第四希臘字母類乘積元的非平凡性

李園園，王玉玉

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津300387）

1 引言和主要結論

令S為奇素數(shù)p上的局部化球譜，A為模p的Steenrod代數(shù)，對球面穩(wěn)定同倫群π*S新元素的發(fā)掘是同倫論的一個中心問題，Adams譜序列[1]是計算它的一個重要工具，相關學者對球面穩(wěn)定同倫群中非平凡元素的發(fā)掘做了大量研究[2-7]，其中，文獻[4]得到了與包含第三希臘字母類乘積元s+30密切相關的May譜E1項的一些結果，為該乘積元在Adams譜序列中的非平凡性打下基礎，文獻[6]考慮了涉及第三希臘字母類乘積元素γsξn的收斂性.

Adams譜序列的E2-項Adams微分為

文獻[10]得到了如下定理.

定理1當p≥11，0≤s＜p-4時，第四希臘字母類元素滿足

其中t=q[（s+4）p3+（s+3）p2+（s+2）p+（s+1）]+s.

本文主要結論如下.

定理2令p≥11，0≤s＜p-4，則Adams譜序列中的乘積元素滿足

其中t1=q[（s+4）p3+（s+4）p2+（s+2）p+（s+1）]+s.

2 May譜序列

本節(jié)給出關于May譜序列E1-項的預備知識.由文獻[11]的定理3.2.5知，存在May譜序列收斂到其E1-項

其中：E為外代數(shù)，P為多項式代數(shù)，

May微分為

且有xy=（-1）ss′+tt′yx，x、y=hi，j、bi，j或ai.

第一May微分有公式

其中：i≥1，j≥0.具體發(fā)掘的元素的方法可見文獻[12].

3 定理2的證明

首先給出相關引理.

引理1[13]令p≥11，0≤s＜p-4，第四希臘字母類元素可以被May譜序列中的元素a4sh4，0h3，1h2，2h1，3表示，其中t=q[（s+4）p3+（s+3）p2+（s+2）p+（s+1）]+s.

引理2令p≥11，0≤s＜p-4，則May譜序列的其中

證明在May譜序列中，考慮g=x1x2…xb y1…ym∈F1+b，t1，*，其中：xi=ai，yi=him jm.由于b=s，次數(shù)方程組為

由文獻[12]可知，k的取值為（0，0，0），相應的c為（s+1，s+2，s+4，s+4），并且次數(shù)矩陣為

引理2得證.

引理3（1）令p≥11，0≤s＜p-4，元素可以被May譜序列中的元素

表示，其中

證明（1）b1，i在May譜序列里是永久循環(huán)且非平凡的，收斂到bi（i≥0）[13]，由引理1知，當0≤s＜p-4時在May譜序列里是永久循環(huán)且非平凡的，收斂到因此在譜序列里是永久循環(huán)且非平凡的，收斂到b

（2）由式（4）中第三May分次的計算可直接得出.

引理3得證.

定理2的證明由引理3的（1）知，元素可以被May譜序列中的元素表示.下面證明

由引理2有

考慮生成元g1，有M（g1）=9s+17.由次數(shù)原因知g1在May譜序列里是永久循環(huán)且收斂到并有d（rg1）=0和因此

考慮生成元g2，有M（g2）=9s+3p+15，由式（1）及第三May分次知

下面證明

由式（2）和式（3）易得如下微分形式

其中

綜上有

由以上討論可得b1，1a4s h4，0h3，1h2，2h1，3在May譜序列里不是任何微分的像，故b1s+4≠0.定理2得證.

注對于第四希臘字母類乘積元素的研究僅限于非平凡性的證明，關于其是否收斂到球面穩(wěn)定同倫群的非平凡性元素還有待研究.