讓學生學會如何思考
——“全景式數(shù)學”思考方法的課程建設(shè)和教學設(shè)計樣本（應(yīng)用題）

張宏偉（特級教師）

“思考方法的課程建設(shè)和教學設(shè)計”是全景式數(shù)學教育的核心工作之一。全景式數(shù)學教育認為：“思考的一般方法和流程的專項學習”是培養(yǎng)學生數(shù)學思考力特別重要的內(nèi)容和路徑！

教學中，教師發(fā)現(xiàn)學生在解決問題中出現(xiàn)問題時，往往會這樣提醒學生“多動腦想想、好好想想！用心想、認真想、努力想……”但是，我們可曾想過：幾乎沒有學生不是用心去想、努力去想的，問題是學生根本不知道怎么去想！很多學生并不知道思考從哪里啟動、往哪個方向、按照哪個路線、怎樣一步步地想下去……也就是說，教學中，我們可能并沒有讓學生習得系統(tǒng)的、明確的、基礎(chǔ)的、具體的、一般的思考方法、步驟和流程，我們很少引導(dǎo)學生去“思考自己如何思考”。本文是一節(jié)通過應(yīng)用題的教學引導(dǎo)學生明確如何去一步步思考應(yīng)用題的教學樣本，拋磚引玉，期望能引發(fā)教育同仁對“讓學生學會如何思考”的思考，進一步展開討論和交流。

【新探內(nèi)容】

三年級下冊，應(yīng)用題：

【新探過程】

一、課前暖場（略）

二、課中新探

1.新探的開啟。

師：每個同學的桌上都有一張紙，這張紙的正反面一共印了4 道題，大家先整體瀏覽一下。

生：這不是一道題嗎？……

師：就是一道題，重復(fù)打印了4 遍，是不是覺得張老師很怪啊？隨著你思考的深入你會發(fā)現(xiàn)其中的秘密。這樣的題我們叫什么題呢？

生：應(yīng)用題。

師：解答應(yīng)用題的步驟是什么？

生：第一步是讀題，（板書：1.讀）第二步尋找有用信息，（板書：2.找）接下來是列式，列完后，算出結(jié)果，（板書：3.列，4.算）然后寫答。（板書：5.答）

師：這位同學不錯啊，一個人說了5 樣。

生：還要寫單位名稱。

師：寫單位名稱放在哪里？

生：放在答的前面。

師：答改成6；第五步寫單位名稱。（板書：5.名）

師：找信息，式子就自動蹦出來了？

生：思考、想……

師：那“想”放在哪里？

生：第三步。

師：其實，“讀”和“找”合起來就是審題，概括成一個字就是“審”，（板書：1.審）那第二第步就是“想”。（板書：2.想）

［根據(jù)學生思維的集體碰撞，把解答應(yīng)用題的步驟梳理為：1審（讀、找），2想，3列，4算，5名，6答］

師：很棒，遺憾的是，還少一步，而且是很關(guān)鍵的一步，也是一般人最容易忘掉的一步！

生：檢查。

［教師補充上“查”后，形成更完整的解答應(yīng)用題的一般步驟：1審（讀、找），2想，3列，4算，5名，6查，7答，并讓學生熟悉和鞏固］

2.刪繁就簡——我們到底如何去“審”。

（1）原來怎么審。

師：今天，張老師先和你們一起精細地研究前兩個步驟。第一個步驟是“審”，你以前都怎么審題？

生：讀一遍題，把有關(guān)的信息找出來。

生：第一遍讀題，第二遍找答案，再讀一遍。

生：先讀一遍題，再讀一遍問題，在題中找出關(guān)于問題的有用的信息。

（2）還可以怎么審？

①“刪刪”來了。

師：每位同學都有自己“審題”的“招”。張老師也有一個招，想不想知道張老師的“招”是什么？

師：張老師的“招”就一個字——刪。（板書：“刪”）

生：刪？刪什么？怎么刪？……

師：剛才一個同學說找有用的信息，每個人都喜歡找有用的信息，張老師跟你相反，專找無用的東西。明白嗎？

生：我明白了，刪的意思就是把多余的信息和用不上的一些數(shù)字都刪掉。

師：這道應(yīng)用題當中可以把哪些字刪掉，而又不改變這道題的數(shù)學意思？

（3）刪的境界、刪的藝術(shù)。

①投影學生作品一。

師：看他把誰給砍掉了？（為了參加溜溜球比賽）

師：去掉它后，一起讀一遍，品一下題的數(shù)學含義改變沒？（學生讀后一致認為沒有）

師：為什么？

生：這句話沒有數(shù)學信息。

生：買了那么多溜溜球、花了那么多錢，參加、不參加比賽，都不影響題目的意思。

②投影學生作品二。

師：這位同學把王老師也刪了，行不行？為什么？

生：行，因為不管誰買的，有買就行。

③投影學生作品三。

師：他把“買了”也刪了，行不行？

生：我感覺不行，因為他不買的話，就不能花錢了，就沒有96 了。

生：我認為可以，花了96 元，意思就是買了。

這時，多數(shù)學生認為可以刪除“買了”，還有一部分學生認為不能刪。

教師讓學生讀刪剩的題目，品味題目的意思到底有沒有改變：“4 盒溜溜球，每盒兩個，一共花了96元，平均每個溜溜球多少元？”最后所有學生認同：可以去掉。

④投影學生作品四。

師：“花了”刪掉可以嗎？

生：可以，因為買不買價格都在那里。

教師讓學生一起品讀：“4 盒溜溜球，每盒2 個，一共96 元，平均每個溜溜球多少元？”大家一致認同可以刪除。

師：還能刪嗎？（全班靜默深思）

生：刪掉“一”！“4 盒溜溜球，每盒2 個，共96元，平均每個溜溜球多少元？”

生：溜溜球也可以刪掉。

⑤投影學生作品五。

生：溜溜球換成乒乓球、皮球都行，買蛋糕也行，買什么都行。不管你買什么，都是“4 盒，每盒2 個，一共96 元”。這道題數(shù)學意思沒變！

師：這就是數(shù)學厲害的地方，不管你買的是什么，“我自巋然不動”。“比賽”去掉了，“王老師”讓你砍了，“溜溜球”讓你刪了，“一”“花了”也去掉了，對這道題的數(shù)學意思根本沒有影響。

（3）知刪，更知不刪。

生：我覺得“平均”也能刪掉！

生：“平均”不能刪。如果價格不一樣怎么辦？

生：盒子里兩個球的錢可能不一樣，這樣平均才可以算，問一個不知道是哪一個，沒法求。

最后學生一致認為“平均”不能刪，刪了就改變了題目的數(shù)學含義。

師：不能為了簡單都刪掉。要保證它的基本意思不變，同時還要保持數(shù)學的嚴謹性。

（4）刪后摘錄。

師：剩下這些不能刪的才是這個題目中——

生：最重要的、最關(guān)鍵的。

師：現(xiàn)在請同學們把刪掉之后剩下來的關(guān)鍵部分寫下來。（教師板書三個條件一個問題：①4 盒，②每盒2 個，③共96 元→平均每個多少元？）

師：精簡之后的題和原來題目對比，什么感覺？

生：感覺比之前更清晰、明了了。

生：更好理解、更完整了。

生：信息好找了，字少了。

生：把無用的刪掉之后，有用的不找就出來了。

（板書：用“無用”找“有用”）

師：刪掉“無用”之后，題目比原來更簡單，更容易理解和思考，“刪”是一個審題的重要方法。其實，不僅數(shù)學的審題是這樣，其他學科審題也可以這樣刪。

3.思維導(dǎo)航——我們到底如何去“想”。

（1）原來怎么想。

師：解答應(yīng)用題的第一步是“審”，其實就是干一件什么事？（刪）

師：解答應(yīng)用題的第二步是什么？（想）

師：原來，你拿到一道應(yīng)用題怎么想？

生：我就看著條件和問題反復(fù)地想。

生：就是先看問題，然后再想怎么列式。

生：把自己能看到有用的信息總結(jié)起來，想一想怎么列算式。

生：我先看問題，看完問題之后再看題，讀題之后思考這個問題該怎么解答，之后就算出來了。

生：先看問題，結(jié)合問題之后再看信息，然后想怎么列式。

師：當聚焦到“到底怎么去想一道應(yīng)用題”的時候，我們會發(fā)現(xiàn)，自己原來所謂的想都是大框架的、粗放的、模糊的。對于如何解答一道應(yīng)用題，其實你一直沒有一個明確、具體、詳細的思考方法和思考流程。說白了，我們并沒有掌握思考和解答一道應(yīng)用題的一般步驟和方法！對于應(yīng)用題，張老師這里有四種基本的“怎么好好想”的方法，今天先研究第一種。

（2）到底該怎樣去想？

①思之路——思路。

師：怎么想，其實就是解決問題的思路。（板書：思路）平時，老師會經(jīng)常讓我們說一說解答這道題的思路。我們思考過、追問過什么叫思路嗎？

（學生紛紛搖頭，表示沒有）

師：思是思，路是路，思路是思路。

師：（在“思路”兩字之間用紅筆劃線隔開兩字）“思路”是由“思”“路”兩個字組成。“思”是思考，“路”是路線，“思路”是思考的路線，也就是說思考就像走路。比如，要去找臺子后面一角的攝像師，怎么走才能找到她？

a.啟動。（板書）先分析現(xiàn)狀，確定下一步要走的方向。（向左轉(zhuǎn)）

b.定向。這里有幾個方向呢？我準備這次從這個方向去找她。（教師板書：定向）

c.路線及流程。接下來呢？（轉(zhuǎn)過去）然后呢？（走）一直往前走嗎？接下來要找到需要拐彎的地方，就是走路的轉(zhuǎn)折點，也就是解決問題的關(guān)鍵點、節(jié)點。（板書：注意節(jié)點——轉(zhuǎn)折點、關(guān)鍵點）

師：到了轉(zhuǎn)折點，也就是解決問題的關(guān)鍵點、節(jié)點，要停下來思考：“我下一步往哪個方向”。（向右）轉(zhuǎn)折點是走路和思考的關(guān)鍵。我右轉(zhuǎn)后，走走走，能一直走下去嗎？（走到了轉(zhuǎn)折點后，全體學生喊停）

師：到了這里……

生：又要想“往哪個方向轉(zhuǎn)？”，還是向右，然后轉(zhuǎn)身、繼續(xù)走，找到了！

師：現(xiàn)在明白什么是思路了嗎？

生：先根據(jù)情況，定開始想的方向，想到一個轉(zhuǎn)折點停下來，思考再往哪里走，怎么走。

②思路一——像“過家家”一樣去想。

師：張老師今天教你的第一種想的方法叫“過家家”。（板書：過家家）什么叫“過家家”呢？

生：一個人當爸爸，一個人當媽媽，“結(jié)婚”后還會“生”“寶寶”。

師：應(yīng)用題里怎么玩過家家呢？就是想第一個條件“4 盒”跟題目當中的誰“結(jié)婚”，可以“生”出哪個“寶寶”？

生：和每盒2 個“結(jié)婚”，可以“生”出“一共8 個球”。

教師根據(jù)學生回答板書如下：

師：怎么列式？

生：4×2=8（個）。

師：做完這一步，就像走路一樣，到了拐彎的地方，也就是解決問題的轉(zhuǎn)折節(jié)點，接下來怎么辦？

生：8 個和96 元“結(jié)婚”！

師：這個同學很了不起！把“生”出來的這個“寶寶”再當條件④，放到原來的題目當中，用它和剩下的其他條件去“結(jié)婚”。大家看看它們倆能結(jié)嗎？

生：能，“生”的“寶寶”是“96 除以8 等于12 元”。

教師根據(jù)學生回答板書如下：

①→②：4×2=8（個）

④→③：96÷8=12（元）

師：你會發(fā)現(xiàn)生“出”的這個“寶寶”就是你要求的問題，問題解決了。如果這次“生”出的“寶寶”不是問題呢？

生：繼續(xù)放到題中去“結(jié)婚”。

師：張老師教你的這一種思維的方法叫什么？（“過家家”）你現(xiàn)在明白怎么思考了嗎？說一說。

生：先拿第一個條件去找跟誰“結(jié)婚”，“生”出來一個“寶寶”，然后把這個“寶寶”放到題目當中再去找剩下的條件“結(jié)婚”，再“生”出一個“寶寶”，一直到把問題“生”出來。（眾生笑）

（3）另一種像“過家家”一樣去想。

師：不加任何限制的話，老師找到攝像師有多少種方法？

生：很多種。

師：其實數(shù)學的思路和走路是一樣的，也可能有多種可能、甚至無數(shù)種。回頭看這道應(yīng)用題，難道只有這一種過家家的方案嗎？

（學生在第二個空白處獨立進行嘗試）

學生反饋一：先讓條件①和條件③“結(jié)婚”，“生”出的“寶寶”用96÷4=24（元），當條件⑤，然后再把“寶寶”⑤和剩下的條件②“結(jié)婚”，就可以“生”出問題“寶寶”了。

教師根據(jù)學生回答板書如下：

①→③：96÷4=24（元）

⑤→②：24÷2=12（元）

學生講述自己思路的時候，教師引導(dǎo)學生重點關(guān)注該拐彎的地方——即把“寶寶”當作新的已知條件放回題目進行連接。

（4）到底能不能這樣“過家家”？

學生反饋二：條件③和條件②“結(jié)婚”，“生”出“寶寶”條件⑥，再和條件①“結(jié)婚”。

有很多學生表示反對，主要意見有兩種：他倆不能“結(jié)婚”，96 元÷2 個，就得1 個48 元了；他倆不能“結(jié)婚”，因為他倆“生”不出孩子。96 元是4 盒的錢，不是2 個的錢，不能用96 元÷2 個。（教師引導(dǎo)學生認識到：就是2 個球和96 元不對應(yīng)）

師：數(shù)學中并不是所有的條件都能“結(jié)婚”、都能直接連接的。就像同學們剛才的發(fā)現(xiàn)一樣：96 元錢是4 盒的錢，不是2 個的錢，也就是說“如果兩個條件不對應(yīng)、不匹配，它們就不能直接連接，直接過家家”。（板書）

師：這個世界充滿了無限的可能性，數(shù)學也可能有很多可能。不能直接連接，并不意味就絕對不能連接，也許……

生：每盒去掉一個，那4 盒，就是一共48 元。

師：我明白你的意思，你可以再試著換一種說法，給大家講講嗎？

生：去掉后就剩下4 個，這4 個是48 元。

生：題里是4 盒，不是4 個！

師：你們問到點子上了，也許真的能轉(zhuǎn)變。要不你就按他說的畫一畫，別忘了，去掉的也不能丟，可以畫在旁邊。

（學生又開始嘗試、思考、討論）

忽然幾個學生歡呼，他們的想法和畫法如下：

這時，絕大多數(shù)學生都恍然大悟。為了讓學生更好地理解，選取了4 排同桌的男女生進行戲劇化表演。

回到原題中，學生再次理解：

先把每盒球左邊的一個組成一組，右邊看成一組，兩組一樣：所以96÷2，這里的2 不是2 個，而是轉(zhuǎn)化成了2 組。得數(shù)48 元是一組4 個的錢，再除以4，這里的4 不再是4 盒，而是轉(zhuǎn)化成了4 個。

師：學習這道應(yīng)用題的第一重境界是看盒是盒，看個是個。到了第二重境界，盒不再是盒，個不再是個。說白了數(shù)學其實跟“個”，跟“盒”根本沒關(guān)系，4 盒每盒2 個就是數(shù)學上的幾個幾？（4 個2）4個2 是幾？（8）8 份一共96 元，求一份是多少？（96÷8）所以你最終算的是數(shù)學里的幾個幾和平均每個是多少。

三、課后續(xù)探

解決問題：6月1日，青海省城中區(qū)北大街小學舉行慶祝兒童節(jié)表演活動，三年級的學生中，一共有60 人報名參加大合唱，教合唱的李老師，把他們平均分成3 個方隊，每個方隊又平均分成4 個小組，三年級合唱隊的每個小組有幾人？

要求：

1.“刪”到底。

2.摘錄最簡條件和問題。

3.任選一種“過家家”的想法，用自己喜歡的方式記述自己“過家家”的思考過程。