基于“關鍵能力”培養的數學實驗教學變革研究

摘要：數學學科“關鍵能力”包括特征分離概括化能力、關系定性特征化能力、新元添加連續性能力和結構關聯相關性能力等理性素養，通過變革數學實驗行為目標，培養學生的“關鍵能力”，有助于學生的全面發展和必備品格的形成。

關鍵詞：數學實驗;關鍵能力;教學變革;課例研究

中圖分類號：G420 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2020）09B-0039-05

《教育部關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》明確界定，核心素養是學生應具備適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。在數學實驗教學領域，如何培養學生的“關鍵能力”及其背后的“必備品格”是變革的關鍵。具體來說，通過數學實驗培養的學科關鍵能力包括特征分離概括化能力、關系定性特征化能力、新元添加連續性能力和結構關聯相關性能力。通過關鍵能力的培養，構建數學實驗教學育人范式及其產生式形成，進而實現數學實驗的教學變革。這里的“產生式”，是指條件與動作的聯結，即在某一條件下會產生某一動作的規則，它由條件項“如果”和動作項“那么”構成，即在滿足某個條件的時候，我們做出某個行動。（見表1）

本研究以蘇科版義務教育教科書《數學》八年級下冊“三角形的中位線”的教學為例，旨在落實數學實驗教學培養學生核心素養的目標。圖1所示的框架模型可以達成的目標表現在以下四個方面：一方面，通過“做數學”和感知數學，發展辨別直覺、美的直覺和關系直覺，落實概念本質屬性的把握及其產生式形成，培養特征分離概括化能力;另一方面，通過提出問題及其逆問題意識，落實工具性理解、概念性理解以及關系性理解，強化主體、環境、行為之間的思維交往互動以及透視本質屬性能力，培養關系定性特征化能力;再一方面，通過高階思維（分析、評價與反思），提高同化和順應概念的組織能力，落實深度學習及其審美需要的內驅，培養新元添加連續性能力;最后，通過“使用數學”（應用數學、關聯數學和結構數學），發展創新意識、決策意識以及反觀審辯意識（批判意識），落實結構關聯能力，建構心理系統概念群和心理結構概念圖。

數學觀、數學教育觀的一般觀念和人的關鍵能力的一般概念，都直接來自人性的實踐理性。因此，通過數學實驗培養關鍵能力，可以實現必備品格的養成和滿足人性審美的需要。

一、特征分離概括化能力

在數學實驗教學研究范疇，特征分離概括化能力屬于序的直覺范疇，即通過“做數學”和“思考數學”，經歷“分離”“概括”的心理過程，剔除概念的非本質屬性，直觀感知概念的本質屬性特征，并進行思維辨別與緩存，終于概念的直覺把握和有序發生。毋庸置疑，在“‘做數學”的具身條件下，“分離—概括”本身就是一種美的選擇，既有關系直覺成分，又有真偽直覺成分，而“證偽”是一種邏輯屬性的學習素養，屬于學會學習素養范疇。因此，就這一理解來說，數學實驗教育不僅僅是幫助學生理解數學，更在于數學直覺素養的培養，有助于概念本質的洞察與直接把握，這就是“直觀的懂”。在徐利治先生看來，“數學直覺=美的直覺+關系直覺+真偽直覺”[1]，這就把數學實驗價值提高到學會學習層面。換言之，在數學實驗教學研究者看來，真偽直覺的證偽過程就是剔除概念非本質屬性的過程，而美的直覺的建立過程就是做數學的直接選擇過程，關系直覺的確立過程就是概念本質屬性得以把握的過程，標志著“經歷”了數學概念發生及其數學思考的方方面面。

有學者通過研究，從發展“關鍵能力”目標層面指出，基于學生核心素養發展的教學目標的表述，可以在目前的教學目標的內容（學科知識）與行為（認知、技能和情感變化）維度基礎上，加入“情境維度”[2] 。這就要求數學實驗教育在實驗目的層面添加素養屬性的能力目標，才能將關鍵知識轉化為關鍵能力及其支撐關鍵能力的必備品格，終于分離概念、概括概念能力體系的上位發展。《義務教育數學課程標準（2011年版）》在課程基本理念部分指出，學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。顯然，就數學實驗教學論來說，觀察實驗、推理驗證等是分離概念本質屬性與非本質屬性的邏輯過程，概括是概念屬性特征獲取的主要方式，有助于直觀想象素養的培養，有助于直覺數學邏輯的發展，終于關系直覺等關鍵能力的發展。為此，當下數學實驗教學在概括概念的本質特征層面必須做好三個層面的工作：一是數學地“動手做”，建立概念辨別直覺;二是數學地“動眼看”，建立概念美的直覺;三是數學地“動嘴說”，建立概念關系直覺。最終達到分離概括概念的本質屬性特征目標，進而體認和把握概念的直覺信息。

不妨以“三角形中位線的‘發生概念實驗塊”為數學實驗清樣，說明特征分離概括化能力培養的重要意義，不止于幫助理解數學，還在于序的直覺能力產生式形成。具體實驗操作線索如下：第一，任意畫一個三角形，并剪下來;第二，在平面內是否存在一條裁剪線，將這個三角形紙片分成兩部分，能拼成一個平行四邊形？第三，如果存在，這條裁剪線有何特點？裁剪線與第三邊有怎樣的數量關系和位置關系？并說明理由。不難理解，“畫”和“剪”是初中段動手做數學的通用技術，為概念的特征分離與概括提供直覺信息;“存在性的”確認過程是動眼看的“視思維”結果形態，“裁剪線”的確立過程是美的直覺選擇行為，是分離概念特征的一個具體表現;描述“裁剪線特點”和概括“與第三邊關系”及其說理，是概括概念特征的一般方式，有助于三角形中位線概念特征的本質把握，很好地發展了關系直覺。其實，在初中段數學實驗課堂，只有轉向讓學生在具身知覺學習中有思維地、自然地發生概念，在概括中分離，在分離中概括，方能發展數學直覺等關鍵學科能力。正如人民教育出版社編審章建躍所說，“課堂教學中，‘自然的過程來源于數學知識的發生、發展過程和學生認知過程的融合，具體表現為對數學概念、原理的不斷歸納和概括的過程”[3] 。

二、關系定性特征化能力

數學實驗關系定性特征化能力是讓學生從概念的實際背景出發，通過思維地做數學，在提出序列相關問題及逆向補償問題的基礎上，發展概念的數學內部關系，秉持從特殊到一般的思想方法，組織提煉一類事物的共性特征，進而淡化形式，把握概念的類屬本質，實現從“工具性理解”到“關系性理解”，并真正“把”“握”概念。以邏輯學的視角來看，這里的“工具性理解”是“關系性理解”的必要而非充分條件。在R.斯根普看來，“數學工具性理解就是一種程序性理解，也就是一個規則R所指定的每一個步驟是什么，如何操作的問題;而數學關系性理解，則還需要加上對符號意義或替代物本身結構上的認識”[4] 。在數學實驗教學中，“概念的形成—概念的使用—概念的解釋”就是程序性理解的一個例子，是工具性理解的一般技術范式，突出從特殊到一般的理性思維的滲透目標;而“類比關聯”“逆向補償思考”“分類討論”是關系性理解的執行程序，突出概念的系統性和階段性特點。“拼圖·公式”就是關系性理解的一個特例。事實上，就數學知識的學習而言，概念的理解應當定位于“關系性理解”，只有從工具性理解上升到關系性理解，學生才能把握數學對象的本質。換句話說，讓學生基于做的經驗，獲得概念關系定性特征的本質，實現概念系統化結構化目標。

在傳統的數學實驗教學中，人們更多地傾向于做的感性形式，引發“現象性的玩”，甚至產生“去數學化”現象，這就無法體現出數學的理性精神。事實上，“感性行為”背后的“理性思維”才是數學實驗教學的本體價值，這也是數學實驗教學培養學生“關鍵能力”的價值支撐。在鄭毓信教授看來，“實踐活動，包括感性經驗構成了數學認識活動的重要基礎”[5] 。就認知層面來說，利用學生的生活經驗有助于他們理解和掌握概念和知識。這就在一定層面強調數學實驗的教育價值，不止于先驗性組織行為，更在于演繹性理解，最終實現理性特征關系的定性與把握。也就是在概念形成過程中，數學實驗為概念的形成提供了感覺、知覺和表象的基礎，通過不斷地分析綜合、非連續抽象概括等關系特征定性行為，逐步把握一類概念的本質。為此，新的數學實驗觀重視三個維度的理性思維工作：一是學習主體與思維環境進行交往，落實提出問題目標;二是學習主體間進行思維交往，落實工具性理解目標;三是行為、主體、環境之間的交往，落實逆問題意識目標以及關系性理解目標，終于概念圖的重構與組建，進而提升學習主體的理性經驗和關鍵能力。

不妨以“三角形中位線的‘形成概念實驗塊”為數學實驗清樣，說明關系定性特征化能力培養的主體價值，不止于感性經驗的有序層級，還在于關系性理解產生式系統的定向形成，包括概念的意義組織與建設。具體思維活動線索如下：第一，任意畫一個三角形，如何將其分成四個全等的三角形？你還發現了哪些結論？第二，任意畫一個四邊形，并取各邊中點，構造的中點四邊形是什么形狀？為什么？第三，矩形的中點四邊形是什么形狀？為什么？菱形呢？正方形呢？等腰梯形呢？經歷上述活動，你認為中點四邊形的形狀與什么有關？為什么？如果說“畫三角形—構造全等三角形—發現結論”是主體與文本環境進行思維交往，那么“畫四邊形—構造中點四邊形—理性運演”是主體間的思維交往的普遍范式，“特殊四邊形的中點四邊形的形狀確認與說理”以及一般研究結論（中點四邊形的形狀是由原四邊形的對角線的位置關系和數量關系決定的）的概括提出則是行為、主體和環境之間的立體交往，反映數學實驗教學的本質是理性思維的生長與擬經驗的發展，最終指向關系定性特征化目標的梯級實現。這與陳重穆等人的數學教育觀是一致的，即“義務教育中的數學應該走‘大眾數學的路子，即不從概念出發，應從實際出發歸納概念，使學生掌握概念的實質”[6] 。

三、新元添加連續性能力

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“數學是研究數量關系和空間形式的科學。”“空間形式”隨著變量數學發展的階段性而不斷擴展，“數量關系”的內涵和外延也會發生相應的變化。比如，在有理數研究范疇中，“x2-2”這樣的多項式是不能分解因式的。為此，引進了實數運算后，涉及必須把“無理數”作為“新元”補充到原有結構中，才能使之具有嚴謹的實數體系。而就初中段學生的思維水平來說，無理數很抽象，只有借助數軸的形象功能（將2個面積為1的正方形，剪拼成面積為2的正方形，其邊長是無理數，可以用數軸上的點表示），才能顯化其內部數學算理，這就是數學實驗的理性價值。添加了“無理數”這一新元后，多項式x2-2就可以進行分解了，可分解為（x2+ ?2 ）（x2- ?2 ）。這種指向思想方法屬性的數學能力稱之為“新元添加連續性能力”。更為一般地說，在數學實驗使用概念范疇，站在知識銜接體系論層面，讓概念具有前后聯系、上下貫通、結構連續的功能特點，并借助“同化經驗結構”和“順應經驗結構”的實驗心理條件，將規則R應用于一個或多個實驗情境，最終實現概念的重組和遷移，落地關鍵能力培養的目標。

蘇聯學者亞歷山大·洛夫在《數學——它的內容、方法和意義》一書中，將數學的特點歸結為“三性”：高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性。這里可以把“邏輯性”解釋為數學概念的連續性，“廣泛性”解釋為添加新元數學的心理前提，而把“抽象表征產生式”轉化為數學經驗和擬經驗體系是數學實驗教學變革的關鍵。也就是說數學實驗教學的目標不止于累積基本活動經驗，更在于將抽象的思考轉化為人的關鍵能力，這才是數學實驗教學應有的價值定位。數學實驗教學中的“問題解決”“課題學習”“研究性學習”以及分析、綜合、評價等高階思維行為，都突出新元添加連續性能力的培養功能。事實上，從數學實驗的研究過程來看，“數學還具有形象性、似真性、擬經驗性、‘可證偽性的特點”[7] 。如何將這些非充分邏輯思考的實驗屬性轉化為可連續的理性的數學實驗精神，是當下數學實驗教學培養學科關鍵能力的一個思維抓手。為此，數學實驗教學必須做好三個方面的“思維轉向”工作：一是在同化、順應概念中使用概念，實現由非連續性思維轉向連續性思維的目標;二是在問題解決中突出添加新元能力培養的新型實驗教學目標;三是通過高階思維培養，實現由感性經驗層級轉向理性精神生長的目標，滲透通過數學實驗教學促進學生“必備品格”發展的育人思想。

不妨以“三角形中位線的‘使用解釋概念實驗塊”為數學實驗清樣，說明新元添加連續性能力培養的實體價值，不止于感性經驗的有序緩存，還在于新元添加能力目標的逐級實現，使得概念結構化、體系化和系統化，終于概念的“完形”把握與概念信息網絡化，包括同化概念和順應概念行為。具體新元添加思維活動線索如下：首先，定義組合矩形。通過折疊，原三角形恰好折成兩個重合的矩形，其中一個是內接矩形，另一個是拼合（指無縫無重疊）所成的矩形，我們稱這樣的兩個矩形為“組合矩形”;其次，讓學生任意剪一個三角形，并將這個三角形折成組合矩形，并說明折痕的特點;再次，讓學生畫一個三角形，使其能折成組合正方形，探討這樣的三角形必須具備什么條件，并說出為什么。最后，讓學生猜想一個四邊形要想折成組合矩形必須滿足什么條件，并說出為什么，如果組合正方形又必須滿足哪些條件，最終指向通過數學實驗促進學生高階思維發展目標的實現。

Lewis和Smith從心理學的視角對高層次思維的定義是：“高層次思維發生在，當個體需要將新知識和已有知識建立聯系，或者改變及拓展這些知識來達到一個復雜的認知目的或者在復雜的情境中發現可能的答案。”[8]毋庸置疑，折“組合矩形”本身是一種新元添加能力的外顯（這里把“新元”解釋為學習新概念的能力），具有新舊知識聯系的連續性特點，投射概念的同化與順應的結構化意義;折“組合正方形”是在改變拓展知識的一個具體表現，反映問題解決助推新元添加能力目標的實現;“考問四邊形折成組合矩形的條件”是在復雜情境中發現可能答案的一個可操作的例子，促進高階思維的發展和連續性新元能力目標的實現，進而促進新元能力背后的必備品格的發展（變換角度看問題）。換句話說，高層次思維能挑戰學生的解釋、分析和使用信息解決問題的關鍵能力，有助于學生扣好實驗認知的理性思維的扣子，反哺新元添加能力的實驗連續性。

另外，結構關聯相關性能力，屬于高階心理活動經驗，帶有結構性智慧特征，包括創新、決策和批判等審美意識，是復雜思維集合論的重要組成部分，涉及數學實驗的審美創造性，這里不予落細研究。習近平總書記2018年在北京大學師生座談會上的講話深刻論述了“培養什么人”的重大問題：“培養社會發展所需要的人，說具體了，就是培養社會發展、知識積累、文化傳承、國家存續、制度運行所要求的人。”這鮮明地指出了合格人才的政治價值尺度、道德價值力度、社會價值維度和個體價值向度。基于這樣的認識高度，數學實驗教學變革的關鍵集中指向兩個方面：一方面是數學實驗教學的目的不止于基本活動經驗的發展，還在于理性數學精神的建立;另一方面是數學實驗教學不止于發展直覺能力，還在于培養能力背后的數學品格（數學實驗情意信念、高層次思維心理的建立以及審美需要和自我實現需要等道德目標），終于通過數學教學實驗促進人的全面發展和健康發展目標的梯度實現。

參考文獻：

[1]徐利治.數學方法論十二講[M].大連：大連理工大學出版社， 2012：272.

[2]胡定榮.學生發展核心素養的發展觀及其教學變革[J].課程·教材·教法， 2017（10）：56.

[3]余建國.引導學生自然地習得數學概念[J].江蘇教育（中學教學）， 2018（3）：45.

[4]馬復.試論數學理解的兩種類型——從R.斯根普的工作談起[J].數學教育學報， 2001，10（3）：50.

[5]鄭毓信.簡論數學課程改革的活動化、個性化、生活化取向[J].教育研究， 2003（6）：90.

[6]陳重穆，宋乃慶.義務教育中的數學——大眾數學——兼論義務教育《初中數學》教學大綱[J].川北教育學院學報（自然科學版）， 1995，5（4）：2.

[7]章建躍，張翼.對數學本質特征的若干認識[J].數學通報， 2001（6）：5.

[8]常磊.國內外高層次（數學）思維研究述評[J].數學教育學報， 2016（5）：10.

[9]習近平.習近平在北京大學師生座談會上的講話（2018年5月2日）[N].人民日報， 2018-05-03（02）.

責任編輯：丁偉紅

Research on the Reform of Mathematics Experimental Education

Based on the Cultivation of “Key Ability”

SUN Chaoren

（Suzhou Institute of Education Science， Suzhou 215004， China）

Abstract： In the mathematical experiment education research categories， “key ability” includes generalization ability of characteristic separation; relationship qualitative characterization ability， ability to add continuity and associated correlation structure rational quality. Through changing mathematics experiment behavior target， to cultivate students “key ability”， it contributes to the formation of students' all-round development and essential character..

Key words： mathematical experiment; key ability; teaching reform; lesson study

本文系江蘇省教育科學“十三五”規劃2020年度重點課題“初中數學實驗教學支持系統的構建研究”（B-a/2020/02/42）階段性成果。

收稿日期：2020-03-24

作者簡介：孫朝仁，蘇州市教育科學研究院（江蘇蘇州，215004）科研員。