在屏上所成像尺寸為r. 根據相似三角形的比例關系，有

(1)

圖4 利用PPT的標準圓測量像的直徑

將圖2中觀測到的日偏食圖像中一張較為清晰的圖片放入PPT處理：分別用標準圓形將觀測屏區域和亮斑區域圈中，如圖4中兩個環形所示.

1.5×109m.

(2)

查閱資料得，太陽直徑的實際值為R0=1.392×109m.由于觀測精度問題，估計值與實際值間相對誤差約為7.8%.

下面利用類似的辦法來估計月球的直徑.在日偏食圖像中，太陽所成像邊緣的缺口即為月球的影子，因此將邊緣所對應的圓形補全即可得到月球的觀測直徑.設太陽和月亮的實際半徑分別為R日、R月，觀測半徑分別為r日、r月，日地距離和月地距離分別為L日、L月，則根據小孔成像原理，有如下兩個比例關系

(3)

消去兩式中的孔-屏距d，可以得到

(4)

(4)式中，根據已經估計出的R日≈1.5×109m，以及查資料可知日地距離和月地距離分別為L日=1.5×1011m，L月=3.84×108m(這里采用的是月地平均距離)，因此只需要知道太陽與月亮所成像的尺寸比即可得到月球直徑的估計值.然而，由于利用小孔成像得到的像邊緣較為模糊.為了更好地對月球像的半徑進行測量，本文借助圖5中由手機和單反相機拍攝得到的圖片進行進一步分析.

圖5 由手機和單反相機拍攝得到的北京地區日偏食圖像

圖6 測試月亮半徑示意圖

同樣在PPT中用標準圓形，將圖5(b)中的太陽(光亮區域)和月亮(邊緣黑色缺角)的完整圓標注出來，分別如圖6中的兩個圓環所示.

用測量工具得到上圖中小圓環與大圓環的直徑比約為0.931.將這一結果代入上述關于R月的表達式，我們得到

(5)

查閱資料得月球直徑真實值為R月=3.476×106m，則本文對月球直徑估計的相對誤差約為2.8%.

3 視角約束下的日食形成條件

圖7 新加坡上空的日環食現象

在上面的分析中，本文從日偏食的觀測結果中分別估計了太陽和月球的直徑.如文章開頭所介紹的，雖然中國境內無法看到完整的環食現象，但是在環食帶的118 km覆蓋范圍內，可以看到月亮的影子覆蓋于太陽正中，如圖7所示.

從圖7可以清楚地看出，在環食食甚的短暫時間內，月亮的影子處于太陽正中，而只在邊緣露出一圈亮環.環食景象中，日月同在，一起形成了如戒指般的圖像而懸掛于天空，甚是好看.造成日環食和日全食現象不同的原因其實在于月地距離的差異.在初中物理教學中，日環食和日全食的形成條件是地球分別處于月亮的偽影區和本影區.而之所以3者在運行過程中可以滿足這個條件，是由3者間的距離、半徑等一系列合適的關系決定的.如何用中學生能夠理解的方式來闡述這個關系是值得討論的.本文將從月亮與太陽對地球的視張角之比的角度來討論這個問題，從而解釋為什么我們恰好能在地球上觀測到日環食和日全食兩種天象.在圖8中給出了日全食和日環食的示意圖.

圖8中左邊圓代表地球，中間圓代表月亮，右邊圓代表太陽，實線和虛線所夾范圍分別是月球和太陽對地球形成的視張角.在圖中，上半部分是日全食，此時月地距離較近，月亮對地球的視張角大于太陽對地球的視張角，因此在地球上看來月亮可以完全遮住太陽；圖中下半部分是日環食，此時月地距離較遠，月亮對地球的視張角小于太陽對地球的視張角，因此在地球上看來月亮只能部分遮住太陽，而太陽邊緣一圈的光可以直接被地球的觀察者看到，即看到圖8所示景象.

圖8 日全食和日環食

從圖中可以看出，正是在不同的時期內，地月距離的不同，導致了日環食和日全食的區別.而不同的地月距離差異，是由于月球軌道是一個與標準圓差異較明顯的橢圓導致的.查閱資料可知，月球的近地點和遠地點的地月距離分別為

L月a=3.63×108m,L月b=4.06×108m.

(6)

當然，地球繞太陽的軌道也不是一個標準圓形，但是由于地球軌道的偏心率很小，故可以忽略日地距離變化帶來的影響.若將月球和太陽對地球的視張角分別定義為

(7)

則根據圖7的示意，出現日全食的條件為θ月≥θ日，反之出現日環食.由于日地距離、太陽以及月亮的尺寸均可視為恒定值，因此我們有月球和太陽對地球的視張角之比α滿足

(8)

代入數據有

0.923≤α≤1.032.

(9)

這一結果十分有趣，表明月亮對地球的視張角與太陽對地球的視張角之比正好在1附近.當0.923≤α<1，出現日環食；而當1≤α≤1.032，日全食將會發生.我們知道，對于兩個距眼睛遠近不同物體而言，我們所觀察到它們的大小由其對觀測者所成的視角決定，而不是其絕對尺寸.因此，雖然月亮和太陽距離地球的遠近相差甚遠，但這一效應恰巧和月亮與太陽的絕對大小的差異互補，從而在地球上的人們看起來，月亮具有和太陽差不多的尺寸，即α≈1.這也是為什么在地球上觀察日食現象時，月亮可以差不多正好遮擋太陽的原因.同時，也可以計算出當剛好出現全食、環食現象臨界點對應的月地距離約為

L月a=3.746×108m.

(10)

即當滿足日食出現條件時，當地月距離處于L月a≤L月≤L月c時，能夠看到日全食，而當地月距離在L月c≤L月≤L月b之間時，看到的就是日環食了.這一次所出現日環食現象，意味著當日的月地距離處于后面這一范圍.在前文估計月球直徑的計算中，本文利用的是月地平均距離.若查到當日附近更準確的月地距離數據，便可以得到更準確的估算結果.

從上面的分析不難看出，月地距離，日地距離，月球半徑和太陽半徑間的關系是如此的剛剛好，讓我們既可以看到日全食現象，也有機會看到日環食現象.如果地月間的距離偏差一點，如月球軌道上任意一點距離地球距離均大于目前的遠地點距離，或者均小于近地點距離，那人類便只能看到日環食，或者日全食的單一現象了.這大概就是大自然的鬼斧神工吧.

4 結論

本文利用小孔成像裝置及手機等拍攝裝置觀測了2019年12月26日在北京的日偏食，并依據觀測結果估算了日月直徑.

另外，本文從月亮與太陽對地球的視張角之比的角度，解釋了恰好能在地球上觀測到日環食和日全食兩種天象的原因.