數(shù)學(xué)，教給學(xué)生最本質(zhì)的東西

王夢(mèng)茜

著名數(shù)學(xué)家陳省身曾說(shuō)：“我們欣賞數(shù)學(xué)，我們需要數(shù)學(xué)。”

新的歷史階段，學(xué)校數(shù)學(xué)教育逐漸轉(zhuǎn)向培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，更為注重培養(yǎng)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)的能力、思維與思想。而面對(duì)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育唯分?jǐn)?shù)論的現(xiàn)狀，如何讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)之美，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)對(duì)于個(gè)人及社會(huì)的意義？如何讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維去思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言去表達(dá)世界？一線數(shù)學(xué)教師肩負(fù)著挑戰(zhàn)與希望。

數(shù)學(xué)之美與數(shù)學(xué)之理

于丹是大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第八高級(jí)中學(xué)的一名數(shù)學(xué)教師，在東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系浸潤(rùn)了4年，執(zhí)教數(shù)學(xué)學(xué)科20年，于她而言，數(shù)學(xué)之美多姿多彩、千姿百態(tài)，流露于生活的點(diǎn)滴中。從小時(shí)候背古詩(shī)詞開(kāi)始，她便在字里行間體會(huì)到屬于數(shù)學(xué)的韻律之美。如耳熟能詳?shù)摹渡酱逶亼选罚骸耙蝗ザ铮瑹煷逅奈寮摇Ｍづ_(tái)六七座，八九十枝花。”又如《臨水照花》中唱道：“一場(chǎng)緣，兩心定三生，四年離散;五更天，六曲動(dòng)七弦，八夜無(wú)眠;九連環(huán)，十里皆望穿，百年心寒;千般念，萬(wàn)般只無(wú)奈，醉眼冷看。”最妙的要數(shù)明代詩(shī)人倫文敘為蘇軾的畫(huà)《百鳥(niǎo)歸巢》所題的詩(shī)：“天生一只又一只，三四五六七八只。鳳凰何少鳥(niǎo)何多，啄盡人間千萬(wàn)石。”“‘一只又一只加起來(lái)是2只，‘三四相乘得12，‘五六相乘得30，‘七八相乘得56。把2、12、30、56加起來(lái)，總數(shù)恰好為100只，與畫(huà)題相和。而2、12、30、56又是個(gè)二階等差數(shù)列，可見(jiàn)詩(shī)人的數(shù)學(xué)功底，把數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)得淋漓盡致。” 于丹不禁感慨道。

一位好的數(shù)學(xué)教師應(yīng)是熱愛(ài)數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)的，如此學(xué)生受教師激情的感染，或許能夠被激發(fā)興趣與情感，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力。提及數(shù)學(xué)的美，于丹娓娓而談。“數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在其優(yōu)美的曲線與空間圖形上，如正余弦函數(shù)圖像，既有軸對(duì)稱(chēng)又有中心對(duì)稱(chēng)，還具備周期性;數(shù)學(xué)的美體現(xiàn)在公式、符號(hào)與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C上，從方法到理論無(wú)一不美。楊輝三角的形式之美、數(shù)列中的規(guī)律之美、微積分的無(wú)限之美，還有數(shù)學(xué)家笛卡爾和瑞典公主克里斯汀的愛(ài)情傳說(shuō)中那一著名方程所表示的‘心形線;同時(shí)數(shù)學(xué)的美還體現(xiàn)在它是其他學(xué)科的基礎(chǔ)，就如馬克思所說(shuō)——一門(mén)科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完善的地步。”

讓學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)，除了展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，教師更要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)之理。而理往往需要用生活的語(yǔ)言來(lái)闡釋。在課堂的導(dǎo)入部分，于丹習(xí)慣設(shè)置一些生活中的情境，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)講得通俗易懂。例如：講概率時(shí)，她會(huì)設(shè)置讓學(xué)生通過(guò)抓鬮決定誰(shuí)先回答問(wèn)題的情境，讓學(xué)生積極參與進(jìn)來(lái)，并提出問(wèn)題“先抓后抓的概率是否一樣”;講圓錐曲線時(shí)，她讓學(xué)生先看衛(wèi)星運(yùn)行的視頻，觀察衛(wèi)星軌道的形狀;講排列組合時(shí)，她拿出一張只有五個(gè)相鄰省份的地圖和四種顏色的筆，讓學(xué)生思考“如果相鄰省份不能涂相同顏色，一共有多少種涂法”。“當(dāng)學(xué)生的興趣被激發(fā)后，教師要與學(xué)生一起探索數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生與發(fā)展過(guò)程，把數(shù)學(xué)知識(shí)最本質(zhì)的東西教給學(xué)生，讓學(xué)生知其所以然，才有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而弄懂?dāng)?shù)學(xué)的理。”

數(shù)學(xué)的“無(wú)用”與“有用”

PISA（國(guó)際學(xué)生評(píng)估項(xiàng)目）關(guān)于數(shù)學(xué)能力的測(cè)試中，最重視學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)推理來(lái)解決問(wèn)題的能力。其對(duì)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的精確描述是：“一個(gè)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，能認(rèn)識(shí)和理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中所起的作用，能利用數(shù)學(xué)作出有根據(jù)的判斷和決策，是一個(gè)具有建設(shè)性、參與意識(shí)和反思能力的公民。”而現(xiàn)實(shí)中很多學(xué)生覺(jué)得除了考試，學(xué)數(shù)學(xué)似乎并沒(méi)有什么用。諸如“去菜市場(chǎng)買(mǎi)菜難道還要用函數(shù)來(lái)求價(jià)格”等言論反映出大眾對(duì)數(shù)學(xué)長(zhǎng)期存在的刻板印象。在于丹看來(lái)，這種認(rèn)識(shí)是極為狹隘的。

作為一門(mén)基礎(chǔ)科學(xué)，數(shù)學(xué)是眾多學(xué)科的根基，是了解世界和研究世界最主要的途徑。“數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用涉及方方面面、各行各業(yè)，無(wú)論對(duì)于個(gè)人還是社會(huì)都意義非凡。”于丹經(jīng)常向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是為了在實(shí)際生活中更好地應(yīng)用，因?yàn)閿?shù)學(xué)問(wèn)題都來(lái)源于生活。日常生活需要用到計(jì)數(shù);數(shù)學(xué)的統(tǒng)籌規(guī)劃能夠讓人們合理安排時(shí)間，節(jié)約成本;房屋貸款、股票、彩票、隨處可見(jiàn)的問(wèn)卷調(diào)查用到了數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)概率知識(shí);計(jì)算機(jī)、金融、建筑設(shè)計(jì)、衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)……都以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)。

今年疫情期間，大連市開(kāi)展全員核酸檢測(cè)，于丹領(lǐng)著學(xué)生去當(dāng)志愿者。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，工作人員在檢測(cè)中將5個(gè)人的樣本放在一起進(jìn)行檢測(cè)，十分不解。于丹告訴學(xué)生，5人樣本放在一起檢測(cè)最快也最節(jié)約成本，這是用統(tǒng)計(jì)概率知識(shí)算出的結(jié)果。“當(dāng)5人樣本檢測(cè)結(jié)果為陰性，那么5個(gè)人則都為陰性;如果5人樣本檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，就把5人分成兩部分，一部分2人，一部分3人，再繼續(xù)檢測(cè)……因?yàn)榛疾∪藬?shù)是個(gè)隨機(jī)變量，我們通過(guò)數(shù)學(xué)方法分別計(jì)算6人、7人、8人等一組需要檢測(cè)次數(shù)的平均值，最后得出5人一組的檢測(cè)方法所用次數(shù)的期望值最小。”在生活中運(yùn)用知識(shí)、在課堂上聯(lián)系生活，這是于丹的教學(xué)習(xí)慣，也是她努力傳遞給學(xué)生的一種學(xué)習(xí)方向。

“我們需要數(shù)學(xué)，不僅因?yàn)閿?shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中所起的作用，也因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)所培養(yǎng)出的數(shù)學(xué)思維會(huì)影響個(gè)體對(duì)許多問(wèn)題的思考與判斷，這種影響是深刻而長(zhǎng)遠(yuǎn)的。”于丹總結(jié)道。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的“靈魂”

從事數(shù)學(xué)教學(xué)20年，于丹遇到過(guò)許多被數(shù)學(xué)困擾的學(xué)生，他們拼命刷題卻總是學(xué)不明白。隨著作業(yè)幫、小猿搜題等App日漸成為學(xué)生的必備工具，學(xué)生刷題的效率越來(lái)越高，但再遇到同種類(lèi)型的題目，他們依舊不會(huì)。“因?yàn)樗麄兒苌偃ハ霝槭裁矗瑳](méi)有思考題與題之間的聯(lián)系，有些孩子在家寫(xiě)作業(yè)時(shí)，甚至連題都沒(méi)讀完，就去搜答案。”

于丹認(rèn)為，這些孩子是憑直覺(jué)和記憶在學(xué)習(xí)，即使記住了數(shù)學(xué)知識(shí)，仍無(wú)法建立數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最重要的途徑。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱明確指出，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是指數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想方法。

“在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們?cè)谡n堂上教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)更要把數(shù)學(xué)思想滲透到教學(xué)中去。但目前重知識(shí)輕思想方法的現(xiàn)象普遍存在。”于丹強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)思想方法對(duì)提高學(xué)生思維能力、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)有著重要作用。