用好參數方程與極坐標不容忽視的三個角度

◇ 袁 野 梁海龍

坐標系是聯系幾何與代數的橋梁，是數形結合的有力工具，借助它可以使數與形相互轉化．極坐標系是對直角坐標系的補充與延伸，極坐標方程有助于建立距離與角度的關系．參數方程是以參變量為中介來表示曲線上點的坐標的方程，是曲線在同一坐標系下的另一種表示形式．根據曲線的特點，選取適當的曲線方程的表示形式，可以體現解決問題中數學方法的靈活性，可以啟發和引導同學們形成數學思維．要學好參數方程與極坐標方程，就要理解每種具體曲線的極坐標方程與參數方程的幾何意義．本文通過例題從以下三個角度闡述如何用好參數方程與極坐標方程．

1 方程轉化的等價性

例1在平面直角坐標系xOy中，曲線M的參數方程為為 參 數)，若 以 該 直 角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為(其中t為常數)．

(1)若曲線N與曲線M有2個不同的公共點，求t的取值范圍；

(2)當t＝－2時，求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離．

錯解(1)因為曲線M的參數方程為為參數)，所以x2＝1＋sin2β＝1＋y，故曲線M的直角坐標方程為y＝x2－1．又因為則ρsinθ＋ρcosθ＝t(其中t為常數)，所以曲線N在直角坐標系下的方程為x＋y＝t，聯立方程則由Δ＞0，解得

(2)當t＝－2時，有x＋y＋2＝0，由(1)知，當t＝直線x＋y－t＝0與M相切，故求曲線M上的點與曲線N上的點的最小距離為

錯因分析錯誤在于忽視了變量轉化中的等價性．

正解(1)因為曲線M的參數方程為為參數)，所以x2＝1＋sin2β＝則x∈故曲線M的直角坐標方程為y＝x2－1

因為曲線N與曲線M有2個不同的公共點，所以聯立方程則在上有2個不同的零點，故則因此t的范圍為

(2)當t＝－2時，直線N:x＋y＋2＝0．

極坐標、直角坐標以及直角坐標下的參數方程是對同一曲線不同形式的表達，有著不同的變量，轉化過程中一定要明確每一步代換的等價性．

2 曲線參數方程與極坐標方程的意義

例2在直角坐標系xOy中，直線l的斜率為1且過點M(－2，－4)．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為

(1)當a＝1時，求曲線C的直角坐標方程；

(2)設 曲 線C與 直 線l交 于A，B兩 點，若求a的值．

錯解(1)C:ρsin2θ－2acosθ＝0，則ρ2sin2θ－2aρcosθ＝0，所以y2＝2ax．當a＝1時，曲線C的方程為y2＝2x．

(2)設直線l的參數方程為為參數)，設A，B的參數分別為t1，t2，將l的參數方程代入y2＝2ax，得t2－(8＋2a)t＋16＋4a＝0，t1＋t2＝8＋2a，t1t2＝16＋4a，由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化簡得a2＋4a－10＝0，解得又因為a＞0，所以

錯因分析該解法錯誤在于第(2)問，錯因主要有兩點:1)錯用直線參數方程；2)設而不求，沒有檢驗解的合理性．

正解(2)設直線l的參數方程為為參數)，設A，B的參數 分別為t1，t2，將l的參數方程代入y2＝2ax，得

由|AB|2＝40，得(t1－t2)2＝40，化簡得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或1，又因為a＞0，所以a＝1，經檢驗當a＝1時，方程①中Δ＞0成立．

直線的參數方程可以理解為直線l的方向向量為過定點M(x0，y0)，直線上任意一點此時直線l的參數方程為為參數)，此時|t|表示|MP|的長度，也就是說|t|表示|MP|的長度一個重要的前提是方向向量為單位向量．

例3已知橢圓，直線l交橢圓于A，B兩點，且OA⊥OB，求證為定值．

錯解1橢圓的參數方程為為 參數)，由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的參數分別為錯解2由橢圓的極坐標方程為由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的極角分別為

以上兩種做法均無法證明該例題．

錯因分析錯解1中錯誤在于使用了參數方程中θ角的幾何意義，θ不是偏轉角，而是離心角．錯解2中錯誤在于使用了左焦點為極點的橢圓極坐標方程．兩個錯誤均是對橢圓極坐標方程和參數方程幾何意義認識不清造成的．

正解以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，可得橢圓的極坐標方程為由圖形的對稱性，不妨設A，B點對應的極角分別為．則

理解曲線不同的方程所代表的幾何意義是合理使用參數方程與極坐標的基礎．

3 平面幾何知識的運用

例4以平面直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的長度單位．已知曲線C1的參數方程為為參數，且α∈[0，π])，曲線C2的極坐標方程為ρ＝－2sinθ．

(1)求C1的極坐標方程與C2的直角坐標方程；

(2)若P是C1上任意一點，過點P的直線l交C2于點M，N，求|PM|·|PN|的取值范圍．

(2)思路1以直角坐標為中介，將各種曲線轉化為更為熟悉的直角坐標方程來解決．

解法1設P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，當直線l斜率存在時，設l的直線方程為y＝k(xx0)＋y0，聯立方程得

當直線l斜率不存在時，|PM|·|PN|＝1＋2y0(0≤y0≤1)，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

思路2借助直線的參數方程，由直線參數方程中參數的幾何意義解題．

解法2設P(x0，y0)，設直線l的傾斜角為β，則l的參數方程為為 參 數)，M，N對應的參數分別為t1，t2．

將l的參數方程代入C2的直角坐標方程，得由l的參數方程的幾何意義可知

圖1

思路3分析幾何特點，借助幾何特征簡化運算．

解法3如圖1所示，過圓C2的 圓 心C2作C2D垂 直 于PN，垂足為D．由垂徑定理和DM＝DN，

又因為2≤|PC2|2≤4，所以1≤|PM|·|PN|≤3．

本題的第(2)問的3種不同思路，都體現出了轉化思想，雖然思路1與思路2借助不同的方程形式都可以解決問題，但思路3借助幾何性質能更加快速地解決問題，起到事半功倍的效果．