源于教材 高于教材
——對兩道高考題的探“源”覓“流”

◇ 謝遷爾

蘇聯數學教育家奧加涅相說過:“必須重視，許多習題潛藏著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可行性．”研究近十年的高考真題，就會發現很多題目“似曾相識”，總能在高考真題中找到課本習題、例題的影子．高考試題“源于課本”，這是由高考的性質決定的．高考的命題都應遵循“立足基礎，考查能力”這一重要原則．自然尋找高考數學試題的課本生長點、命題背景，探究題源，挖掘命題的“題根”，可以達到由例及類、觸類旁通的目的．下面就以兩個高考題進行探“源”覓“流”．

1 真題再現

例1(2014年新課標卷Ⅱ)設向量a，b滿足則a·b＝( )．

由①－②，得a·b＝1．

例2(2017年新課標卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內一點，則PA→·的最小值是( )．

如圖1所示，取BC的中點D，取AD的中點E．

圖1

本題解法中，同樣也是利用到例1提及的公式．

2 尋根溯源

上述兩個問題的背景是普通高中課程標準實驗教科書《數學必修4》A版第108頁習題24中的A組第3題．

題目已知|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－3，求|a＋b|，|a－b|．

通過這個題目的分析及課本例題2中證明:

再將(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2中的向量b換成向量－b，又有

式①－②，可得

3 把握根本

式③就是著名的“極化恒等式”．

1)平行四邊形模式:

2)三角形模式:在△ABD中，AM是BD邊上的中 線

極化恒等式的作用在于把數量積轉化為“和向量”與“差向量”，因此當兩個向量的“和向量”或“差向量”為定向量時可以應用極化恒等式進行轉化．此恒等式的精妙之處在于建立向量與幾何長度(數量)之間的橋梁，實現向量與幾何、代數的巧妙結合．

4 舒展枝葉

從上面的分析，我們可以看到極化恒等式作為代數和幾何的橋梁，具有化動(動點)為定(定點)、化動(動態)為靜(靜態)、化曲(曲線)為直(直線)、化普通為特殊的能力，所以在各地歷屆的高考題和模擬試題中得到廣泛應用．

4.1 處理長度的問題

例3已知圓O:x2＋y2＝4，直線l與圓O交于P，Q兩點，A(2，2)，若AP2＋AQ2＝40，則弦PD的長度的最大值為取PQ的中點M，則化簡得．要使得最大，當且僅當最小，即時，即時成立．即P(－2，0)，Q(0，－2)時成立，所以

圖3

4.2 求數量積的最值

例4已知等邊△ABC內接于圓O:x2＋y2＝1，且P是圓O上一點，則的最大值是( )．

設D為BC的中點，M為AD的中點，則

圖4

4.3 結合圓錐曲線，遷移應用

例5已知AB為橢圓的一條動弦，且經過原點，M為直線3x－4y－15＝0上的一個動點，則的最小值為( )．

這個問題的破解難點就是A，B為橢圓y2＝1曲線上的動點，連接MO，根據極化恒等式可得，這樣考慮到取最小值且取最大值時，曲線動點問題便得以化解．

如圖5所示，設d為點O到直線3x－4y－15＝0的距離，則等于橢圓的長半軸長2．因此，

綜上所述，選C．

圖5

通過兩道高考真題的研究，尋根溯源，發現所有的高考題都會遵循一個重要規律:教材是高考題的發源地．一個不變原則就是“取材于課本，但又不拘泥于課本”．課本中每一個例題、習題的設置都有其目的和作用，許多高考題都能在課本上找到“根源”．不少高考題就是課本原題的變形、改造和整理．因此，平時的復習中，應充分發揮課本上典型例題和習題的作用，提高學習效率，達到事半功倍的學習效果，切實減輕學生過重的學習負擔．