利用GeOGebra實現初高中銜接二次函數教學難點突破

范玉香

【摘要】信息技術的飛越發展，為老師的教和學生的學提供了更加多元化的途徑。在初高中數學的銜接中，二次函數成為學生學習的難點，為了更高效地幫助學生理解并突破這個難點，本文借助GeoGebra動態軟件，引導學生觀察，使學生直觀感知圖象變化，進而理解問題的本質，掌握解決問題的方法。

【關鍵詞】二次函數;GGB;動態演示

初中數學到高中數學，是從具體數學到抽象數學的轉化過程，是一次邏輯思維升華的過程。不少學生在經歷著從初中學習數學的優越感到高中學習數學的挫敗感的艱難學習生活，特別是在函數內容方面，體現的尤其充分。說到底，主要是因為函數比較復雜、抽象，而初中的教材上，只要求通過圖象了解二次函數的性質，會用配方法把二次函數轉化為頂點式：y=a（x-h）²+k，從而得到頂點坐標，得知圖象開口方向，畫出圖象對稱軸，能解決簡單的實際問題.而在高中的數學課堂上，要求同學們對二次函數要靈活掌握。怎樣讓同學們快速地理解并掌握二次函數內容，成為高中數學老師教學上的一大重點內容。隨著信息技術的飛速發展，電腦、手機、平板等電子產品已基本在高中學生中普及，引導同學們“跟著技術學習數學”可以成為我們教學中的一部分.在接觸過幾何畫板、網絡畫板和GeoGebra等教學工具后，筆者強力推薦GeoGebra這款動態軟件.GeoGebra在幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分等方面都有優秀的表現。下面筆者以二次函數內容為例，說明如何利用GeoGebra（以下簡稱：GGB）輔助教師的教學及學生的自主學習。

一、利用GGB深刻認識二次函數圖象

如下圖，學生只需要在輸入欄輸入函數，即可得到相應函數圖象，也可以在老師已經做好的GGB互動課件中分別輸入二次函數的三個系數a，b，c來得到二次函數的圖象。

通過改變二次函數的系數，觀察函數圖象變化情況，從而深刻認識二次函數圖象的特點，老師引導同學們抓住二次函數特點，畫出函數圖象。

二、解決定軸定范圍的最值問題

在歷屆學生中，總存在不少學生在求二次函數最值（自變量x范圍給定》士，直接把端點。代入函數解析式進行求解，導致錯誤。通過利用GGB作圖演示，可以達到清晰、高效、生動的效果。

例1：已知函數y=-x²-2x+3，當自變量x在下列取值范圍內時，分別求函數的最大值或最小值，并求當函數取最大（小）值時所對應的自變量x的值。

（1）x≤-2;（2）x≤-2;

（3）-2≤x≤1;（4）0≤x≤3。

利用GGB容易得到自變量x在不同取值范圍下的函數圖象，如下圖所示：

通過以上動態演示，引導學生在理解和解決函數在定范圍的最值問題時，學會如何利用圖象解決問題，準確找到最值點。利用老師已經做好的互動課件，同學們還可以自主研究任意二次函數在任意一個區間的取值范圍問題。

三、解決動軸定范圍的最值問題

例2：求函數y=x²+2kx+1，（-1≤x≤2）上的最大值。

動軸問題要涉及到分類討論思想，有相當一部分學生想象能力有限，遇到這樣的問題不知道如何解決，利用GGB的動態演示，把動態對稱軸的變化過程以具體的方式呈現在學生面前，對幫助學生理解和解決問題有極大的幫助。

以上4種情況可以通過點擊按鈕“移動對稱軸”觀察圖象動態連續變化，還可以通過拖動滑動條k觀察圖象動態連續變化.引導學生觀察函數在范圍內的圖象變化情況，使學生對函數圖象變化從抽象理解轉變為“可視化”，從而更加清晰、具體，進而引導學生準確找到分類的分界點。

四、解決定軸動范圍的最值問題

例3：求函數y=x²-2x+3，（t≤x≤t+2）上的最大值。（t為實數）

定軸動范圍的最值問題與動軸定范圍的問題類似，同樣需要分類討論思想，這次運動的是范圍。

以上4種情況可以通過點擊按鈕“移動自變量范圍”觀察自變量范圍（t≤x≤t+2）從左到右“運動”時，函數圖象連續變化的情況，還可以通過拖動滑動條c觀察自變量范圍變化，對應函數圖象變化情況，使學生從抽象理解到具體的圖象變化“可視化”，進而準確找到分類的臨界點。

五、解決給定最值求自變量范圍中的參數問題

例4：若函數y=1/2x²-2x+3，（0≤x≤p）有最大值3，最小值1，求實數P的取值范圍。

利用GGB構造函數后，利用滑動條P改變自變量的范圍，使對應范圍內的函數圖象發生動態變化，引導學生觀察圖象變化過程中，函數最大值與最小值的變化情況，通過觀察圖象的變化，引導學生找到臨界點，從而得出實數P取值范圍。

讓學生接受新事物，是一個漫長的過程，筆者希望通過日常的課堂教學，把GeoGebra的優異性逐漸滲透在課堂中，通過慢慢滲透引導學生自主利用GGB學習探究數學問題.在以上3個含參的函數最值問題中，需要學生運用分類討論的思想方法，筆者通過GGB的動態演示，使學生具體、直觀的“看見”分類的臨界點在哪里，進而突破解決本類問題的難點。GGB是一款易學易操作的動態軟件，通過GGB的動態演示，高效地幫助學生理解問題，進而解決問題，只有學生理清問題的思路，看清解決問題的“路子”，才能更快更容易地理解本節內容，掌握解決本類問題的方法。

參考文獻：

[1]張志勇.基于GEOGEBRA的數學實驗與可視化教學[M].長春：東北師范大學出版社，2018.