探討數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

王家升

(福建省泉州市晉江市池店中學(xué) 362212)

一、數(shù)形結(jié)合的思想在初中數(shù)學(xué)解題中的作用

1.促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展

初中的數(shù)學(xué)知識(shí)隨著教學(xué)的深入，難度在不斷加大，讓很多學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)問(wèn)題，而在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想有利于促使復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)題簡(jiǎn)單形象化，有助于學(xué)生理解.簡(jiǎn)單化的過(guò)程體現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系與圖形能夠相互轉(zhuǎn)化和補(bǔ)充上.在學(xué)生數(shù)學(xué)答題時(shí)，將數(shù)形結(jié)合思想融入進(jìn)去，可以讓學(xué)生更好地理解題意，降低答題難度，促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維，尋找多種解題思路和方法,對(duì)課本知識(shí)的理解和掌握程度提升有著重要意義.

學(xué)生在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能提高學(xué)生的審題能力和答題思維，增強(qiáng)學(xué)生觀察力和注意力，教師應(yīng)不斷向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想，促進(jìn)學(xué)生的思維能力發(fā)展.

2.培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

初中數(shù)學(xué)解題過(guò)程對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)枯燥，且其中涉及邏輯和思維，難度大，導(dǎo)致學(xué)生普遍對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣低.為了防止此現(xiàn)象的產(chǎn)生，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)講題過(guò)程中要充分利用數(shù)形結(jié)合思想，讓數(shù)學(xué)問(wèn)題與圖形相結(jié)合，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引其注意力，也讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中找到樂(lè)趣，同時(shí)降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)難度，使學(xué)生樂(lè)于接受知識(shí)，促進(jìn)其學(xué)習(xí)能力的提高.

在數(shù)學(xué)解題中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式使得學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣提高，會(huì)促使學(xué)生更加積極主動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)探討，激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，實(shí)現(xiàn)預(yù)期教學(xué)效果.

二、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

1.利用數(shù)軸解決相關(guān)問(wèn)題

利用數(shù)軸能夠解決不等式問(wèn)題，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不等式是重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，要求學(xué)生可以解一元一次不等式，在數(shù)軸中標(biāo)出不等式的解集，這是中考必考知識(shí)點(diǎn)，也是典型數(shù)形結(jié)合問(wèn)題.在解一元一次不等式時(shí)要注意兩點(diǎn)，第一是未知數(shù)前面的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，當(dāng)系數(shù)化1后，不等式的不等號(hào)要變方向，若是“﹥”，要變?yōu)椤?”；第二是“≤、≥”表示實(shí)心，“>、<”表示空心.

如圖1，在求不等式的解集時(shí)，為了清楚地得到不等式在數(shù)軸上的解集，重點(diǎn)在于x<1是空心，x≥2的方向，因而選擇A.

圖1

利用數(shù)軸也可以解決找中位數(shù)和眾數(shù)問(wèn)題，中位數(shù)是將各個(gè)變量按大小的順序排列后，處于中間的變量值就被稱為中位數(shù)，而眾數(shù)是指所有變量中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)值，這是數(shù)學(xué)中常見的兩個(gè)概念，很容易理解.中位數(shù)問(wèn)題需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行排列，而眾數(shù)問(wèn)題需要對(duì)數(shù)值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，利用數(shù)軸可以降低數(shù)值記憶的難度，使數(shù)值更加清楚直觀地表現(xiàn).

例2 (10年第4題)今年6月11日，我省九個(gè)地區(qū)的最高氣溫與最低氣溫如圖2所示，則這九個(gè)地區(qū)該天的最高氣溫的眾數(shù)為( ).

圖2

A.27℃ B.29℃ C.30℃ D.31℃

如圖2所示，可以在數(shù)軸中標(biāo)記數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)每出現(xiàn)一次就在相應(yīng)地方標(biāo)記1，進(jìn)行累計(jì)，得到最多的就是眾數(shù)，如圖3，得知答案為D.

圖3

2.利用直角坐標(biāo)系解決函數(shù)問(wèn)題

在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，函數(shù)內(nèi)容占據(jù)著很大的比重，包括常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)以及反比例函數(shù)等，函數(shù)問(wèn)題在解答的過(guò)程中邏輯性強(qiáng)，主要的方法是運(yùn)行數(shù)形結(jié)合.在解函數(shù)問(wèn)題時(shí)，要畫出函數(shù)的圖象，讓復(fù)雜的函數(shù)簡(jiǎn)單形象化，要掌握函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的作用，同時(shí)教師在教學(xué)的過(guò)程中要培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)關(guān)系的類型，每當(dāng)學(xué)生看到題目就能馬上判斷出是什么類型的函數(shù)，就算題中不給圖象，也可根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出函數(shù)圖象，解決數(shù)學(xué)難題.

圖4

在解一元二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，函數(shù)圖象有四個(gè)要點(diǎn)，第一是看開口方向，二是看對(duì)稱軸，三是看頂點(diǎn)坐標(biāo)，四是看特殊點(diǎn)，如與x軸的交點(diǎn)或是與y軸的交點(diǎn)，如圖4，此題中雖不知a的系數(shù)，但與y軸有交點(diǎn)，能夠得出A(0，3)，從而看出過(guò)A與x軸平行的直線是y=3，A、B、C縱坐標(biāo)相同，可以求出B(-3,3)，C(3,3)，最后得出BC的長(zhǎng)度為6.

3.利用圖形解決實(shí)際問(wèn)題

利用圖形可以解決概率問(wèn)題，在計(jì)算簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題時(shí)可以畫樹形圖，讓題目更加直觀化、簡(jiǎn)單化.

例4 有甲、乙兩個(gè)不透明的口袋，甲口袋中有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字0，2，5；乙口袋中有3個(gè)球，分別標(biāo)有數(shù)字0，1，4.這6個(gè)球除了所標(biāo)數(shù)字以外沒(méi)有任何區(qū)別，從甲乙中各隨機(jī)摸出一個(gè)球，用樹形圖的方法，求摸出兩個(gè)球上數(shù)字之和為6的概率.

解此道題時(shí)，在看到一大段數(shù)字和文字后，學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生厭煩的心理，而概率問(wèn)題所蘊(yùn)含的邏輯思維較強(qiáng)，不借助外力純?cè)谀X海中思考會(huì)給學(xué)生增加解題的困難，而使用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)題意畫樹形圖能夠讓題意簡(jiǎn)化，更容易得出答案，如圖5，可以得出P(數(shù)字之和為6)=2/9.

圖5

利用數(shù)形結(jié)合能夠解決三角問(wèn)題，在利用數(shù)形結(jié)合解三角問(wèn)題時(shí)，有一個(gè)前提是問(wèn)題最后必須轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用直角三角形的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.

例5 (12年第20題)如圖6，有一個(gè)晾衣架放置在水平地面上，在其示意圖中，支架OA、OB的長(zhǎng)均為108cm，支架OA與水平晾衣桿OC的夾角∠AOC為59°，求支架兩個(gè)著地點(diǎn)之間的距離AB.(結(jié)果精確到0.1cm)(參考數(shù)據(jù)：sin59°=0.86,cos59°=0.52,tan59°=1.66)如圖6，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解此題時(shí)，很容易能看出圖形為等腰三角形，過(guò)O點(diǎn)向AB線作高，交點(diǎn)為D,則OD為中線，在直角三角形OAD中，解出AD，則AB等于2倍的AD，具體解法如圖7所示.

圖6

答：支架兩個(gè)著地點(diǎn)之間的距離AB約為112.3cm.

因?yàn)槭菓?yīng)用題，所以最后要寫答.

綜上所述，可以看出數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)解題中的重要作用，因而教師要注重對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的傳授，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中要對(duì)數(shù)與形的關(guān)系進(jìn)行深入探討和揭示，利用數(shù)軸、直角坐標(biāo)系和圖形解決相關(guān)問(wèn)題，幫助學(xué)生應(yīng)對(duì)數(shù)學(xué)難題，為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備.