基于Galois理論的抽象代數本科教學改革和研究

鄭華 羅亮 孫宇鋒

[摘 要] 以Galois理論為導向，對數學與應用數學本科專業的抽象代數課程進行教學改革，在更高的理論框架下展現課程主體知識的關聯和延伸，使學生進一步明確課程目標、激發興趣以及拓寬視野，提高學生學習動力和提升教學效果，使學習更有深度、廣度和寬度。

[關鍵詞] 抽象代數;Galois理論;數學與應用數學

[基金項目] 教育部2017年“產學合作協同育人”項目（No：201701044035、201701044085）;廣東省2016年“質量工程”建設項目（大學生實踐教學基地立項No.46）;2018年廣東省高等教育教學改革項目（面向新工科《數學分析》課程之“對分課堂”教學改革研究與實踐No.531）;韶關學院第十九批教育教學改革研究重點項目（基于大數據創新能力培養的《專業核心技能訓練》課程教學改革研究與實踐No.SYJY20181908）;韶關學院第二十批教育教學改革研究項目（《數學模型》課程思政化教學模式構建與實踐研究No.SYJY20192006）;2017年韶關學院“質量工程”建設項目（模糊數學在工程中的應用No.29）;2018年韶關學院“質量工程”建設資助項目（科學計算中的若干問題No：7）

[作者簡介] 鄭 華（1982—），男，廣東韶關人，博士，副教授，主要從事數值代數研究;羅 亮（1981—），女，江西豐城人，博士，副教授（通信作者），主要從事自適應控制研究。

[中圖分類號] G642? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）37-0172-02? ? [收稿日期] 2019-12-25

一、引言

代數是純數學領域的一個重要分支，法國數學家Galois在1832年運用群的思想解決了多項式方程求根公式的存在性問題，使得代數學成了研究代數結構的科學，進而把代數學推向了抽象代數時期（也稱為近世代數）[1].

抽象代數是本科數學與應用數學專業的重要專業課之一，通過講解群、環、域[2]等知識，使學生在掌握代數學核心內容的同時，在抽象性、嚴謹性上得到一定的思維訓練。本文主要從教學設計的角度，給出基于Galois理論對抽象代數課程本科教學進行改革的若干策略。

二、Galois理論回顧

Galois理論的重要應用之一，是一元五次方程求根公式的存在性問題[3-4].先給出一些相關的引理.

引理1[5] 如果從A到B的域擴張對應的Galois群是可解的，那么存在不變子群G1，G2，…，Gk，使得A？茳G■？茳G■？茳…？茳G■？茳B，并且每一個商群G■/G■都是交換群.

引理2[5] 記一元五次方程根所在的域為K，則所有從Q到K的域擴張對應的Galois群是S5.記A5為S5中所有偶置換構成的集合，則A5不是交換群，并且S1？茳A5？茳S5是S5唯一的不變子群鏈.

用Galois理論討論一元五次方程求根公式存在性問題的基本思路為：（I）為了找到方程的解（不在Q中），需要對Q進行域擴張;（II）多項式的零點具有某種對稱性，而這種對稱性可以用群來描述，進一步可以等價地用域擴張的對稱性來描述;（III）只通過加減乘除無法得到Q的域擴張，而通過開方得到的域擴張具有某種對稱性，即對應的Galois群是可解的;（IV）根據引理1和引理2，一元五次方程的根所對應的Galois群是不可解的，因此只通過加減乘除和開方運算是不能從Q擴張到包含五次方程解的域，再根據Galois對應的定義，即得一元五次方程求根公式是不存在的.

三、基于Galois理論的教學策略實施

從Galois理論在一元五次方程求根公式存在性問題中的探討思路可見，整個過程涉及的群、環、域的相關基礎知識包括了：（I）域擴張;（II）群的定義;（III）對稱群;（IV）不變子群、置換群、群同構、商群.可見，Galois理論覆蓋了抽象代數的主要常規教學內容，并且把對稱性、不變子群、商群、同構等抽象的概念有機地串聯了起來.考慮在每一章節常規的教學內容中為Galois理論的引入做適當鋪墊，盡量壓縮跟Galois理論關聯較少的知識教學時間，最后再利用2個課時對Galois理論進行介紹，可以幫助學生更好地理解抽象代數課程的核心理論.

（一）課程總覽

在抽象代數的課程介紹中，一般會提到Galois理論的歷史.為了配合后續融合Galois理論思想的教學模式，需要額外介紹一元五次方程求根公式的數學問題.由于是第一次課，學生尚不具備任何抽象代數知識，因此問題介紹盡量不涉及課程的專業術語，多從“什么是求根公式？”、“一元二次、三次、四次方程的求根公式是什么？”等簡單話題展開，先通俗粗糙地展示Galois理論的框架，以問題驅動的方式激發學生的學習興趣.

（二）群的教學

在學習完群的定義后，常規教學過程會給出幾個群的簡單實例，雖然這嚴格遵循了代數的抽象定義體系，但由于各實例有一定的獨立性，導致大部分學生對該定義的理解往往是一種機械的模式.為了后續Galois理論的需要，由上節的步驟（II），引入對稱操作構成的群作為實例之一，并給學生強調該實例是跟求根公式探討直接相關的例子.

對于對稱群、置換群、不變子群、商群這些引申概念的講解，在展示各個概念的定義之前，先結合后續求根公式存在性的推導過程，適當突出各概念在Galois理論中所涉及的性質.在對稱群和置換群的教學中，雖然概念的構造比較簡單，但為何特別要關注交換律而不是其他運算律，為何要關注置換構成的群，是部分學生可能產生的疑問，由上節步驟（III）可見，在教學中強調此處和Galois理論相關，即可馬上消除學生的疑問.在不變子群和商群的教學中，部分學生難以理解為何要去學習這么“特殊”的群，同理，由上節步驟（IV），強調兩個概念都是后續Galois理論要使用的，讓學生先掌握純數學的抽象定義，并且期待后續相關概念的融合.

對于群同構的教學，為何要討論抽象概念之間的抽象關系，是學生在學習過程中可能產生的疑惑.由上節步驟（IV），群同構是為Galois理論分析“對稱操作構成的群”內在性質做鋪墊的，同構關系把群的特殊性抽象出來，同時可以回應群論的定理：“任意的群都同構于一個變換群”，幫助學生把所學的知識階段性地串聯起來.

（三）環和域的教學

Galois理論跟環論并無直接關聯，因此，環論的教學策略可采用常規教學的模式.對于域的教學，常規的方式一般會在域的定義上花較多的時間，然后再簡單介紹域的性質.結合Galois理論的需要，在教學中更重視域的性質，即該集合的元素在加減乘除四則運算下是封閉的.在尋找一元五次方程求根公式時，正是因為有理數域在四則運算下是封閉的，才有引入域擴張的必要性，因此關注域的上述特殊性質是有必要的.

對于域擴張理論（I），由于擴域的知識一般不在本科《抽象代數》課的教學大綱內，考慮到整體課程的學時安排，對這部分知識的教學，還是按大綱要求進行，不去詳細講解.由于求根公式問題只涉及域擴張的簡單實例，而該實例只涉及整環和域的定義，因此可在講解時引入有理數域擴展的實例，并強調該實例與Galois理論相關即可.

（四）Galois理論介紹

在常規內容的教學中，壓縮跟Galois理論關聯較少的群、環、域知識，在不超過課程總學時的前提下，用2個課時的時間給學生介紹Galois理論的推導思路.對于過程中的細節處理，需要關鍵的引理1和引理2，注意到這兩個引理是超出本科教學范圍要求的，由于課時有限，可采用忽略證明只介紹理論結果的方式進行.對于引理3，內容在本科教學的范圍內，其細節推導可設置為講解不變子群和置換群后的課堂作業.

四、小結

根據抽象代數的歷史由來，以一元五次方程求根公式存在性問題為驅動，把Galois理論的思想滲透在抽象代數相關內容的教學過程中，給出相應的教學策略，把群、環、域等主體知識有機地串聯起來，激發學生的學習興趣，能有效地改善教學效果.

參考文獻

[1]馮曉華，楊靜.劉維爾與伽羅瓦數學手稿的發表[J].數學的實踐與認識，2007，37（3）：139-144.

[2]Rotman J.Advanced Modern Algebra[M].Upper Saddle River：Prentice Hall，2004.

[3]李青燕.從五次方程根式求解到伽羅瓦理論及其數學哲學意蘊[J].太原師范學院學報（自然科學版），2010（3）：49-53.

[4]謝彥麟.代數方程的根式解及伽羅瓦理論[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2011.

[5]劉邵學.近世代數基礎[M].北京：高等教育出版社，2004.