橢圓柱坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

章 朋

(蘇州健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院電子信息學(xué)院，江蘇 太倉，215400)

在理論力學(xué)、流體力學(xué)、電磁場等領(lǐng)域問題的解析分析中，若根據(jù)問題的邊界條件選取合適的坐標(biāo)系，則可以很大程度上簡化問題的復(fù)雜度和計(jì)算難度，常用的正交曲線坐標(biāo)系包括笛卡爾直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系、圓球坐標(biāo)系和橢圓柱坐標(biāo)系[1]。在分析問題的過程中，常常要用到正交坐標(biāo)系下單位矢量對空間的導(dǎo)數(shù)[2～4]，之前已有學(xué)者采用了矩陣變換的方法給出一般正交曲線坐標(biāo)系中單位矢量空間導(dǎo)數(shù)求解途徑，并給出圓柱系和圓球系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)[5～8]，但沒有給出橢圓柱坐標(biāo)系下單位矢量空間導(dǎo)數(shù)的解析形式。在很多實(shí)際問題中，如計(jì)算懸置微帶線場分布時(shí)，若采用橢圓柱坐標(biāo)系，則會給求解過程帶來極大的便利[9]。為此，筆者利用直角系下單位矢量為常矢量的特性，根據(jù)正交曲線坐標(biāo)系和直角系的單位矢量變換關(guān)系，采用直接求偏導(dǎo)數(shù)的方法計(jì)算出基本正交曲線坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)。

1 3種基本正交坐標(biāo)系中單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

同理可以計(jì)算

(8)

(9)

(10)

(11)

同理可得

(12)

圓柱系和圓球系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[2][3]中的一致，表明了本次研究所采用的推導(dǎo)方法是嚴(yán)格有效的，下面將利用此種方法對橢圓柱系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行推導(dǎo)。

2 橢圓柱坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

(13)

(14)

為使得表達(dá)式簡化，作如下定義：

(15)

則有：

(16)

從而可以得到

(17)

(18)

同理可以得出

(19)

將(18)，(19)代入(17)不難得到

(20)

將4種基本正交坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)匯總，結(jié)果見表1。

表1 基礎(chǔ)正交坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)

3 結(jié) 論

根據(jù)一般正交曲線坐標(biāo)系下單位矢量和直角系單位矢量的變換關(guān)系，嚴(yán)格推導(dǎo)出4種常用的基礎(chǔ)正交曲線坐標(biāo)系，特別是橢圓柱坐標(biāo)系下單位矢量的空間導(dǎo)數(shù)，對矢量場理論研究和工程實(shí)踐具備一定的參考價(jià)值。