利用函數(shù)的不動點求數(shù)列的通項公式

鐘 嬌

（江西省南昌市立德朝陽中學 江西南昌 330026）

函數(shù)的不動點是被這個函數(shù)映射到其自身的一個點，即如果彐x0，使f（x0）=xo，則稱xo為f（x）的一個不動點。

（1）代數(shù)意義：若方程f（x）=x有實根xo，則函數(shù)f（x）有不動點。

（2）幾何意義：若函數(shù)y=f（x）的圖像與y=x的圖像有公共點（x0，y0），則xo為y=f（x）的不動點。

例1：已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的通項公式an。

解：因為an+1=2an+1，所以x=2x+1 x=-1，兩邊都減去不動點-1得an+1+1=2an+1+1，所以可以得到an+1+1=2（an+1）。

設an+1=bn，所以bn+1=2bn，數(shù)列{an}為等比數(shù)列，

故bn=b1·2n-1=2n，所以an=bn-1=2n-1。

則f（x）=kx+m

定理一：若f（x）=kx+m（k≠0，k≠1），p是函數(shù)f（x）的一個不動點，數(shù)列{an}滿足：xn+1=f（xn），則xn+1-p=k（xnp）。

思考：遞推函數(shù)具有什么結(jié)構(gòu)，能夠用取倒數(shù)？

是不是遞推函數(shù)是分式函數(shù)都可以取倒數(shù)？

求出兩個值，怎么辦呢？

我們證明（1），同理可以證明（2）。

【小結(jié)】

本節(jié)本源探究微課程是從學生的難點入手，歸納幾類可以選擇利用函數(shù)的零點，求數(shù)列的通項公式的題型，實現(xiàn)了函數(shù)與數(shù)列的綜合應用。并且對方法進行了整理，形成了定理。同時使學生的能力也得到了鍛煉，如類比推理能力，劃歸與轉(zhuǎn)化能力。