一類概率問題的求解方法
——遞推數列

吳潔瑩

（江西省南昌市立德朝陽中學 江西南昌 330026）

例2：設棋子在正四面體ABCD的表面從一個頂點移向另外3個頂點是等可能事件，現拋擲骰子，根據其點數決定棋子是否移動， 若投出的點數是奇數，則棋子不動;若投出的點數是偶數，棋子移動到另一頂點，若棋子的初始位置在頂點A，回答下列問題：

（1）投擲一次骰子，棋子到達頂點B的概率；

（2）投擲兩次骰子，棋子到達頂點B的概率；

（3）投擲n次骰子，棋子到達頂點B的概率。

【分析】

若投擲一次骰子就能達到B點，則投出點數為偶數且棋子由A移到B；若投擲兩次骰子，棋子到達B點，則兩次點數或者都為偶數，即棋子先由A移到B或B再移到B，或者一奇一偶(包括先奇后偶和先偶后奇)，即棋子先不動再從A移到B和棋子先由A移到B再不動。投n次骰子，棋子到達頂點B的概率與第n-1次到達B的概率有關，可以利用遞推數列體現這兩個概率的關

例3：[2019年高考理科數學全國1卷第21題]

為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得－1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得－1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為x.

（1）求x的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1，Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=－1），b=P（x=0），c=P（x=1）。

假設α=0.5，β=0.8。（i）證明：{Pi+1－Pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數列；（ii）求P4，并根據P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

【分析】在此基礎上若第二問不告訴遞推公式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1，要去證明{Pi+1-Pi}（i=0，1，2，…，7）為等比數列。我們可以做一下分析：

依題意，當其中一種藥治愈白鼠比另一種藥多4只，就停止試驗，并認為治愈只數越多得藥越有效。甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲藥的累計得分為 時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則P0=0，P8=1。若甲得i分，考慮下一輪，要么變為i-1，此時對應概率為a，要么不變，仍為i，此時對應概率為b，要么變為i+1，此時對應概率為c。故Pi=aPi-1+bPi+cPi+1。

案例說明：本節是基于學生基本掌握了求概率的基本方法以及由遞推數列求數列通項公式的基礎上進行探索的。尋找遞推關系由淺入深，例1、例2是找Pn與Pn-1的關系，例3是找Pn與Pn-1，Pn-2的關系，例4是找Pn與Pn，Pn-1，Pn-2。每道例題進行了詳細的分析，遵循從一般到特殊的原則，引導學生類比思考，分析Pn與它前1項或前幾項的關系，則得到遞推關系就水到渠成。