數形結合百般好

摘?要：文章通過三角函數線來解決三角函數中解三角不等式、求定義域、比較大小、證明三角恒等式的問題。

關鍵詞：三角函數;三角函數線;單位圓;數形結合

三角函數是高中數學的重要內容之一，而三角函數線不僅體現了數形結合的數學思想，而且始終貫穿于整個三角函數的教學中。我們可以借助三角函數線來推導三角函數的誘導公式，也可以借助它來解三角函數不等式、探索三角函數的圖像和性質。文章旨在探究三角函數線在解題中的應用。

小結：在比較大小時，有時用代數方法難以解決的為題，用數形結合的思想會達到柳暗花明又一村的效果。

數形結合思想的核心就是，數學的兩大研究對象“形”與“數”之間的相互轉化、相互表達和相互解決。而這種“相互轉化、相互表達和相互解決”則是我們數學教學培育學生建立數學直觀能力的重要方式。就“數”與“形”的“相互轉化”而言，我們可以通過“形”來加深對“數”的理解，也可以通過“數”來加深對“形”的理解。譬如，就“負數的初步認識”而言，我們可以通過溫度計之“零上與零下”、東西或南北之“方位”、事物發展之“進退”等“形”（數軸）來幫助小學生理解負數之“相反量的意義”。再譬如，就“用數對確定位置”而言，我們可以用行與列、排與列、橫排與豎排之“序數”等“數”（數對）來幫助學生明確“二維平面”上點的位置。就“數”與“形”的“相互解決”而言，它是在“數”與“形”的相互轉化與相互表達基礎上完成的。譬如，就“時間的認識”而言，我們是通過客觀世界中事物的發展變化（譬如，春生夏長、秋收冬藏）而直觀地加以感受的（這里，既有事物的量之“形”，又有其量之“數”）。但是，我們在數學中卻是通過“指針的旋轉”及鐘表之“面上的刻度”來幫助學生認識和把握時間之長短、快慢的。其實，這就是“時間事物”的量之“形”與“數”的相互分離、相互轉化、相互表達和相互解決，而最終促使我們把握其本質特征的一種思維方式——數形結合思想的關鍵。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。其實，這里有三層含義。首先是“以形助數”，形象、直觀地實現“由數至形”的轉化與表達;其次是在“以形助數”基礎上，促使“以形解數”的完成，實現“形”與“數”之間的相互解決;第三是在“以形助數”和“以形解數”基礎上，幫助學生形成“數形結合”之數學直觀能力，以便其更好地理解、學習與應用數學。

數形結合的思想表現在由數到形和由形到數兩方面。將任意角的正弦、余弦、正切值分別用有向線段表示出來體現了有數到形的轉化，在解決三角函數問題時，巧妙應用三角函數線將問題化繁為簡，既體現數學思想，又能準確快速地解決問題。正是：數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，數形分離萬事休。

作者簡介：

汪宏旭，寧夏回族自治區中衛市，寧夏中衛中學。