經歷有效猜想發展學生合情推理能力

張小金

摘要：推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式，因此，《數學課程標準》（2011版）把推理能力作為在數學課程中應當注重發展的“十大”能力之一，并指出：推理能力的發展應貫穿于整個數學學習過程中。我們知道，推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果;演繹推理是從已有的事實（包括定義、公里、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在小學數學教學中，由于受小學生的學習水平和心理特點限制，小學數學的學習內容，從推理能力的發展來說，更多地是發展學生的合情推理能力。

關鍵詞：有效猜想;合情推理能力

在實際教學中，讓學生經歷有效猜想，是發展學生合情推理能力的有效方式。猜想不僅僅是簡單的“偶然發現的巧合”，更是學生綜合運用已有的知識基礎和生活經驗，通過歸納和類比提出新的想法、推論的高階思維活動，再通過實驗、舉例等使用不完全歸納法，來測試、驗證自己的猜想。下面以人教版六年級下冊第三單元《圓錐的體積》一課為例，談談如何讓學生在有效猜想中合情推理能力得到發展。

《圓錐的體積》是在學生學習了圓柱的體積、圓錐的認識基礎上學習的。教材通過“我們已經會計算圓柱的體積，如何計算圓錐的體積呢？”“圓錐的體積和圓柱的體積有沒有關系呢？”兩個問題，引導學生猜想圓錐體積公式的推導方法。可以看出，在學生已經有豐富的“轉化推導”活動經驗基礎上，教材的導引是學生能先聯系舊知大膽猜想圓錐的體積可能和學過的哪個圖形體積知識有關？有什么關系？可以怎樣想辦法去驗證？從而引出用等底等高的圓柱、圓錐容器通過實驗發現兩個圖形體積間的關系，從而推導出圓錐的體積計算公式。在此之前，學生對于運用化歸的數學思想方法來探索圖形的積計算已經有了非常豐富的經驗，從平面圖形平行四邊形、三角形、梯形、圓形的面積公式推導到立體圖形圓柱體積公式的推導，都是運用了化歸的數學方法來探究的，用實驗的學習方法來探究圖形的積計算學生也不陌生，長方體的體積公式學生就是通過實驗發現的。那本節課學生認知的思維障礙在哪里呢？

于是，我設計了一份簡單的課前調查，用于分析發現學生認知的瓶頸。

《圓錐的體積》課前調查：

1.圓錐的體積計算方法可能會和學過的哪一種立體圖形的體積有聯系？

2.等底等高的圓錐和圓柱的體積可能有什么關系？

3.如果要把圓錐轉化成圓柱，你會想到什么方法？

通過教學前測調查，我發現，學生由圓錐的體積去聯想圓柱的體積，這是知識的邏輯結構，學生又剛剛學完，是很自然的思維，不難。但是，學生對于等底等高圓錐和圓柱體積間有什么關系？為什么要選擇等底等高的圓柱圓錐來探究？可以怎樣去轉化推導？學生卻遇到了思維的坎，也就是說合情推理受到了阻礙。很多學生的回答不正確，還有不少學生沒有填寫。所以，如何給學生思維的坎搭個橋，讓學生順利地提出正確的猜想，設計比較合理的實驗方案，就成為本節課要特別關注的問題。于是，為了引導學生經歷有效的猜想，我設計了以下鋪墊教學環節：

[片段一：舊知回顧]

1.問題導引：圓錐有哪些特征？它和圓柱有什么相同點？有什么不同點？

2.方法回顧：我們前面已經學習過立體圖形長方體、正方體和圓柱的體積，還記得我們是怎么發現它們的體積計算公式的嗎？

〖設計意圖：“問題導引”幫助學生激活知識基礎，為學生聯想舊知做好蘊伏。“方法回

顧”幫助喚醒學生已有的活動經驗和學習方法，為學生順利轉化做好準備。〗

[片段二：提出猜想]

1.鋪墊：課件出示一個長方形和一個面積是長方形一半的直角三角形。

提問：這兩個圖形的面積有什么關系？為什么？

學生回答后，采用重疊的方法讓學生發現它們長和高相等，寬和底相等，也可以說它們等底等高。

2.圖形運動：課件動態演示長方形繞長旋轉成一個圓柱，直角三角形繞高旋轉成圓錐。

3.提出猜想：

提問：這個圓柱和這個圓錐的底和高有什么關系？猜一猜，這個圓柱和這個圓錐的體積有什么關系呢？

〖設計意圖：借助直觀，通過“等底等高”長方形和三角形的面積的2倍關系，到動態得到等底等高的圓柱和圓錐，讓學生類推猜想“等底等高”圓柱和圓錐的體積關系，向學生提出了富有挑戰性的問題，學生經歷的不再只是簡單地聯想到圓錐的體積可能和圓柱有關的低階思維活動，而是要借助自己的空間觀念水平，提出更具思辨、挑戰的猜想：從平面到立體，應該不是2倍關系了，并通過直觀觀察和抽象想象，提出是否存在3倍關系的猜想。在這里，借助已有舊知和平面圖形與立體圖形的關系，順利地幫助學生越過了提出“等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍”猜想的坎。這樣的猜想，是有著豐富數學活動的高階思維活動。這也為下面實驗方案的設計鋪平了道路。〗

事實證明，學生借助“等底等高”的長方形和三角形面積的2倍關系，再借助兩個圖形旋轉得到“等底等高”的圓柱圓錐，提出“圓柱的體積不是圓錐的2倍”“圓柱的體積可能是圓錐的3倍”的猜想，變得水到渠成。回顧教學過程，當學生的猜想遇到困難，我們教師所要做的，不是簡單地“千呼萬喚”，而應該藝術地“鋪路搭橋”，給學生的觀察發現，聯想溝通提供可能，給學生的猜想找到思維的支點，讓學生順利躍起，這樣，合情能力的發展便自然發生。