基于“證據”：提升數學思維的“能見度”

王江

（江蘇省南京市北京東路小學陽光分校，210042）

摘要：基于“證據”的教學有以下特點：讓學生的思維留下痕跡，讓教學過程的優化有“證據”，讓每一位學生都發展。基于“證據”的教學是教學設計優化的重要依據，是教學“減負增效”的新路徑，是課堂深度變革的新載體?；凇白C據”的數學教學，更加強調“真實的學習”，一般包含收集“證據”、分享“證據”、關聯“證據”、補充“證據”四個步驟。

關鍵詞：證據小學數學可視化思維進階學力提升

一、概念明晰：什么是基于“證據”的教學

與傳統的“經驗主導型”教學不同，基于“證據”的教學不再“憑經驗”，而更加強調“循證據”，即通過多種方式，如課堂前測、小型訪談、作業批改、作品研讀等，盡可能利用事實性材料展現學生思維的過程，讓學生思維的過程顯性化、可視化。在此基礎上，教師可以準確把握解學生的真實學情，從而確定更加合理、有效的教學決策。它通常有以下一些特點：

（一）讓學生的思維留下痕跡

在傳統課堂教學中，教師往往憑借已有的經驗，對學生的學習情況進行一定的預設，再按照教材的編排順序按部就班地展開教學，教學決策往往會出現偏差。基于“證據”的教學，需要教師引導學生通過寫一寫、說一說、畫一畫、做一做等多種方式，盡可能原生態地呈現思維的過程，使得原來隱性的思維過程可視化。這些都有利于教師準確捕捉學生的學習起點，有針對性地展開教學。這樣的課堂，就從原先的關注“教學進度”走向了關注“學生學習”。

（二）讓教學過程的優化有“證據”

基于“證據”的教學，重在“分析”和“調整”。它主要表現在：教師在課前通過前測、問卷等方法獲得數據，分析得到班級的真實學情，然后優化原有的教學過程;又或者是教師在課上充分展示學生不同的想法，通過傾聽、觀察，收集學生思維留下的痕跡，做出判斷、分析，從而在較短的時間內進行調整，通過關鍵性的追問引導學生向思維更深處漫溯，朝著學科本質發展。

（三）讓每一個學生都發展

基于“證據”的教學，需要教師通過課堂觀察、學材呈現等方法，鼓勵學生個性化地表達自己的思考過程，從而真實呈現不同層次學生的學情，并在交流碰撞中，深化對數學知識內容的理解。在某種意義上，過去在傳統課堂中處于“游離狀態”的學生由此逐漸參與到學習過程中來，進而實現“不同層次的學生都能得到相應的發展”這一目標。

綜上，基于“證據”的教學，強調讓前測、訪談、數據等事實性材料“說話”，遠離傳統的成見、固守的教條、主觀的猜測和慣用的經驗;強調充分暴露學生的思維過程，從中獲得盡可能準確的信息，從而讓學生和學習“真實相遇”，讓學習真實發生。

二、價值追尋：為什么教學要基于“證據”

基于“證據”的教學，有著重要的意義。

（一）它是教學設計優化的重要依據

“證據”，體現了學生學習的已有起點，是學生學習現實基礎的真實寫照?！白C據”的分析，應當是教學設計的有機組成部分。它能為課堂教學組織提供可靠的“證據”，有助于教師基于學生的知識基礎、認知難點和可能存在的各種困惑設計出以學生為中心的教學活動，讓學生的學習真實發生。

（二）它是教學“減負增效”的新路徑

許多教師感到困惑的現象是“我講了這么多遍，學生似乎聽明白了，可過后依然出錯”。究其原因，教師并沒有看見學生真實的思維歷程。收集“證據”這個環節的缺失，導致了教學的低效甚至無效。基于“證據”的教學，可以避免由于教師的主觀判斷與學生的客觀現實存在差距，而導致教學低效甚至無效的情況發生。從這個意義上說，基于“證據”的教學是教學“減負增效”的新路徑。

（三）它是課堂深度變革的新載體

基于“證據”的教學，追求課堂中每一位學生的“真學習”。它要求教師做到：

收集證據：不盲目依賴“主觀經驗”，而收集學生的“學習證據”。

精準分析：“證據”背后的潛在問題到底是什么？

有效引導：改變這樣的狀況，需要如何引導學生？

調整反思：怎樣的教學行為才能實現有效的學習引導？

這個過程，真正體現了學生自主建構知識的學習過程，能幫助學生在已有起點的基礎上進行信息加工，讓整個學習過程“看得見”。這個過程，提供了研究“讓學習真正發生”的途徑，使我們更清楚怎樣教、為什么這樣教。

三、實踐詮釋：如何基于“證據”，提升數學思維的“能見度”

數學課堂教學中，我們究竟該如何基于“證據”，提升數學思維的“能見度”呢？收集“證據”—分享“證據”—關聯“證據”—補充“證據”，這樣的教學步驟，或許可以成為每位教師教學探索的一種嘗試。

（一）收集“證據”，讓每一次學習都留痕

在收集“證據”的過程中，教師特別要關注全體學生，讓不同思維層次的學生都有思維留痕的機會。

1.整體建構，設計有挑戰的問題。

好的問題，固然要指向教學目標和內容本質，但更重要的是呈現出開放的態勢，盡量滿足不同層次、不同風格學生的個性化需求，呈現出適度的挑戰性，給每一位學生的創造性學習預留空間。如此，所有的學生都能夠原生態地暴露自己的真實起點，面對同一個問題形成多樣化的、鮮活的理解。

《小數的意義》一課，教師這樣設計問題：

【材料1】老師給大家帶來了一個正方形（見下頁圖1），如果把這個正方形看作“1”，在這幅圖中表示0.2，大家都沒有問題，那表示0.23呢？如果要涂色表示，你該怎么辦？想一想：怎么涂才能讓大家一眼看出你表示的就是0.23？

圖1

【材料2】這是一條數軸（見圖2），我們把0-1這一段看作“1”，同樣，0.2我們已經看到了，那0.23又在哪兒呢？你能不能想辦法找到0.23的位置？想一想：怎么畫能讓我們一眼看出你找的這個位置就是0.23？

圖2

這樣的問題給學生的思維留足了空間，不同層次的學生會有不同水平的理解和認知。各種不同的見解將在課堂內相互碰撞，教師要做的就是，在學生真實的學習起點上，引導他們完成新知的主動建構。

2.關注差異，提供可操作的工具。

教師在收集“證據”的過程中，應當把學生的差異和潛在的可能充分地考慮進去，創設各種機會，提供可操作的工具，促進學生的發展最大化。

《一一間隔》一課，探究數量關系環節，教師考慮到三個不同層次的學生，提供了三個選項（見圖3）。

圖3

其中，對于思考有困難的學生，教師提供了一個“小錦囊”，給予了一些提示，讓他們也能參與到數學活動中來?！靶″\囊”里面不是“答案”，而是一張方便學生統計的表格。其中的研究任務更加清晰：“選擇一行研究，數一數△和○各有幾個，填入表格中;比一比△和○的個數，你有什么發現？”這樣，不同層次的學生都能參與自主探究，留下思維痕跡。

通常，班級里也有一些學生自覺性不夠，敷衍地對待教師提前布置的研究任務。這導致學生很難有真體驗、真學習。如何讓這部分學生也參與學習，并獲得思維留痕的機會呢？

《認識千米》一課中，“1千米”的真實體驗無疑對表象的清晰建立至關重要。教師用“打卡制”，即讓學生在“高德地圖”導航軟件的幫助下走大約1千米，并且截圖打卡，“倒逼”每一位學生真正地參與數學體驗。有了1千米行走的打卡體驗，學生的后續感覺特別好，很快能判斷出：“操場1圈肯定沒有1千米”“坐在公交車上過南京長江大橋要好一會呢，它肯定比1千米長得多”。這樣，教師就真實看到了學生的思維痕跡，也有效地實現了“關注每一個”的目標。

此外，小問卷、小調查、小訪談、小探究等小工具，都是讓每一位學生思維留下痕跡的有效方式。在實際教學中，教師可以靈活運用。

（二）分享“證據”：讓每一種思維被看見

在分享“證據”的過程中，教師要特別注意讓不同思維層次的學生都有思維展示的機會。

1.多維展示，營造有層次的交流。

分享“證據”時，教師應該考慮形式和方法。本著“人人有機會，‘學困生優先”的原則，努力卷入全體學生，個個交流、積極交流、深度交流。營造有層次的交流，通?？梢园凑者@樣的原則：

（1）從“小組”到“全班”。

小組學生少，可以確保每人都有發言的機會;此外，學生在小組內分享自己的研究成果，在其他成員的幫助下及時補充或者修正，在某種意義上已經完成了一次思維的進階。教師應該把這樣的進階通過追問的形式在課堂上呈現出來，因為它們實際上是非常寶貴的教學資源。

（2）從“學困生”到“優秀生”。

分享“證據”時，理想的狀況應該是：先分享思維層次較低的，再分享思維層次高的。這樣層層遞進的討論，從不全面到全面，更加符合兒童的認知規律，也能確保不同層次、不同風格的思維痕跡都被看見，并讓學生經歷更充分的學習過程。教師在引導評價時，應當引導學生先肯定每種方法的優點，再善意提醒，不要全盤否定，從而呵護“學困生”的自信心。

（3）有“集體”也有“個人”。

分享“證據”時，可以由某個學生單獨介紹，再和全班互動;也可以由某個小組一起介紹，再和全班互動。這需要教師視分享“證據”的難度而定。

2.伙伴互助，展開有建構的對話。

分享“證據”時，為了更加清楚地看見學生的思維過程，教師通常需要引發學生之間的有效對話。這種對話通常意味著集體參與，意味著互相建構。

特級教師張齊華執教《圖形中的秘密》一課，提出問題：把一塊長方形玻璃摔成兩塊，每一塊都能還原出原來的長方形玻璃嗎？這個問題直擊學生認知的模糊處、疑難點，這樣的問題是引發學生辯論的必備條件。接著，張老師在交代清楚辯論要求后，便放手讓學生充分進行思維碰撞。張老師甚至在學生發生激烈爭辯時悄悄“隱身”了：他和下面的學生坐在一起共同傾聽。教師及時“隱身”，學生便將注意力放在辯論的小伙伴身上。這實現了學生之間平等的對話，使學生的思維都得以清晰呈現。

深入剖析學生互動的情形，不難看出學生之間的互動通常是以下幾種：

提問：對方沒有講明白;

補充：對方沒有講完整;

質疑：對方觀點有漏洞;

辯論：對方觀點模棱兩可;

反駁：對方觀點錯誤;

評價：對方觀點有無價值。

教師應當嘗試把這幾種機制有機鑲嵌在課堂中。在對方沒有講清楚時，可以引導學生提示：“你能再說得具體一些嗎？”在對方沒有講完整時，可以引導學生提示：“我對你還有一個補充！”在對方講得特別好時，可以引導學生評價：“剛才他借助畫圖和手勢，表達起來很清晰?！遍L此以往，課堂自然會出現學生“霸占”講臺，不斷和身邊的伙伴進行互動的場景。

生生之間的互動，可以有效地把學生的思考過程呈現出來，這也是教師在教學中尋找“證據”的有效方式。

（三）關聯“證據”，讓思維進階有路徑

“證據”分享結束后，雖然學生的思維有進階，但通常還停留在零碎、模糊、膚淺的水平。此時，教師就要關注不同“證據”之間的聯系，在“證據”與“證據”之間尋找連接點。這種關聯，可以幫助學生整理知識，讓模糊的知識變得清晰，讓膚淺的知識變得深刻，讓零碎的知識變得結構化。

1.關鍵提問，引導有進階的對話。

“證據”的關聯是教師主導下學生思維進階的一次活動。基于“證據”的教師指導更是能有效提升學生的思維品格，促進知識的遷移與應用。

（1）幫助學生“織網”。

教師嘗試把加法交換律、乘法交換律放在一起教學。通過反例成功引導學生清晰認識到3-3=0、4-4=0、5÷5=1等算式不是“減法交換律”“除法交換律”后，一位學生提出：“除法、減法也有交換律，并且適合所有情況。”隨后，他出示圖4。這個觀點，贏得了諸多學生的認可。

圖4

隨后，教師引導——

師仔細看這兩道算式（手指第二組算式的2、8），它和哪一道乘法算式密切相關？

生是乘法算式2×8=16。2和8可以調換，就是因為2×8=16??！本質上就是乘法交換律。

（全班鼓掌。）

課前，學生通過研究單的學習，獲得的知識是“點狀”的。課上，在與同伴分享“證據”的過程中，學生可能形成“塊狀”的知識。這里，教師根據“證據”之間的關聯精準提問，給學生提供思維進階的路徑，幫助學生把碎片化的知識變得結構化，把知識編織成“網狀”的。網狀的知識結構，利于理解、利于內化、利于遷移。

（2）引領學生“登高”。

“證據”關聯的形式是多樣的，可以是錯誤與正確的關聯，也可以是數與形的關聯，還可以是“同中求異”或“異中求同”的關聯。在這樣的關聯中，要引領學生“登高”，讓學生的思維一次次地進階。

一節拓展課上，教師出示圖5，提出問題：“咦？同樣是這幾塊圖形拼擺，怎么會少掉一塊呢？”

圖5

學生充分探索后，教師提供揭秘的一種路徑：“紅色（大的）三角形2條直角邊的比值是38，綠色（小的）三角形2條直角邊的比值是25。將來同學們會知道，38和25可以表示這2個三角形斜邊的傾斜程度。如果比值相等，說明傾斜程度一樣，拼起來的大直角三角形的斜邊就是一條直直的線段。但是，同學們都知道，38和25并不相等。這意味著什么？這就意味著大直角三角形的斜邊并不是一條直直的線段，也就是說，同學們看到的這個大直角三角形其實根本就不是真正的直角三角形……”

最終，教師通過數與形的關聯，借助“數”更好地研究了“形”，把“形缺數時難入微”的意識留在了學生心中，讓學生的思維向高階發展。

2.有效回顧，提供有進階的感悟。

課堂上，教師可以關注思維顯著進階的學生，設置教學環節，引導這部分學生回顧反思，說說自己“原證據”和“現證據”對比后的感悟。通過這樣的關聯，讓他們的學習歷程在課堂上亮相，讓學習歷程、思維進階留下更深的痕跡。

《小數的意義》一課，教師設置了這樣的環節：

師同學們，帶著我們剛才的收獲，回頭再來看看我們的學習材料二數軸圖，你若覺得已經非常清楚地表達出了0.23，請舉手;若覺得有些小問題、小瑕疵，還需要再調整，也舉手給老師看一下。

（學生舉手。）

師真好！說明同學們在剛才的學習過程中已經發生了變化，你們對小數的認識又往前邁出了一步。覺得需要修改的，拿出紅筆，看看怎么改;覺得不需要改的，輕聲說一說，為什么你表示的就是0.23。

（學生活動。）

師都調整好了嗎？有沒有哪個同學覺得自己之前的作品不是很好，通過調整，現在的0.23特別清晰的？

（學生展示。）

課始，拋出“在正方形中表示出0.23”這個問題后，教師把“數軸圖上找0.23”及時調整為問題研究后的即時評價，讓學生進行一次調整。于是，教師有意識地提醒學生“拿出紅筆，看看怎么改”。這就為后續新舊“證據”的關聯留下了更鮮明的學習痕跡。在教師的提示下，學生可能說出“我原來是這樣想的……通過剛才學習，我覺得這里不對……所以，我這樣修改……”（學生作品改動如圖6所示）。教師用這樣真實的學習歷程感悟，讓“0.23就是100等份中的23份，也就是23100”這一知識形成過程留下了更深的痕跡，從而啟發更多的學生。

圖6

關聯“證據”，是分享“證據”的延伸與提升，旨在通過建立“證據”之間的聯系，讓不同思維層次的學生都有思維進階的可能。當然，這對教師的專業素養提出了更高的要求。它要求教師在學生表達和交流時，基于“證據”，準確研判：學生懂了嗎？學生的困難究竟在哪里？知識的實質是什么？所學的知識在“知識網”中處于怎樣的地位？……只有基于真實的“證據”，準確把脈，才能實現學生思維真正的進階。

（四）補充“證據”，讓學力提升有空間

學生“先學”留下思維痕跡;教師引領學生“織網”，夯實知識的基礎;教師又繼續引領學生“登高”，實現思維的進階。補充“證據”這一步驟，重在讓不同思維層次的學生都有學力生長的空間。

教師可以設置“好題推介”這樣的環節，也可以設置“友情提醒”“我的疑惑”等環節，從而補充更為豐富的“證據”，促進不同思維層次學生的共同發展。在這個過程中，教師也扮演著至關重要的角色。如：學生準備的好題在何時展示？這些好題展示的順序怎么安排？這些都需要教師相機而行。

當然，教師也應當適時補充“證據”，如相關的數學史料、人文故事，指向學生素養的練習題等，讓學生的學習走向深度。

《小數的意義》一課的末尾，教師這樣設置練習：

師（出示圖7）這是我們熟悉的計數器，在這個計數器上表示整數是沒有問題的，那如果要表示0.23，可以嗎？會不會遇到困難？如果真的遇到困難，提醒你：對這個計數器，你可以調整、修改，做出一些改變。總之，想辦法表示出0.23。

（學生獨立思考，師生對話。）

師看來，我們以前學過的個位、十位、百位不夠用了，我們需要有一些新的數位。后面，我們會再深入學習。

教師補充的“證據”，引發了學生“數位不夠用”的認知沖突。這個過程，也涉及十進制思想、位值制思想的感悟。這些學習歷程都會對學生未來的學習產生重要影響，為學生學習力的提升蓄力。

基于“證據”的數學教學，通過師生有意識、有目的地收集“證據”、分享“證據”、關聯“證據”、補充“證據”，讓每一位學生在學習過程中留下學習痕跡，逐步清晰認識，實現思維進階，最終提升學力?；凇白C據”的數學教學，并不意味著把原來的教學推倒重來，而是原有教學基礎上的一種繼承與創新，更加強調“真實的學習”。事實上，這樣的教學更加契合我們所追求的“深度學習”。因為，學習“真實”了，數學素養才會落地，深度學習才會真正發生！

參考文獻：

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