粒子群尋優(yōu)的增廣灰色模型及其在全國棉花產(chǎn)量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

1 引言

棉花是一種重要的紡織原材料，也是一種戰(zhàn)略物資，從事棉花相關(guān)行業(yè)的人口有2000多萬。同其他農(nóng)產(chǎn)品如豬肉、大豆、大蒜等產(chǎn)品類似，棉花產(chǎn)業(yè)也有一定的波動(dòng)性，這種波動(dòng)性既影響農(nóng)民的利益，也影響消費(fèi)者的利益，更影響決策者的政策制定，因此提前預(yù)測(cè)棉花的產(chǎn)量、種植面積等信息與多方人員關(guān)系密切，只有及時(shí)、準(zhǔn)確地對(duì)棉花產(chǎn)業(yè)進(jìn)行預(yù)測(cè)，制定合理正確的決策，才能降低其波動(dòng)性，保護(hù)產(chǎn)業(yè)鏈上諸多部門和人員的利益，實(shí)現(xiàn)棉花產(chǎn)業(yè)的健康、持續(xù)發(fā)展。

在眾多預(yù)測(cè)算法中，灰色系統(tǒng)理論由于對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少、信息不完全數(shù)據(jù)序列的擬合與建模獨(dú)具特色，已在經(jīng)濟(jì)、科學(xué)等諸多領(lǐng)域的預(yù)測(cè)、決策及評(píng)估中得到了廣泛應(yīng)用。陳啟軍等建立改進(jìn)型GM(1,1)灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)溫州市2018—2022年農(nóng)業(yè)灌溉水利用系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果顯示預(yù)測(cè)結(jié)果基本符合溫州市實(shí)際情況[1]。劉超等建立GM(1,1)警度預(yù)測(cè)模型，利用2009—2016年的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果顯示模型的可靠性良好[2]。然而，GM(1,1)模型中只有兩個(gè)可調(diào)參數(shù)，這會(huì)對(duì)模型的精度產(chǎn)生一定的影響。提高模型精度的一種比較好的辦法是增加可調(diào)參數(shù)，本文基于GM(1,1)模型設(shè)計(jì)了6參數(shù)模型和9參數(shù)模型，然而，參數(shù)過多會(huì)給求解帶來困難，甚至無法求解。近年來出現(xiàn)的仿生計(jì)算方法如遺傳算法、蟻群算法及粒子群算法[3-4]在數(shù)值優(yōu)化及參數(shù)尋優(yōu)方面有巨大優(yōu)勢(shì)，尤其是粒子群算法在數(shù)值尋優(yōu)方面算法相對(duì)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，因而本文采用粒子群算法求解模型中的未知參數(shù)。

本研究以2000—2019年全國棉花產(chǎn)量為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)序列，基于GM(1,1)模型[GM(1,1)中只含有兩個(gè)變量a、b，為便于描述將其稱為“2變量ab擬合”模型]設(shè)計(jì)了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，并使用粒子群算法求解這些變量，找出最優(yōu)模型，再使用最優(yōu)模型預(yù)測(cè)2020年的棉花產(chǎn)量，以期為棉花產(chǎn)業(yè)的生產(chǎn)、交易、加工及決策提供依據(jù)。

2 基于灰色模型的我國棉花產(chǎn)量預(yù)測(cè)

灰色預(yù)測(cè)模型(Gray Forecast Model)需要的建模信息少，特別適合對(duì)小樣本進(jìn)行建模并預(yù)測(cè)未來發(fā)展趨勢(shì)，且精度較高，是處理小樣本預(yù)測(cè)問題的一種有效算法。

研究基于2000—2019年我國棉花產(chǎn)量(數(shù)據(jù)來源：國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站)，各年產(chǎn)量如圖1所示。本文在基礎(chǔ)GM(1,1)模型[為與另外兩種模型相區(qū)別，稱基本GM(1,1)模型為“2變量ab擬合”]基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，需要先測(cè)試這3個(gè)模型中哪一個(gè)是最優(yōu)的，再使用此最優(yōu)的模型擬合歷史數(shù)據(jù)并預(yù)測(cè)2020年的棉花產(chǎn)量。

圖1 2000—2019年歷年全國棉花產(chǎn)量

2.1 基礎(chǔ)灰色模型GM(1,1)原理

灰色模型的本質(zhì)是利用將原始數(shù)據(jù)序列累加后一般會(huì)呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律的特性，先對(duì)原始數(shù)據(jù)序列求累加序列，再擬合此累加序列的方程，根據(jù)此方程可以預(yù)測(cè)未來的數(shù)據(jù)（仍然是累加序列），經(jīng)過反變換后可以得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)值。

設(shè)一個(gè)數(shù)列X(0)=[x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)]，有n個(gè)元素，其中x(0)(k)≥0，k=1，2，…，n；X(1)=[x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)]稱為X(0)的一階累加序列(1-AGO)，其中x(1)(k) =Σki=1x(0)(i)=x(1)(k-1)+x(0)(k)，k=1，2，…，n；圖1中展示的最近20年棉花產(chǎn)量的一階累加和結(jié)果如圖2所示。

灰微分方程為式（1）

式（1）中a稱為發(fā)展系數(shù)，b稱為灰作用量，參數(shù)向量a=[a,b]T可以運(yùn)用最小二乘法估計(jì)

其中Y，B分別為式（3）所示：

當(dāng)k≥n時(shí)，所求得的x(1)(k+1)就是X(1)序列的預(yù)測(cè)值。

因此求得k≥n時(shí)的x(1)(k+1)序列的值，就可以利用式(5)求出X(0)序列的預(yù)測(cè)值。式(4)中只有兩個(gè)變量a和b，可由式(2)求出具體的值，為和另外兩個(gè)模型相區(qū)別，將此模型稱為“2變量ab擬合”。

圖2 2000—2019年20年棉花產(chǎn)量的一階累加和

2.2 增廣灰色模型

從式（4）中可以看出其中包含一個(gè)自變量k和兩個(gè)待定變量a、b；它是式（6）的一種特殊情況，當(dāng)式（6）中 的a1、a4及a5等于0時(shí)，式（6）就退化為式（4），由于式（6）包含的可能性更多，因而將式（6）稱作增廣灰色模型。為與其他模型相區(qū)別，考慮到其中包含6個(gè)待定變量，將此模型命名為“6變量擬合”模型。

同理，可以定義包含范圍更廣的模型，如式(7)所示，其中包含9個(gè)待定變量，故將此模型命名為“9變量擬合”模型。當(dāng)a1、a4、a7等于0時(shí)退化為式（6）。

如前所述，式(4)中的待定參數(shù)a和b可由式(2)計(jì)算出來，然而式(6)的待定參數(shù)a1至a6，以及式(7)中的待定參數(shù)卻難以通過少數(shù)矩陣運(yùn)算求解出來；考慮到仿生計(jì)算方法如遺傳算法、蟻群算法及粒子群算法在數(shù)值優(yōu)化及參數(shù)尋優(yōu)方面有巨大優(yōu)勢(shì)，尤其是粒子群算法在數(shù)值尋優(yōu)方面算法相對(duì)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，因而本文采用粒子群算法求解式(6)和式(7)中的參數(shù)。

2.3 粒子群算法原理

粒子群算法（Particle Swarm Optimization, PSO）由Eberhart和Kennedy基于鳥群覓食行為的模擬于1995年提出。用一個(gè)粒子（實(shí)際是一個(gè)向量）來模擬一個(gè)鳥類個(gè)體，粒子的當(dāng)前值（鳥的當(dāng)前位置）即為所求問題的一個(gè)候選解，粒子不停地調(diào)整過程就是鳥的飛行過程。粒子具有速度和位置兩個(gè)屬性。粒子的飛行速度根據(jù)自己的歷史最優(yōu)位置和種群中歷史最優(yōu)粒子的位置按一定比例關(guān)系進(jìn)行修正，這種過程不斷循環(huán)，不斷修正速度和位置，最終得到問題的最優(yōu)解。

算法流程如下：

（1）初始化。設(shè)置最大循環(huán)次數(shù)或終止條件，粒子個(gè)數(shù)M（鳥群中鳥的數(shù)量），粒子的最大飛行速度(速度區(qū)間)，粒子中每個(gè)標(biāo)量的取值范圍（搜索區(qū)間），在速度區(qū)間中隨機(jī)初始化每個(gè)粒子的速度值，在搜索區(qū)間中隨機(jī)初始化每個(gè)粒子向量中各個(gè)標(biāo)量的值。

（2）個(gè)體最優(yōu)解與全局最優(yōu)解。定義適應(yīng)度函數(shù)，個(gè)體最優(yōu)解（Pi）為每個(gè)粒子個(gè)體在飛行過程中搜索到的歷史最優(yōu)解，從所有粒子中找到的最優(yōu)解叫全局最優(yōu)解（Pg），每個(gè)粒子要朝著自己的個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解飛行，不斷更新。

（3）更新速度和位置。更新粒子速度的公式為式（8）：

其中，ω稱為慣性因子，只能為正值或者0，ω值大時(shí)全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，反之，全局尋優(yōu)能力弱；c1、c2稱為加速常數(shù)，其中c1表示個(gè)體學(xué)習(xí)因子，c2表示全局學(xué)習(xí)因子。本文中設(shè)置ω=0.8、c1=0.2、c2=0.2。random(0,1)表示生成區(qū)間[0,1]上隨機(jī)數(shù)的函數(shù)；Vid表示第i個(gè)粒子速度的第d個(gè)標(biāo)量，Pid表示第i個(gè)粒子個(gè)體最優(yōu)解中的第d個(gè)標(biāo)量，Pgd表示全局最優(yōu)解中的第d個(gè)標(biāo)量。

更新粒子位置的公式為式（9）：

其中，Xid表示第i個(gè)粒子的第d個(gè)標(biāo)量。

3 試驗(yàn)

本文試驗(yàn)主要分三部分，分別對(duì)比“2變量ab擬合”模型、“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型的擬合精度，并從中選出一個(gè)最好的模型預(yù)測(cè)2020年的棉花產(chǎn)量。灰色模型的本質(zhì)是建立指數(shù)模型，在建模前先要對(duì)歷年棉花產(chǎn)量X(0)序列求一階累加和，得到X(1)序列，即對(duì)X(1)中每個(gè)元素，有x(1)(k)= Σki=1x(0)(i),k=1,2,…,n；結(jié)果如表1中的第4列所示。

3.1 2 變量ab擬合

根據(jù)X(0)，X(1)構(gòu)造公式（3）中的矩陣Y、B，根據(jù)最小二乘法解得參數(shù)向量a=[a,b]T=[-0.0117,516.7069]T，從而可得模型

由式(10)可以求出X(1)的模型擬合值，具體數(shù)值如表3中第5列所示。圖3直觀對(duì)比了X(1)及模型的擬合值，由圖中可見兩條線前面8個(gè)數(shù)據(jù)差異較大，后面12個(gè)數(shù)據(jù)差異較小。

表1 近20年棉花產(chǎn)量、一階累加和及三種模型對(duì)一階累加和擬合的結(jié)果

圖3 一階累加及其“2變量ab擬合”結(jié)果對(duì)比

3.2 6變量擬合

式（6）中含有6個(gè)待求變量，用普通的最小二乘法難以求出結(jié)果，改用粒子群算法根據(jù)X(1)求得參數(shù)a1=54.3377，a2=-46.7662，a3=0.0039，a4=-2.4487，a5=43.7599，a6=4.5330；因而公式（6）的擬合表達(dá)式為：

根據(jù)式（11）求得X(1)的擬合值，列于表3中第5列；圖4是X(1)及其擬合值的對(duì)比圖，從圖4中可以看出公式（11）的擬合結(jié)果，不論在序列的首部還是尾部都吻合得很好，效果優(yōu)于“2變量ab擬合”方法。

圖4 一階累加及其“6變量擬合”結(jié)果對(duì)比

3.3 9變量擬合

與“6變量擬合”類似，同樣可用粒子群算法根據(jù)X(1)求得式（7）中的9個(gè)參數(shù)，a1=44.3481，a2=37.4067，a3=217.1029，a4=0.0057，a5=0.0102，a6=-0.2057，a7=22.2540，a8=60.4856，a9=74.9205，因而式（7）的擬合表達(dá)式為：

根據(jù)式（12）求得X(1)的擬合值，列于表3中第6列；圖5是X(1)及其擬合值的對(duì)比圖，從圖5中可以看出式（12）的擬合結(jié)果在序列的首部和尾部都吻合得很好，效果與“6變量擬合”方法類似。

圖5 一階累加及其“9變量擬合”結(jié)果對(duì)比

3.4 3種擬合方式的對(duì)比

表2列出了3種方法誤差對(duì)比。可以看出“9變量擬合”方案對(duì)X(1)序列擬合的絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及平均誤差都是最小的。但是，對(duì)X(1)擬合效果好，不等于對(duì)X(0)序列擬合效果也好。表3是由對(duì)X(1)序列的3種擬合值反推出的2018、2019年棉花年產(chǎn)量，可以看出“2變量ab擬合”方法對(duì)2018、2019年產(chǎn)量估計(jì)值的相對(duì)誤差均超過了5%，“9變量擬合”方法對(duì)2018年產(chǎn)量擬合的誤差小于5%，而對(duì)2019年產(chǎn)量的擬合誤差大于5%；只有“6變量擬合”方法對(duì)這兩年的擬合誤差均小于5%；這說明擬合所用多項(xiàng)式的次數(shù)以及參數(shù)的個(gè)數(shù)并不是越多越好，因而比較合理的方案是選擇“6變量擬合”，即公式（11）方法預(yù)測(cè)2020年的產(chǎn)量。

表2 3種擬合方法的誤差對(duì)比

由式（11）可以算出X(1)序列的第21個(gè)擬合值，X(1)(21)=12587.7，2020年的產(chǎn)量估計(jì)值X(0)(21)=X(1)(21)－X(1)(20)=12587.7－12008=579.7(萬噸)。

表3 3種擬合方法對(duì)2018、2019年產(chǎn)量的擬合結(jié)果及誤差對(duì)比

4 總結(jié)與討論

在眾多預(yù)測(cè)算法中，灰色系統(tǒng)理論由于對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)少、信息不完全數(shù)據(jù)序列的擬合與建模獨(dú)具特色，已在經(jīng)濟(jì)、科學(xué)等諸多領(lǐng)域的預(yù)測(cè)、決策及評(píng)估中得到了廣泛應(yīng)用。本文以2000—2019年全國棉花產(chǎn)量為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)序列，基于GM(1,1)模型設(shè)計(jì)了“6變量擬合”模型及“9變量擬合”模型，并使用粒子群算法求解模型中的變量，發(fā)現(xiàn)“6變量擬合”模型精度最高，是最優(yōu)模型，再使用“6變量擬合”模型預(yù)測(cè)2020年的棉花產(chǎn)量。