基于變分正則化的混合泊松-高斯噪聲圖像去噪方法綜述

常慧賓，張 婕

（天津師范大學 數學科學學院，天津300387）

在圖像觀測中，實際圖像在其形成、傳輸、接收或處理過程中會受到內部因素或外部因素的干擾，進而產生噪聲，此外，輸導過程中產生的誤差或其他人為因素也會對圖像造成不同程度的噪聲干擾.噪聲嚴重影響了圖像的視覺質量和效果，給圖像融合、目標識別和特征提取等后續的處理與分析工作帶來極大不便.去除圖像的噪聲，還原其原本的特征，是圖像處理領域中的一個重要問題.在眾多類型的噪聲中，高斯噪聲（Gaussian noise）由于在數學上的易處理性而被廣泛關注和研究.然而，在許多實際應用中，噪聲分布更加復雜，高斯噪聲無法對其進行準確模擬.近年來，許多研究開始關注非高斯噪聲的去除問題，大量的非高斯噪聲去噪模型被提出[1-3]，其中，基于變分正則化方法的圖像去噪模型，因其易于與圖像特征信息相結合，便于圖像信息向連續函數轉換，以及具有完備的數學理論等獨特優勢而受到廣泛關注[4-6].

由于光子計數和熱噪聲對探測器的影響，觀測到的圖像往往會受到混合型的泊松-高斯噪聲（mixed Poisson-Gaussian noise）的破壞，因此混合泊松-高斯噪聲的去噪問題被廣泛研究[7-12].處理混合泊松-高斯噪聲通常使用基于最大后驗估計（maximum a posteriori，MAP）的方法.如，文獻[13]利用MAP方法結合混合泊松-高斯噪聲的性質提出了一個精確的泊松-高斯估計模型，證明了泊松-高斯噪聲的非負對數似然（negative log-likelihood）函數模型的凸性及其梯度的利普希茨連續性（Lipschitz differentiability），并提出了一個收斂的原始-對偶算法.為了選擇一個較為準確的混合泊松-高斯噪聲模型，文獻[14]提出了一個基于全變分（TV）正則化的非光滑的PDE約束的優化策略.由于利用數學方法直接對混合泊松-高斯噪聲模型進行處理比較困難，為了簡化估計，很多研究通常會利用簡單的變換忽略泊松噪聲部分或者高斯噪聲部分，之后利用處理單一類型噪聲的方法對混合泊松-高斯噪聲進行處理.如，文獻[15]提出了一個加權l2模型，該方法利用加權的高斯噪聲對泊松噪聲部分進行估計.此外，文獻[16]使用Shifted-Poisson的方法來估計混合泊松-高斯噪聲，通過對噪聲圖像進行平移變換將混合泊松-高斯噪聲去噪問題轉化為泊松去噪問題.文獻[17-18]提出一種廣義的Anscombe變換來處理混合泊松-高斯噪聲，針對此變換，文獻[19]提出了一個無偏差的逆變換，大大改善了處理效果.文獻[20]提出了一種基于均方誤差（MSE）的線性擴展閾值（LET）的純數據自適應無偏估計（Poisson-Gaussian unbiased risk estimate，PURE）模型，該模型是在非貝葉斯框架下提出的.有一些較有意思的工作是基于廣義的聯合MAP估計的方法，證明了去除高斯噪聲的ROF模型[21]可以與針對泊松噪聲導出的TV-KL模型[1]結合在一起對混合泊松-高斯噪聲進行處理.如，文獻[22]針對相應模型提出了一個原始-對偶迭代算法；文獻[2]提出了TV-IC模型，其本質上是通過松弛2個保真項之間的關系對文獻[22]的工作進行了擴展.最近，研究者將興趣集中在設計變分正則化模型的快速算法.如，文獻[23]設計了針對精確混合泊松-高斯噪聲模型求解的交替方向乘子（alternating direction method of multipliers，ADMM）算法；文獻[24]通過引入雙線性約束對TV-IC模型進行改寫，在此基礎上設計了不含內迭代的快速ADMM算法.

正則項的選擇對于去噪效果有非常重要的影響.1992年，Rudin等[21]提出了基于變分法的TV正則化方法，該方法在去除圖像噪聲的同時，可以有效地保留圖像的邊界或輪廓等特征[24]，從而盡可能使去噪后的圖像與原始圖像相似，在此基礎上，大量的基于TV正則項的去噪模型被提出[2，22，26].

雖然TV正則項被廣泛應用于圖像去噪中，但在實際應用中，TV正則項容易引起階梯效應（staircasing effect）.一種去除階梯效應的方法是利用圖像梯度的Huber范數代替原有圖像梯度的歐幾里得范數，由此便導出了Huber正則項[27]，其應用于圖像去噪的效果在文獻[28]中被證明；另一種去除階梯效應的方法是利用以黑賽矩陣為基礎結合全變分方法的正則項（TVH正則項）[29-30]，該方法不僅能防止階梯效應產生，而且可以對圖像強度的空間變化進行更好地估計.此外，非局部全變分（NLTV）正則項[31]也常應用于圖像去噪中，該正則項與圖像驅動的梯度方向有關.字典學習K-SVD[32]和基于塊匹配的濾波技術BM3D[33]進一步結合了圖像塊的稀疏性，也取得了較大的成功.近年來，隨著深度學習技術的發展，一些研究[34]基于深度學習思想的正則化提出了新的去噪方法.總之，依據圖像噪聲的特性來設計合適的正則項是研究圖像去噪技術的重點之一.

本文主要對基于變分法的混合泊松-高斯噪聲去噪模型及相應算法進行綜述，介紹了幾類具有代表性的基于變分正則化方法的混合泊松-高斯噪聲去噪模型，并總結了求解模型的常用高效數值算法，設計實驗評估了不同模型的去噪效果，最后，討論了該研究領域存在的某些問題，并對其發展方向進行了展望.

1 混合泊松-高斯噪聲去噪模型

首先，簡要介紹圖像去噪建模中常用的MAP方法及單一噪聲處理模型；然后，重點介紹基于變分正則化的幾個重要的混合泊松-高斯噪聲去噪模型：（1）基于MAP估計的精確泊松-高斯噪聲估計模型[13]；（2）通過一些簡單代數變換轉化為單一類型噪聲的模型，如加權l2模型[10，15，35-36]、Shifted Poisson模型[16，37]、廣義的Anscombe變換模型[17，19]；（3）基于泊松-高斯數據的PURE模型[20]；（4）基于廣義MAP估計的TV-IC模型[2，22].

1.1 MAP方法及單噪聲處理模型

圖像去噪一類重要的方法是基于統計理論范疇的.考慮到貝葉斯理論[38-39]的重要性，本節主要對基于貝葉斯估計的圖像去噪建模方法進行簡單介紹.設f為給定的被噪聲污染的圖像，u為原始的干凈圖像，則貝葉斯定理可以表述為

其中：p（f|u）為似然密度函數；p（u）為原始干凈圖像的先驗密度函數；p（u|f）為后驗密度函數.MAP估計就是在觀測圖像f已知的條件下求出使后驗密度函數p（u|f）取最大值的原始圖像u.由于p（f）已知，故對式（1）求p（u|f）的最大值即求下式的最大值，

式（2）兩端取負對數得

將其與相應噪聲的概率密度函數及圖像先驗模型相結合，即可得到對應的變分圖像模型.利用此方法，可推導出去除單一高斯噪聲的ROF模型[21]

和去除單一泊松噪聲的TV-KL模型[1]

式（4）和式（5）中，‖·‖2表示L2空間范數，由Gibbs先驗導出的項稱為模型的TV正則項[21]，另外一項是由似然密度函數導出的項，稱為保真項（或數據擬合項），其與噪聲的概率密度分布密切相關.

1.2 混合泊松-高斯噪聲去噪模型

設u為原始干凈圖像，f為混合泊松-高斯噪聲污染的圖像，即：

其中：vi～Poisson（ui），ηi～N（0，σ2）.

基于MAP估計，文獻[13]給出了精確的泊松-高斯估計模型

其中R（u）為正則項.該模型對于混合泊松-高斯噪聲的估計十分精確，但由于該模型需求解函數項級數的極小化問題，難以得到數值上的精確解，因此有較多工作研究低復雜度求解的近似模型，特別是借助簡單的代數變換將混合噪聲轉化為單一噪聲，如加權l2模型、Shifted-Poisson模型、廣義的Anscombe變換模型等.

加權l2模型最早應用于圖像的泊松噪聲去除，其本質思想是將噪聲理解為一個外加的擾動，利用高斯分布對其進行估計，相應的模型為

廣義Anscombe變換模型[17-18]是基于對泊松分布數據“高斯化”的非線性變換[40]（即Anscombe變換）的推廣而得到的，具體的變換公式為

其中α為權重.此變換可將混合泊松-高斯噪聲的去噪問題轉化為高斯噪聲去噪問題，因而一些針對高斯噪聲的精確去噪模型[21，41]均可使用.進一步，為了使該模型的計算結果更精確，文獻[19，42]提出了相應的準確的無偏逆變換，文獻[43]提供了混合泊松-高斯噪聲污染的熒光顯微圖像集，并利用廣義的Anscombe變換法進行了去噪實驗，將上述方法運用到了實際數據分析中.

與上述2種模型不同，Shifted-Poisson模型利用泊松分布估計混合泊松-高斯噪聲中符合高斯分布的部分，將混合泊松-高斯噪聲去噪問題轉化為單純的泊松去噪問題，相應的模型為

上述3種模型都是利用簡單的估計，忽略混合噪聲中的泊松噪聲部分或高斯噪聲部分，利用單一型噪聲模型對混合型噪聲進行估計，這使得相應的模型求解變得簡單快速，但這類模型對混合噪聲的估計并不精確，因而它們的去噪效果還有進一步提升的空間.

的最小值.在實踐中，顯然不能得到干凈的原圖像u，所以真實的MSE值也無法得出并最小化.然而，借助泊松分布或高斯分布的統計性質，可以導出一個MSE值的無偏差估計

文獻[20]由此給出了去除混合泊松-高斯噪聲的PURE模型，該模型的求解主要使用LET方法，進而得到PURE-LET求解方法[20].

基于廣義的聯合MAP估計，文獻[2，22]結合標準Stirling估計[44-45]提出了TV-IC模型

其中χν（v）為集合ν={v：vi≥0，?i}的示性函數，即

該模型與精確估計模型類似，都是從MAP估計出發，且形式較為簡單，因而TV-IC模型是目前計算代價較低，去噪效果較好的一個模型.該模型的推導過程運用了標準的Stirling估計，即利用Stirling公式的前2項來近似MAP估計中出現的lnvi!項，在vi的值較小時容易造成較大誤差，因此，尋找更優的lnvi!的估計將會有效改進算法的圖像重建質量.

1.3 模型小結

對前述各類基于變分法模型的保真項的具體形式進行簡單總結，具體見表1，包括精確泊松-高斯估計模型（EPG）、Shifted-Poisson模型（SP）、廣義的Anscombe變換模型（GAT）、PURE模型、加權l2模型（wl2）和TVIC模型.

表1 各種模型的保真項Tab.1 Fidelity terms of the models

由于篇幅有限，本文未覆蓋EXP模型[10]、基于最小誤差估計的MMSE模型[46]、將ROF與TV-KL相結合的模型[8].此外，隨著深度學習技術的發展，一些研究者開始利用深度學習技術進行圖像去噪[34，47].

2 求解混合泊松-高斯噪聲模型的常用算法

本節介紹求解混合泊松-高斯噪聲變分正則化模型的一階優化算法，包括原始-對偶算法[22，48-49]、交替方向乘子（ADMM）算法[50]（與之等價的有Split Bregman算法[15，48]）以及半光滑牛頓（semi-smooth Newton，SSN）算法[2，14，51-52]等.

2.1 原始-對偶算法

原始-對偶算法是計算鞍點問題的一類有效算法，也被成功用于求解混合泊松-高斯噪聲去噪模型，包括TV-IC模型[22]和精確的泊松-高斯估計模型[13，53]等.下面以TV-IC模型的求解[22]為例介紹該算法.

引進約束z=u對TV-IC模型進行改寫，并將原始-對偶算法應用于該最優化問題的計算，

引入TV范數的預對偶形式[54]，上述問題可以變成如下最大-最小（或鞍點）問題

其中：div為散度，

為了求解該帶約束的最大-最小問題，進一步引入拉格朗日乘子y建立如下增廣拉格朗日泛函優化模型，以消去對變量z、u的約束，

其中

在具體進行求解時，由于該算法在求解v子問題（20）時涉及一個牛頓內迭代，故該算法比較耗時.后面會介紹一種新算法[24]，該算法通過引入雙線性約束來巧妙地規避此類問題.

2.2 ADMM算法

ADMM算法是圖像處理的常用算法之一，它結合了對偶分解[55]和增廣拉格朗日算法[56-58]的優點，是求解帶約束優化問題的一種有效算法.文獻[23]將ADMM算法應用于精確混合泊松-高斯噪聲模型的求解.文獻[37]將其應用于對懲罰加權的最小二乘模型的求解，該模型屬于加權l2模型中的一種.TV-IC模型是目前對于混合泊松-高斯噪聲刻畫較好，較為成熟的方法，文獻[24]通過引入雙線性約束改寫該模型，并利用ADMM算法求解新的模型，其相應算法如下.

通過引入雙線性約束ui=viwi，將式（13）改寫為如下等價的約束優化問題

顯然，此優化問題中vilnvi消失，因此，可以針對具有顯式解的v子問題和w子問題設計快速算法.引入乘子Λ，上述約束優化問題的廣義拉格朗日函數為

其中α>0為算法的罰參數.

已知前一次的迭代值（uk，vk，wk），ADMM算法通過求解如下3個分別關于u、v、w的子問題及乘子更新得到新的迭代值（uk+1，vk+1，wk+1）：

u子問題為

其中1∈Rn是一個所有元素均為1的向量.這是一個標準的TV-L2問題[21]，可以利用針對原始-對偶形式的全變分最小化問題的梯度投影算法[54]進行求解.

v子問題為

在這個最優化問題中，可以分別對v的每一個元素進行獨立求解，即可以考慮簡化的優化問題

v子問題的最優解為

vk+1=max（?1，k+1）

其中

對應于無約束最優解.

w子問題為

這是一個凸優化問題，其簡化的優化問題為

簡化問題的最優條件為

由此可得其顯式解為

由此可以進一步簡化v子問題的計算，將式（31）寫為如下形式，

因此有

通過上述展示不難看出，基于雙線性約束的ADMM算法的每個子問題都具有閉形式的解，與文獻[22]中針對TV-IC模型設計的原始-對偶算法相比，該算法不包含任何內迭代，計算速度更快，更有效.此外，在解決一些凸優化問題及非凸優化問題時，ADMM算法的收斂性及收斂速度均可得到[59].另一種常用的Split Bregman算法與之等價，文獻[15]利用Split Bregman算法求解了加權l2模型.

2.3 SSN算法

文獻[2]提出了TV-IC模型，并運用SSN算法對其進行了求解.為方便，文獻[2]用Huber正則函數[27]作為模型的正則項，并在模型中加入懲罰項來代替約束項.原模型被改寫為如下形式

其中：‖Δu‖1，γ為Huber正則項，矩陣間的所有運算均為對應元素的點點運算.上式對應的最優性條件為

其中：χFu和χFv分別為集合Fu={u：u＜0}和Fv={v：v＜0}的示性函數.

2.4 算法小結

對于求解混合泊松-高斯噪聲變分正則化模型，一階優化算法的優點是每次迭代的代價較低，模型能夠在很少的迭代步數內得到較好的重建圖像.

SSN算法收斂速度快，較少的幾步便可收斂到模型最優解（誤差小于機器精度），但是其內存消耗較大，每步的計算代價較高.因而，在將來的研究中，值得探索如何設計低求解復雜度、收斂速度快的新算法.同時，在算法推導的過程中，不可避免地引入了一些人工參數，這些參數影響了實際的圖像重建效果和算法的收斂速度.因而，在實現算法時不得不面臨調參的問題，影響了算法的推廣和應用.

在現有的一階算法中，ADMM算法是目前圖像處理中常用的算法之一.近來一些學者將ADMM算法應用于非凸優化模型的求解[60-62].文獻[24]引進雙線性約束對TV-IC模型進行改寫，并利用ADMM算法求解改寫后的模型，在保證求解效果的情況下大大提升了求解速度.然而，由于雙線性約束的存在，改寫后的模型是非凸的，現有的針對求解非凸問題ADMM算法的收斂性分析并不能直接應用于該問題的分析，特別是受限于現有的收斂性證明技術，無法在理論上證明相應提出的全分裂算法的收斂性.因此，針對求解非凸問題的ADMM算法的收斂性分析具有非常重要的意義.

此外，還有一些算法被應用于混合泊松-高斯噪聲模型的求解，如閾值函數的線性展開方法[20]、EM（expectation-maximization）算法[7]、小波變換和余弦變換[20]，以及基于熱流（heat flow）的算法[63]等，這些算法不具有一般性，這里不再詳述.

3 數值實驗

為了對去噪效果進行更加客觀地比較和描述，采用信噪比（SNR）對相關圖像的噪聲水平進行估計，其定義為

其中ug為未被噪聲污染的干凈的圖像.

泊松噪聲是依賴于圖像強度的，噪聲的大小取決于像素點的值，本文取一個度量因子η∈（0，+∞）來控制圖像中泊松噪聲的大小，η越大，泊松噪聲越小，此外，采用高斯噪聲分布的方差σ2控制高斯噪聲的大小.實驗采用的圖像見圖1.

圖1 測試圖Fig.1 Testing images

本文設計3組噪聲水平（η=1、4、16，σ=0.1），其中高斯噪聲水平固定，通過改變泊松噪聲的水平控制混合噪聲中泊松分布噪聲和高斯分布噪聲的相對強度.使用表1中涉及的6種模型對圖1（a）進行處理，其中TV-IC模型結合了最新的ADMM算法，得到的SNR見表2，各模型的去噪效果見圖2.由表2和圖2可見，TV-IC模型優于其他模型，隨著泊松噪聲部分相對影響的減弱，Shifted-Poisson模型的效果相對減弱，廣義的Anscombe變換模型和加權l2模型的效果逐漸增強，精確泊松-高斯估計模型和PURE模型的效果相對穩定.

圖2 各模型去噪效果Fig.2 Denoising performance for the models

表2 各模型去噪后圖像的SNRTab.2 SNR of denoised images for different models

此外，本文還探討了不同正則項對去噪效果的影響.選擇3類有代表性的正則項，包括局部低階正則化（TV）、高階局部正則化（HTV）和非局部塊稀疏正則化（NLTV）.為了體現非局部正則化的效果，選擇一副包含較多紋理結構的圖像（圖1（b））進行實驗，使用Shifted-Poisson模型，噪聲水平統一設置為η=4，σ=0.1.實驗結果見圖3.

圖3 Shifted-Poisson模型結合不同正則項的去噪效果Fig.3 Denoising performance for Shifted-Poisson model with different regularization terms

由圖3可見，NLTV正則項的效果要優于HTV和TV正則項.NLTV正則項對紋理處理的效果較好，若要進一步提升圖像重建效果，還可以考慮采用深度學習技術進行優化.

4 研究展望

關于混合泊松-高斯噪聲去噪的變分正則化模型和算法的研究，本文認為有如下幾個方面的問題值得繼續探索.

（1）設計更有效的模型.雖然針對該類型噪聲去噪的模型和算法比較豐富，但現有的模型都有一定的局限性.精確混合泊松-高斯估計模型雖然對噪聲進行了較為精確的估計，但由于其目標函數為一個函數項級數，因此很難求出精確解；加權l2模型和Shifted-Poisson模型相較于精確混合泊松-高斯估計模型求解簡單，但其只著重考慮混合噪聲中的高斯分布部分或泊松分布部分，對混合噪聲的估計不夠精確；廣義的Anscombe變換模型對逆變換的要求較高，簡單的代數逆變換會造成很大的誤差；基于均方誤差估計的PURE模型對混合泊松-高斯噪聲的概率分布性質考慮不充分，故其結果不夠準確；TV-IC模型雖然充分考慮了混合噪聲中的2種類型噪聲的分布性質，但其應用的標準Stirling估計在vi的值較小時容易造成較大誤差.綜上，針對混合泊松-高斯噪聲設計更加合理有效的去噪模型依舊是未來一個值得重視的研究方向.

（2）設計有收斂性保證的快速算法.得益于算子分裂算法的收斂性理論在非凸優化問題方面的進展，研究者可以刻畫此類算法在該問題相關模型的收斂性，如，基于廣義Anscombe變換可以設計新型的變分正則化模型，但是直接設計相應的算子分裂算法時，并不能保證每個子問題都有閉形式解.因此如何給出子問題的有效求解并保證其收斂性值得進一步探索.對于TV-IC模型，文獻[24]引入了新型的約束條件，因而導出的算子分裂算法非常簡單有效.然而，雙線性約束的引入給分析算法（特別是全分裂格式）的收斂性帶來了新的困難.因此，如何在理論上保證基于雙線性約束優化的算子分裂算法的收斂性也是一個值得探索的方向.

（3）設計自動調參策略.本文回顧的模型和算法中不可避免存在多個參數，這對算法在處理實際數據中的實用性造成了影響，其中最基本的信息就是噪聲分布的方差信息，因而如何自動估計實際污染圖像的噪聲分布信息是非常值得研究的.在此基礎上，還需要進一步探索變分正則化模型的自動調參策略[52，64-66]，與之相關的一個研究方向則是如何設計參數更少的快速收斂算法.

（4）研究高維以及非線性反問題成像.對于高維問題，如三維CT重建[41]、高光譜去噪[67]等，某些重要的成像問題[37，60，68]，其測量數據與待重建的圖像之間是非線性關系，其噪聲也是直接作用于對變換域的非線性運算之后的，因而對于非線性反問題的研究也具有較高的應用價值.如何克服非線性和高維帶來的困難，設計有快速收斂保證的算法是未來一個非常有意義的研究方向.