具有隨機干擾和無癥狀感染者的瘧疾模型研究

王生福， 聶麟飛

（新疆大學數學與系統科學學院，新疆烏魯木齊830046）

瘧疾是世界上最具破壞性的疾病之一.盡管隨著醫療科技的飛速發展，近年來死亡人數下降了30%，但每年仍有數百萬人死亡［1］，其中受影響最嚴重的是兒童.據醫療數據統計發現，在瘧疾的流行區域，大約50%的瘧疾感染者是無癥狀的［2-3］.由于無癥狀患者不太可能尋求治療，因此這些人有可能將疾病傳播給其他人，使得瘧疾在某些地區長期流行.基于上述原因，眾多國內外學者建立了大量的動力學模型去了解瘧疾的傳播規律和措施［4-8］.特別地，Tang 等［7］提出了如下具有無癥狀感染和季節影響的SIRS瘧疾傳播模型：

其中 S（t）、Ia（t）、Is（t）、R（t）分別表示 t時刻人群中的易感者、無癥狀染病者、有癥狀染病者和恢復者的數量.模型假設易感者每次接觸被傳染的概率為β，μ是人的自然死亡率；無癥狀染病者的數量占總染病者的數量的比率為θ，有癥狀染病者和無癥狀染病者的恢復率系數分別為γs和γa，有癥狀染病者和無癥狀染病者康復后失去免疫率的系數為α；因有癥狀的感染者將在醫院接受治療或隔離，所以易感者接觸有癥狀感染者時被傳染的概率為βp，其中 p∈［0，1］.

由模型（1）不難發現人口總數N（t）為常數，即N（t）＝N.進一步，忽略季節對疾病的影響，則模型（1）等價于下面的簡化模型

由文獻［7］可知，模型（2）的基本再生數

即當R0＜1時，模型（2）僅有一個無病平衡點E0＝（N，0，0），且是全局漸近穩定；而當 R0＞1 時，模型（2）存在地方病平衡點，且是局部漸近穩定，這里由下式決定

事實上，環境白噪聲也會對傳染病模型造成一定的影響［9-13］.因此，在傳染病動力學模型中加入環境白噪聲更具有現實意義［10，14-16］，已有許多學者進行了相關研究.例如文獻［15］指出，環境白噪聲可以改變傳染病模型的基本再生數.此外，環境白噪聲也可以使模型參數在一定范圍內發生改變，如出生率、死亡率以及傳播率系數等會受到干擾而圍繞某些數值波動.有基于此，假設環境白噪聲的影響分別與變量 S（t）、Ia（t）和 Is（t）成正比，則模型（2）可隨機化為

這里 Bi（t）（i＝1，2，3）是相互獨立的標準布朗運動，（i＝1，2，3）是白噪聲強度.

1 非負性與有界性

令（Ω，R，{Rt}t≥0，P）是一個帶有濾子的完備概率空間并且滿足通常的條件（即濾子R0是單調遞增，右連續的，并且包含所有的零測度集）.記＝｛（x1，x2，x3）：xi＞0，i＝1，2，3｝，f（t）是定義在［0，∞）上的可積函數，令

定理1.1對任意給定的初值

模型（3）存在唯一解（S（t），Ia（t），Is（t）），且該解以概率1位于中.即對于所有 t≥0，有（S（t），Ia（t），Is（t））∈，a.s..

證明因模型的參數是局部Lipschitz連續的，故對于任意給定的初值（S（0），Ia（0），Is（0））∈，模型（3）存在唯一的局部解（S（t），Ia（t），Is（t）），t∈［0，τe），這里 τe表示爆破時間.為了證明這個解是全局存在的，只需證明τe＝∞幾乎處處成立.設 k0＞1 且足夠大，使其滿足（S（0），Ia（0），Is（0））∈（1／k0，k0）.對于每個整數 k ＞ k0，定義停時

其中，inf?＝∞（?表示空集）.顯然，當k→∞時，τk單調遞增的.令則 τ∞＜ τe，a.s..若τ∞＝∞，a.s.，則 τe＝∞，a.s..因此，只需證明τ∞＝∞，a.s.即可.

易知 V（S，Ia，Is）非負，對其應用 It?公式可得

其中

顯然K為正常數，且

將（5）式兩邊從0到τk∧T積分并取期望得

因此，

令 Ωk＝｛τk≤T｝，k≥k1，由（4）式可知，P（Ωk）≥ε.對于每個 ω∈Ωk，由停時的定義可知，在 S（t）（τk，ω），Ia（t）（τk，ω），Is（t）（τk，ω）三者中至少有一個等于 k 或1／k，可得

其中

進一步，由（6）式可知

其中 IΩk（ω）為 Ωk的示性函數.令 k→∞ ，則有

矛盾.所以 τ∞＝∞.這就意味著（S（t），Ia（t），Is（t））以概率1在有限時間內不會產生爆破.證畢.

引理 1.2設（S（t），Ia（t），Is（t））是模型（3）滿足初值條（S（0），Ia（0），Is（0））∈的解，則以下結論成立：

且

證明由模型（3）知

令 μ＋α＝μ1，求解（9）式可得

其中

顯然，M（t）是一個連續的局部鞅并且滿足M（0）＝0.定義

其中

由等式（10）可知

于任意的 t≥0 成立，表明 A（t）、U（t）是 t≥0 上滿足A（0）＝U（0）＝0的連續自適應過程.由文獻［9］中的定理3.9知.由此，結論（7）成立.令

由二次變分

由強大數定理［10-11］知

同理，

因為

則由（11）和（12）式可知

由此得出結論（8）是正確的.證畢.

2 持久性和滅絕性

定理 2.1設（S（t），Ia（t），Is（t））是模型（3）滿足初值條件（S（0），Ia（0），Is（0））∈的解.如果

則

且

證明由模型（3）可知

對上式關于0到t積分得

于是

其中

易知，

另一方面，對模型（3）的后2個等式使用It?公式有

對上式從0到t積分得

把（14）式代入（16）式可知

又因為

根據（15）和（18）式對等式（17）兩邊取上極限，并注意到＾R0＜1，則有

即

進一步，由（14）和（15）式可知

證畢.

定理 2.2若 α＝0，且

則模型（3）是持久的，即

其中（S（t），Ia（t），Is（t））∈R3＋是模型（3）的任意解.

證明由模型（3）的第2個等式可得

進而，

同理，由模型（3）的最后一個等式可得

于是，由（19）和（20）式可知

根據等式（17）可知

根據等式（15）和（21）對上式兩邊取下極限，并注意到ˉR0＞1，則有

max｛（μ＋γa），（μ＋γs）｝（ˉR0-1）＞0， a.s..因而，

再由模型（3）知

進而，

故定理成立.證畢.

3 結論

本文研究了一類具有隨機干擾和無癥狀感染者的SIRS瘧疾模型，這里假設環境白噪聲的影響分別與變量 S（t）、Ia（t）和 Is（t）成正比.首先考慮了模型（3）全局正解的存在性與唯一性、有界性.其次證明了模型（3）的隨機持久性和滅絕性.定理2.2指出當ˉR0＞1且滿足α＝0時，模型（3）是持久的，即疾病持續成“地方病”.然而由定理2.1可知，當＾R0＜1時，疾病依概率1滅絕.

然而，在傳染病的傳播過程中，傳播方式的復雜性、病毒的變異性、種群的異質性、統計數據的不完整性、以及環境因素和人為干擾的不確定性使疾病的預防和控制面臨新的形勢與挑戰，這些都是將要開展的研究工作.