高等數學教學中融入數學文化策略研究

祁 蘭，馬 崛，張 媛

(榆林學院 數學與統計學院，陜西 榆林 719000)

0 引言

高等數學是高校眾多專業中最為重要的基礎課程之一，其廣泛而深入地應用于計算機、人工智能、信息管理、工程技術、經濟管理、醫學等眾多領域，已成為大學生知識和能力結構的重要組成部分。通過高等數學課程的學習，使學生系統地掌握微積分的基本知識、計算方法以及基本的數學思想方法和必要的應用技能，為學生進一步學習其他后續課程和相關專業基礎課程奠定必要的現代數學基礎。然而，許多教師在高等數學教學過程中以講授數學理論知識和應用為主，往往忽略數學思想、精神及人文等內容的傳授。大多數學生只是膚淺地了解高等數學的思想、精神，對數學的宏觀認識和總體把握較差，學生只是為了應付考試，通常以做各種典型的類型題的方式去學習、復習，這非常不利于培養學生的科學探究精神和創造性思維，甚至還會影響學生學習高等數學的積極性。因此，如何將數學文化[1-4]融入高等數學的教學過程中，真正地實現該學科應有的教育目標，發揮其應有的教育功能，對提升學生的數學素養有著深遠的意義。

1 教學過程中融入數學史，有利于激發學生學習興趣

數學史[5-6]是研究數學發展歷史和規律的一門學科，不僅包含著許多有趣的數學史料，同時也包含著許多重要的數學思想及方法，不了解數學史就不可能全面了解數學科學。高等數學中涉及的概念、定理比較多，如果結合教學內容在教學過程中適當融入滲透一些數學史的教育，并穿插相關概念、定理的發展歷史，介紹一些數學家軼事，包括一些數學定理證明之路的艱難，不僅可以活躍課堂氣氛，陶冶學生思想情操，使枯燥乏味的數學內容變得生動有趣，還可使學生更全面地了解高等數學的發展和演變過程，有助于學生理解、掌握數學知識，激發其學習數學的興趣。

例如，無窮小概念的講解，可以先講一講故事。關于無窮小，牛頓前后給出了三個解釋，1669年牛頓稱無窮小是一個常量，而在1671年，他又稱無窮小是一個趨近于零的變量，1676年則稱無窮小是“兩個正在消逝量的最終比”。而萊布尼茲用與無窮小量成比例的有限量的差分來試圖解釋無窮小量，然而，最終這兩位微積分的靈魂人物都沒有找到無窮小量合理的定義。因此，很多數學家和神學家紛紛吐槽微積分理論的正確性。數學家羅爾曾說“微積分是巧妙的謬論的匯集”；英國大主教貝克萊說“流數(導數)是消失了的量的鬼魂”，其稱微積分“依靠雙重錯誤得到了雖然不科學卻是正確的結果”。而這些關于微積分理論的基礎——無窮小的質疑，直接搖撼了微積分的合理性，這也就是所謂的第二次數學危機。直到19世紀，通過波爾查諾、阿貝爾、柯西的貢獻，到威爾斯特拉斯給出現在的極限的定義(函數極限的定義)，并把微分、積分直接嚴格定義在極限的基礎上，第二次數學危機才得以解決。

高等數學中的每一個數學概念、命題、公式、法則，其背后都有一部活生生的歷史，在教學過程中，可以介紹一些偉大的數學家例如牛頓、萊布尼茲、達朗貝耳、柯西、歐拉等生平事跡和對數學的貢獻，不僅可使學生了解數學家的故事，還可使其從中學到數學家的思想、處理問題解決問題的方法、人品和處世態度，從而培養學生的學習興趣，掌握學習數學的方法。

2 教學過程中融入數學思想，有利于培養學生的創新能力

數學思想是數學中處理問題的基本觀點，是對數學內容的本質概括。數學思想方法與數學知識相比，知識的有效性是短暫的，思想方法的有效性卻是長期的，能夠使人受益終身。數學的思想方法是處理數學問題的指導思想和基本策略，是數學的靈魂[7]。古人云：“授人以魚，不如授之以漁。”因此，在高等數學的教學中注重引導學生領悟和掌握數學思想方法，提高學生的思維水平，使其真正懂得數學的價值，建立科學的數學觀念，從而能夠運用數學、發展數學。

在高等數學教學中，一定要揭示隱含于知識中的深刻的數學思想方法，例如函數思想、方程思想、極限思想、數學結合思想、化歸思想、類比思想及建模思想，等等。其中，類比的思想方法是解決高等數學問題的一種基本的常用思想方法，也就是根據某一事物的某些已知特征來推測另一事物也存在相應特征的思維活動。教學過程中，引導學生由已熟悉的知識，通過類比的方法來引申出新的概念、新的理論，學生不但容易接受、理解、掌握所學知識，更重要的是有利于培養其類比思維和創造能力。

例如，高等數學中一元函數的微積分和多元函數的微積分，它們在基本概念、數學思想和解題技巧等方面都有許多相似性，在教學過程中，可以引導學生借助于一元函數的微積分的相關定義、性質、數學思想以及解題技巧，來類比學習理解相應的多元函數微積分的相關定義、性質、數學思想和解題技巧，這樣學生學起來就會倍感輕松。又如在微分中值定理這部分知識的教學中，如果利用類比方法引導學生，將羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的條件、結論、幾何意義進行比較，對培養學生的類比思維將大有裨益，同時也會取得很好的教學效果。

3 教學過程中融入審美思想，有利于培養學生的審美能力

數學文化是一門自身具有獨特美學特征功能與結構的美學分支。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心。我國著名數學家徐利治先生指出：“作為科學語言的數學，具有一般語言文學和藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數學美。數學美的含義是豐富的，數學概念的簡單性、統一性，結構系統的協調性、對稱性，數學命題和數學模型的概括性、典型性和普遍性，還有數學中的奇異性等都是美的具體內容。”[8]這是對數學美的內容和形式的精辟論述。

同時，高等數學龐大的知識網絡也充分體現了數學中的和諧美。例如，微積分基本定理使得微分的局部性質和積分的整體性質得到了統一。積分是微分的逆運算，因此基本積分公式可由基本導數公式直接推出，對比積分和微分公式，其顯示出漂亮的對稱性、有序性和統一性。微分中值定理與積分中值定理，進一步顯示出具有和諧美的微積分。微分中值定理是微分理論的重要組成部分，其中羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理之間的關系充分表達了微積分定理之間的和諧與統一。這些和諧的公式使我們感覺到數學的美，而只有理解和掌握高等數學的內在聯系，才能體會到這種數學美，同時激起學生從審美的角度進行探索性思維，提高科學審美能力。

4 教學過程中融入哲學思想，有利于學生樹立正確的世界觀

數學與哲學密切聯系，相輔相成。捷克數學家波爾達斯曾深刻地說明了兩者的關系：“沒有哲學，難以得知數學的深度，當然沒有數學也難以探知哲學的深度，兩者相互依存，猶如一對孿生兄弟。如果既沒有數學又無哲學，則就不能認識任何事物。”[9]因此在高等數學教學中，如果能站在哲學的高度，揭示高等數學內容的深刻內涵，必然會大大提升學生對數學內容的理解深度和對其本質的把握，從而激發學習數學的興趣，同時對培養學生的辨證思維能力具有十分重要意義。

人們認識事物的辯證法原理，即從一般到特殊、具體到抽象、量變到質變，這在高等數學這門課程的學習中得到了充分的體現。講解高等數學是由簡單到復雜，具體到抽象，首先介紹一元函數的微積分，然后討論二元函數、三元函數以及推廣到一般的n元函數。若能夠透徹掌握低維的情形，則高維的情形也就迎刃而解了。又比如從形式上看，牛頓—萊布尼茲公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是完全不同的積分，但若把它們上升到外微分的高度來看，它們的實質是一樣的，反映的都是展布于一定幾何形式的積分與沿著幾何形的邊界的積分相等的問題，而僅僅是幾何形式不同所對應的表達形式不同而已。

高等數學的概念、原理之間既互相滲透又互相制約，是事物普遍聯系規律的反映。例如，極限概念包含著十分深刻、豐富的辯證關系，特別是變與不變、近似與精確、有限與無限等，而且極限是整個高等數學大廈的基石，連續、導數、定積分、偏導數、重積分、曲線積分、曲面積分和無窮級數等都是建立在極限定義的基礎上。又如定積分、重積分、線積分和面積分的概念，都是從不同的具體模型抽象概括出來的，但它們之間卻有著本質的聯系，即都是“分割，近似代替，求和，取極限”的數學思想方法，其概念的結構是類似的。

5 教學過程中融入數學建模思想，有利于培養學生的應用能力

數學建模是利用數學方法解決實際問題的一種實踐活動[10]。數學建模是數學問題解決的一種重要形式，其可以培養學生的數學意識和應用數學知識來解決實際問題的能力，有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力[11]。數學建模的思想在高等數學的內容里處處有所體現，數學模型思想和方法都無一例外地滲透于極限、連續、導數和定積分等概念的產生歷史。課堂教學無疑是研究性教學的主陣地，但除此之外還包括創新實踐性教學環節、指導學生課外自主學習和組織開展各類科技創新活動。所以，在高等數學的教學中融入數學建模思想，體現數學源于生活，生活中處處有數學，使學生能夠在課堂上接觸一些簡單的實際應用問題，從而培養學生應用數學知識解決實際問題的意識和能力，有利于提高其研究性學習能力。

在高等數學教學中融入數學建模思想。數學理論是由實際需要而產生的，也是其他定理和應用的前提。因此在教學中應重視從實際問題中抽象出數學概念，讓學生從模型中切實體會到數學概念是因有用而產生的，從而培養學生學習數學的興趣。例如，講解定積分概念時，可以運用求曲邊梯形面積作為原型，讓學生體會在一定條件下“直”與“曲”相互轉化的思想以及“化整為零、取近似、聚整為零、求極限”的積分思想。通過模型來學習概念，加強數學來源于生活實踐的思想教育。更重要的是讓學生看到問題的提出背景，進而對數學建模產生興趣。同時應重視傳統數學課堂中重要方法的應用，例如，利用一階導數、二階導數求函數的極值以及函數曲線的曲率在解決實際問題中的應用。

將數學文化以“潤物細無聲”的方式適時適當地融入滲透在高等數學教學中，挖掘隱藏在高等數學背后的知識發展脈絡和大量鮮為人知的史料，使學生上升到文化層面來理解數學，進而更加喜歡和熱愛數學。在數學文化的潛移默化熏陶下，使學生不僅能輕松掌握高等數學的知識體系，同時還能學到終身受益的數學精神、思想和方法。