以創新訓練為導向的常微分方程的教學初探

[摘 要] 構建優質高效的課堂是每位教師積極追求的目標。在課堂教學中滲透科學研究的思想和方法，充分挖掘教材的內涵，拓展學生的思維，引導學生積極參與教師的科研工作，積極嘗試以創新訓練為導向的常微分方程的課堂教學改革。

[關鍵詞] 常微分方程;課堂教學;創新訓練

[基金項目] 溫州大學校級教學改革項目（16jg33）

[作者簡介] 郭正光（1980—），男，湖北黃岡人，理學博士，副教授，碩士生導師，主要從事流體力學方程組的數學理論研究。

[中圖分類號] G642.0 ? ?[文獻標識碼] A ? ?[文章編號] 1674-9324（2020）36-0270-02 ? ?[收稿日期] 2019-10-25

常微分方程是分析數學的范疇，它建立在數學分析和高等代數的知識體系之上，又是微分幾何、泛函分析和數理方程等后續課程的基礎，是數學與應用數學專業本科生的主干課程之一，在數學專業人才培養方面起著重要的作用。本文以大學生創新訓練為突破口，積極探索常微分方程的課堂教學改革，本著立足課堂，拓寬教材，激發興趣，積極引導學生參與創新訓練的教學理念，逐步提高教學質量和完善人才培養體系。

課堂教學改革的重要性和必要性不言而喻。關于常微分方程課堂教學的改革方案也有一些豐富的成果，如蔣桂鳳[1]教授就談到，常微分方程課堂的趣味化教學法，在課堂教學中引入數學家的故事，引導學生樹立正確的價值觀;把不同類型的微分方程對應生活中的小故事，激發學生的學習興趣以及組織學生進行案例研討，有效提高學生解決實際問題的能力。周霞[2]等認為，基于“雨課堂”的教學可以激發學生學習的興趣和自主性，打破師生互動“時空”限制，實現師生互動“不下線”，做到精準教學，提升課程教學效果。蒲武軍[3]建議融入數學文化，提高學生數學修養。歐乾忠[4]則強調在常微分方程的教學中融入數學建模的思想方法，配合數學典型模型，有利于激發學生的學習興趣，提高學生解決實際問題的能力，培養其創新能力和科研能力，從而使學生的綜合素質得到提高。杜波[5]利用翻轉課堂技術，顛覆傳統的課堂教學模式，通過現代傳媒技術使學生在課前完成課程內容的學習，將疑難問題再通過課堂教學來解決。胡良根等[6]以常微分方程課程中解的存在唯一性定理為例，探討“融合背景、剖析思想、延伸課堂、應用分析”為設計理念，培養學生分析問題、解決問題和科研創新的能力。本文主要探討如何從教材和學生的學習實際著手，通過充分挖掘教材的內涵，設置科學合理的問題，課堂教學時積極引導學生關注數學的發展，科研反哺教學，不斷激發學生的學習興趣和科研熱情。

一、 立足課堂，緊扣教材

課堂教學是教師向學生傳授知識的一個最直接的途徑，教師和學生都要充分利用好有限的課堂學習時間和交流的機會，積極創造豐富活躍的課堂氛圍，讓學生真正喜歡該門課程的課堂氣氛，從而有更強的獲得感。以常微分方程的課堂為例，教師一般會關注向學生傳授方程或者方程組的解法，這也是該門課程學習的基本要求，學生需要熟練掌握一些特殊類型方程的初等解法，我們發現大部分的教材均對此用很大的篇幅給出具體的求解方法，作者所在單位選用的是東北師范大學微分方程教研室編寫的常微分方程的教材[7]。教材從基本概念入手，介紹了可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程、全微分方程、一階隱式方程、可降解的高階方程、一階微分方程組、二階常系數線性非齊次方程等的求解方法，這樣走來步步深入，先給出必要的預備理論知識，然后著重介紹方程的解法，學生在教師的指導下按照這個思路去學習和思考，對于解常見的微分方程而言一般會有不錯的收獲。

二、拓展教材，設置問題

教材中大部分習題基礎性較強，若教師仔細去挖掘一定會發現一些開放性或者相對有難度的問題，教師需要在此處進行適當拓展，既源于教材又要高于教材的要求，激發學生學習的興趣和科學探索的精神。很多時候，學生學習的主動性首先取決于對所學課程的濃厚興趣，當然這是建立在對這門課程的內容與性質充分了解的基礎上，因此教師應充分向學生說明常微分方程的重要性以激發學生的學習興趣。教師要介紹常微分方程課程與其他學科聯系和作用，常微分方程課程是解決實際問題的重要工具，可以通過具體的實例闡釋這門課程的實際應用性，如某些年份的全國數學建模競賽中的常微分方程問題，微分方程研究的最新進展以及一些公開的與方程緊密相連的數學問題等。課堂上鼓勵學生提問題，從學生的疑問中找問題，精心設計問題讓學生回答，課后安排一定的時間讓學生參與討論。在習題的設置上注意滲透數學建模的思想，讓學生通過做數學題、思考數學問題來獲得數學學習的成就感。本人的具體做法是在講授一階常微分方程的應用時，除了提供教材中給定的問題，同時還進行拓展。從馬爾薩斯人口模型講到Logistic模型，通過模型的建立、求解、驗證、比較等過程讓學生掌握建模的基本步驟，更重要的是對模型解的深入思考與評價，通過比較獲得不同的體驗，挖掘深層次的問題，比如生物數學中的傳染病模型，循序漸進引導學生積極思考，而這些問題的求解都在學生的能力范圍之內，教師只需要提供適當的幫助即可，最終讓學生思考這些數學模型背后的實際現象，通過模型的求解獲得對該實際現象的理解與認知，比如在研究傳染病模型時，學生對模型的理解要聯系疾病控制領域關于某一特定空間區域傳染病疫情暴發的預測與有效防控。

三、科研反哺教學

教師在課堂教學中可以向學生傳遞最新的科研動向，將最新的科研成果以通俗易懂的方式傳達給學生，在拉近學生與教師距離的同時激發學生將來投身科學研究的熱情。本人在講授常微分方程這門課程的過程中，成功立項了兩項學校的本科生科研創新課題。其一是用積分因子求解常微分方程的問題，教材中給出的辦法有限制，很多方程并不能直接套用教材中的公式去解決。于是，我讓幾個感興趣的同學組成一個科研合作小組，充分調動學生學習的積極性，并有意識培養學生的互助協作精神，目的是讓他們在課堂學習之余，主動提升自己各方面的能力，在學習中研究，在研究中學習，讓數學學習成為一種積極的享受。其二是關于二階變系數常微分方程的求解問題，教材中沒有現成的公式，只對于一些特殊形式的方程告訴大家可以找到通解。我讓另外三個同學組成一個小組，具體探討二階變系數常微分方程的求解策略及其在求變分極值問題中的應用。此課題實際上來自我本人研究一類非線性淺水波問題時需要解決變分問題的最佳常數衍變出來的，我盡量提煉出結合學生學習實際的問題，避開那些看上去很復雜的背景（畢竟學生了解的很有限），以一個小課題的形式展現出來。這組同學通過查閱文獻，積極討論，挖掘與所學知識之間的聯系，最終撰寫出一篇小論文，很好地完成了課題任務，課題組的一名同學在畢業時還順利考上了研究生，他感嘆得益于我給他們提供的研究課題，激發了他繼續攻讀研究生的熱情。

參考文獻

[1]蔣桂鳳.常微分方程課堂的趣味化教學法[J].臺州學院學報，（2018）40：81-83+89.

[2]周霞，張克磊，劉期懷.基于“雨課堂”的“常微分方程”課程教學改革與實踐[J].教育現代化，2018，49：131-135.

[3]蒲武軍，高等師范院校常微分方程教學改革的探索與實踐[J].齊齊哈爾師范高等專科學校學報，2018，（6）：105-107.

[4]歐乾忠.在常微分方程教學中融入數學建模思想探析[J].賀州學院學報，2012（4）：139-141.

[5]杜波，翻轉課堂及其在常微分教學中的應用[J].陰山學刊，2018（32）：152-153.

[6]甘怡清，胡良根.以科研創新為導向的常微分方程教學設計[J].大學數學，2018（34）：123-126.

[7]東北師范大學微分方程教研室編.常微分方程[M].第二版.北京：高等教育出版社，2005.