化工專業研究生工程應用數學課程數據分析與處理能力的培養

朱明 馬正飛

[摘 要] 工程應用數學課程涵蓋矩陣論、數值計算方法、最優化方法、數理統計和微分方程等教學內容。文章著眼于研究生數據分析和處理能力的培養，以化工過程的實例引導學生掌握化工過程建模、求解和優化的思路，利用豐富的計算資源和軟件資源解決復雜問題，引導學生將精力主要放在方法的構造上，而不是放在方法的實現上，以此提高運用數學方法解決實際問題的能力。

[關鍵詞] 工程應用數學;研究生培養;工程應用

[基金項目] 2019年度江蘇省高等學校自然科學面上項目“可控制備的電子化合物強化低溫Haber反應基礎研究”（19KJB530006）

[作者簡介] 朱 明（1984—），男，安徽合肥人，工學博士，講師，主要從事傳質分離工程與過程強化方面研究;馬正飛（1960—），男，江蘇蘇州人，工學博士，教授，主要從事吸附分離領域研究。

[中圖分類號] G642.0? ? [文獻標識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）37-0308-02? ? [收稿日期] 2020-04-03

目前，各高校對研究生數學公共課程的教學都非常重視，期望以此提高研究生的數學素質[1]。化工專業研究生培養的整體知識結構有其自身特點，學生需要了解數學思想與數學方法的基本原理，并能熟練地運用多種分析求解工具，從技術和經濟層面實現對化工過程的優化設計和操作。因此，在教學過程中適宜采用比較通俗易懂的語言、圖形化的方法闡述數學原理，不把著眼點放在過于深奧的數學知識上;將數學工具軟件的應用貫穿到每一個教學內容中，盡可能地應用已有的軟件手段求解問題，不追求軟件的內核和源代碼的編寫;在教學過程中以化工過程的實例為引導，注重案例式教學，幫助學生抓住化工過程建模、求解和優化的思路;在解決復雜問題時，將精力主要放在方法的構造上，而不是放在方法的實現上，以此提高運用數學方法解決問題的能力。

一、建立模型的步驟

工程應用數學課程教學內容涵蓋的范圍廣，包括數值計算、矩陣運算、數據回歸與擬合、數值積分與數值微分、常微分方程的求解方法、偏微分方程的求解方法等內容[2]。從數學概念到面向實際問題的模型構建是教學中的難點。模型通常分為兩類：（1）基于物理理論的模型;（2）基于嚴格經驗描述的模型（如神經網絡）。基于物理化學定律的數學模型（如質量和能量平衡、熱力學、化學反應動力學）經常被用于工程設計中[3]，而當由于時間和資源的限制無法開發物理模型時，更適宜采用經驗模型。

建立模型主要分為問題定義、模型設計與模型評價三個步驟。在問題的定義階段需要選定與問題有關的要素以及它的求解方法[4]。為了評價模型的結構以及復雜性，需要明確獨立變量數、求解獨立變量需要的方程數和模型中有待確定的參數的個數。比如在求解氣體狀態方程時，因為氣體的壓力、體積與溫度互相關聯，確定了兩個狀態參數剩下的參數唯一確定，所以描述氣體狀態的獨立變量個數為2，狀態方程數為1，待求解變量為1。進入設計階段，需要定義輸入和輸出變量，選用特定的數學表達式，以及把模型翻譯成計算機代碼。在用計算機代碼表示模型時，要對計算機軟硬件的可用性進行檢驗，開發程序的算法及流程，定義程序模塊和結構關系。模型評價涉及輸入—輸出歷史數據或與文獻的比較，按照在定義階段建立的評價標準和測試方案實行。一個成功的模型，可能要經過多次反復的調試才能達到合適的精度，因此需要教給學生加快計算收斂速度的方法。

二、求解問題的過程

在實際工程問題中，沒有任何一個單獨的方法或算法可以通用地解決所有問題。對于任意一個問題的解決，所選定的方法主要依賴于：（1）目標函數的特性以及對它描述的清晰程度;（2）是否存在約束條件;（3）獨立和相關的變量數。在求解問題時，首先需要對過程本身進行分析，對目標變量和特定性質進行定義，必要的話可以建立一個全部變量的列表。第二，確定優化的標準，并用前面定義的變量和系數指定目標函數。進一步，采用數學表達式，建立一個與過程輸入—輸出變量和系數相關的、有效過程模型或設備模型。建立模型可采用熟知的物理原理（質量平衡、能量平衡、動量平衡）、經驗關聯式、隱含的概念以及外部約束等。如果求解的問題覆蓋范圍過大，可以將其分解為幾個容易處理的部分，或者簡化目標函數或模型。在求解問題的最優解時，強化Matlab、Mathematics等計算軟件的應用，要求研究生盡可能運用已有的軟件手段來解決問題，盡量不編程或少編程。比如在換熱器設計中，設計變量可以包含換熱面積、流量、換熱管的數量、管殼的直徑、進口溫度以及壓降等，對于一個具有很多變量的問題情況可以變得十分復雜，在教學過程中，可以引導學生思考哪些變量是獨立的、哪些變量是非獨立的，并通過組織小組討論的方式選擇關鍵的控制變量完成換熱器的設計。在問題求解的最后一步，涉及驗證可行解以及確定最優解的步驟，通常的做法是通過重復的數值計算，表明在所有已知的解中目標函數的值是最好的。另一個可行的辦法是通過敏感性分析確定各參數對問題解的影響。

三、優化的局限性

工程實際問題中，由于存在大量的非線性因素，可能導致計算過程失敗[5]。相對于連續的參數值，目標函數或約束方程可能會有一些非連續值。比如，作為尺寸、壓力、溫度等變量函數的壓縮機和換熱器的價格，可能不會連續地變化。在某個范圍內增加某一參數的水平，可能不會對成本造成任何影響，而在另一范圍內則可能造成成本的突變。目標函數所涉及的變量之間可能有復雜的相互作用，比如給定目標函數f（x1，x2）=，若x1與x2之間存在相互作用，將無法確定唯一的x1與x2使目標函數最優。在工程系統中，通常會包含更為復雜的相互作用。當計算變量在最優點附近時，這類相互作用會表現出很多局部最優的行為。需要對學生予以說明，采用合理的線性化近似，以減少此類問題的出現。

四、結束語

為培養適應新時期社會發展需要的高素質人才，必須提高廣大研究生的科研能力和動手能力，并在此基礎上形成其科技創新能力。應用數學能力的高低是衡量研究生科研能力的一個重要標志。將數學方法應用到工程實際中，形成解決復雜問題的能力，不是簡單地多學幾門數學課就可以獲得的。經過多年對工程應用數學課程改革的探索，我們在教學過程中抓住化工專業的學科特點，利用豐富的計算資源和軟件資源，使課程學習與實際應用相結合進行有針對性的教學，取得了較為滿意的教學效果，學生樂于接受，學習效率高。

參考文獻

[1]馬正飛，殷翔.工科研究生數學教改的探索與實踐[J].化工高等教育，2002（4）：60-62.

[2]馬正飛，殷翔.數學計算方法與軟件的工程應用[M].化學工業出版社，2002.

[3]M.Zhu，C.J.Liu，W.W.Zhang et al.Transport Phenomena of Falling Liquid Film Flow on a Plate with Rectangular Holes[J].Ind.Eng.Chem.Res.，2010，49，11724-11731.

[4]W.Kevin，M.Mahdi，S.Collin et al.Column Absorption for Reproducible Cyclic Separation in Small Scale Ammonia Synthesis[J].AIChE J.，2017，63（7），3058-3068.

[5]T.F.Edgar，D.M.Himmelblau，L.S.Lasdon.Optimization of Chemical Processes [M].McGraw Hill，Inc.，2001.