一種新型異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面的水力學(xué)分析

武周虎, 王 瑜, 祝帥舉,2

(1.青島理工大學(xué)環(huán)境與市政工程學(xué)院，山東 青島 266033；2. 河南省城鄉(xiāng)規(guī)劃設(shè)計(jì)研究總院有限公司，河南 鄭州 450044)

水工隧洞的斷面形狀是影響其水流條件、過(guò)流能力、圍巖與支護(hù)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度及施工設(shè)計(jì)的重要因素。有壓隧洞宜采用圓形斷面，無(wú)壓隧洞宜采用圓拱直墻式斷面，若地質(zhì)條件差，或洞軸線與巖層夾角偏小，宜選用圓形或馬蹄形斷面[1-2]。馬蹄形包括標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形[3-4]、馬蹄形(Ⅰ型，Ⅱ型，Ⅲ型，特型)[5-7]、平底馬蹄形(Ⅰ型，Ⅱ型，特型)[7-9]；還有蛋形包括半橢圓與半圓的上下組合型[10]、四圓弧蛋形[11]和六圓弧蛋形(Ⅰ型，Ⅱ型)[12-13]等形式；再有二圓弧仰拱曲墻式大斷面水工隧洞[14]等形式。除圓形斷面外，其他隧洞斷面內(nèi)輪廓線都是由圓弧、橢圓弧和直線等多段線采用相交或相切形式組合而成。

在隧洞斷面設(shè)計(jì)中，圍巖介質(zhì)和初始地應(yīng)力場(chǎng)等邊界條件是客觀存在不能改變，若水平地應(yīng)力大于垂直地應(yīng)力，宜采用高度小而寬度大的斷面；若垂直地應(yīng)力大于水平地應(yīng)力，宜采用高度大而寬度小的斷面，可以調(diào)整隧洞斷面的幾何形狀、尺寸等參數(shù)，以改善圍巖的應(yīng)力分布及其穩(wěn)定性狀態(tài)[15-16]。雖然在這些隧洞斷面內(nèi)輪廓線的相交點(diǎn)處曲線連續(xù)，但一階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)；在相切點(diǎn)處曲線連續(xù)、可導(dǎo)，但一階導(dǎo)數(shù)不光滑、二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。在相交和相切點(diǎn)處都將發(fā)生曲線的曲率突變，且在斷面內(nèi)輪廓線相交點(diǎn)處易產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，出現(xiàn)內(nèi)力的極大值，受力條件變差[16]。這些隧洞斷面形式的組合方式多樣，內(nèi)輪廓線形式復(fù)雜，水力設(shè)計(jì)的分區(qū)與計(jì)算公式煩瑣，又各不相同，缺乏設(shè)計(jì)與建造的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。因此，隧洞斷面形狀設(shè)計(jì)方案不是唯一的，而是有許多方案可供選擇，由此就產(chǎn)生了優(yōu)化問(wèn)題[17]。

在無(wú)壓隧洞斷面設(shè)計(jì)中，當(dāng)?shù)刭|(zhì)條件較好、山巖側(cè)壓力較小時(shí)，大多采用城門(mén)洞形；在其他情況下，采用什么樣的斷面形式常常存在多種選擇。特別是馬蹄形和蛋形斷面多達(dá)10余種形式，具體選擇由圓弧、橢圓弧和直線等幾段線組成，圓心取在哪里、半徑取多大、圓心角是多少、相交或相切點(diǎn)位置多高等，都要仔細(xì)分析、認(rèn)真推算確定。無(wú)壓隧洞的水力設(shè)計(jì)還需要根據(jù)斷面曲線連接點(diǎn)位置，采用分區(qū)公式計(jì)算相應(yīng)的水力要素。在優(yōu)化調(diào)整無(wú)壓隧洞的斷面設(shè)計(jì)時(shí)，就需要重新進(jìn)行斷面形狀與幾何設(shè)計(jì)，還有水力設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和襯砌施工設(shè)計(jì)等，其復(fù)雜性、煩瑣性、工作量大等不言而喻。

本文基于寬闊河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下保守物質(zhì)等濃度線方程，以隧洞斷面內(nèi)輪廓線的最大高度和最大寬度為二參數(shù)，定義一種新型Wu’s曲線——異形橢圓，給出異形橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及形狀分類，提出以異形橢圓作為無(wú)壓隧洞斷面內(nèi)輪廓線的統(tǒng)一水力要素和均勻流計(jì)算方法，該方法的斷面尺寸調(diào)整靈活，可為異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

1 異形橢圓方程的由來(lái)及形狀分類

1.1 由來(lái)

(1)

式中：x為自排放口沿河流流向的縱向坐標(biāo)；y為垂直于x軸的橫向坐標(biāo)，坐標(biāo)原點(diǎn)取在河流中心排放點(diǎn)；d為河流的平均水深；U為河流的平均流速；m為單位時(shí)間的保守物質(zhì)排放質(zhì)量；Ey為橫向擴(kuò)散系數(shù)。

武周虎等[20]在保守物質(zhì)濃度c=ca=常數(shù)的條件下，通過(guò)對(duì)式(1)進(jìn)行數(shù)學(xué)推演，給出了河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下等濃度線所包圍圖形的最大長(zhǎng)度Ls、最大半寬度bs和相應(yīng)縱向坐標(biāo)Lc分別為

(2)

在式(1)中取c(x,y)=ca，對(duì)根號(hào)下縱向坐標(biāo)變量x除以Ls得到量綱一縱向坐標(biāo)(x/Ls)，同時(shí)乘以式(2)最大長(zhǎng)度Ls右邊的表達(dá)式；對(duì)橫向坐標(biāo)變量y除以bs得到量綱一橫向坐標(biāo)(y/bs)，同時(shí)乘以式(2)最大半寬度bs右邊的表達(dá)式，化簡(jiǎn)得到等濃度線方程(Wu’s曲線)為[21-22]

(3)

在研究中發(fā)現(xiàn)，式(3)所表示的等濃度線近似于橢圓形狀，但只有單對(duì)稱軸，筆者稱其為“異形橢圓”。該曲線來(lái)源于保守物質(zhì)平面二維簡(jiǎn)化對(duì)流擴(kuò)散方程求解出來(lái)的濃度分布等值線，根據(jù)動(dòng)量、熱量和質(zhì)量傳遞的相似性原理，可以推斷應(yīng)力與質(zhì)量擴(kuò)散之間也存在相似性關(guān)系，因此，該曲線極具學(xué)術(shù)研究?jī)r(jià)值。

1.2 標(biāo)準(zhǔn)方程與特征尺度定義

在式(3)中，將對(duì)稱軸縱向坐標(biāo)x改用對(duì)稱軸垂向坐標(biāo)z表示，定義異形橢圓對(duì)稱軸垂向坐標(biāo)z方向的最大高度為H=Ls，表示為隧洞斷面高度；非對(duì)稱軸橫向坐標(biāo)y方向的最大寬度為W=2bs，表示為隧洞斷面寬度。則有異形橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為

(4)

其定義域?yàn)椋?

圖1 異形橢圓斷面及其特征尺度示意圖

由圖1可以看出，異形橢圓像一個(gè)變形橢圓，最大寬度線將整體分為上、下兩部分，最大寬度線以上的高度占最大高度的0.632，接近黃金分割比例0.618，使圖形產(chǎn)生美感。據(jù)此，提出異形橢圓(即WU型二參數(shù)曲線)水工隧洞斷面的內(nèi)輪廓線形狀。

1.3 壓縮系數(shù)與形狀分類

異形橢圓的壓縮系數(shù)定義為非對(duì)稱軸方向的寬度(或半寬度)與對(duì)稱軸方向的高度(或半高度)之比，也就是異形橢圓的寬高比θ=W/H(θ>0)。圖2為不同壓縮系數(shù)時(shí)的異形橢圓形狀示意圖。

圖2 不同壓縮系數(shù)的異形橢圓形狀示意圖

由圖2可以看出，異形橢圓的形狀隨壓縮系數(shù)的增大是由高瘦逐漸變?yōu)閷捙郑詨嚎s系數(shù)可以反映異形橢圓的形狀特征。據(jù)此，我們對(duì)異形橢圓的形狀進(jìn)行分類：當(dāng)壓縮系數(shù)θ=1時(shí)，異形橢圓的寬度等于高度，稱為標(biāo)準(zhǔn)型；當(dāng)0<θ<1時(shí)，異形橢圓的寬度小于高度，稱為H型(高瘦型)；當(dāng)θ>1時(shí)，異形橢圓的寬度大于高度，稱為W型(寬胖型)。

2 異形橢圓斷面水力要素計(jì)算與特性分析

在隧洞內(nèi)任一水深h時(shí)，則有充滿度(即相對(duì)水深)α=h/H，由圖1所示的異形橢圓斷面的水力要素計(jì)算公式推導(dǎo)及有關(guān)特性曲線分析如下。

2.1 水面寬度

在式(4)中，令z=h，則有水面寬度B=2y，化簡(jiǎn)得到：

(5)

由式(5)可以看出，異形橢圓斷面的水面寬度與斷面最大寬度成正比，其比例系數(shù)僅與充滿度有關(guān)，該比例系數(shù)的變化規(guī)律類似于圖1所示的斷面形狀。當(dāng)α=1/e=0.368時(shí)，B/W的最大值為1.000；當(dāng)α=0.500時(shí)，B/W=0.971；當(dāng)α=0.750時(shí)，B/W=0.766。

2.2 過(guò)水?dāng)嗝婷娣e

將式(4)開(kāi)平方，先導(dǎo)出y的顯函數(shù)表達(dá)式，在z∈[0,h]區(qū)間上求定積分，再按對(duì)稱圖形面積乘以2，則得到異形橢圓過(guò)水?dāng)嗝婷娣eA的積分表達(dá)式為

(6)

進(jìn)行變量替換，令ζ=z/H，積分下限不變，積分上限變?yōu)棣粒瑒t有：

(7)

(8)

式中：μ(α)為異形橢圓過(guò)水?dāng)嗝娴拿娣e系數(shù)。

對(duì)充滿度α=1.0的滿管流情況，令η=ζ1.5，積分上限為1，代入式(8)直接求定積分得到異形橢圓的滿流過(guò)水?dāng)嗝婷娣e系數(shù)(即隧洞斷面面積系數(shù))為

(9)

(10)

該數(shù)值比橢圓的面積系數(shù)(π/4)大1.27%。

對(duì)充滿度α<1.0的不滿管流(無(wú)壓隧洞)情況，異形橢圓的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e系數(shù)式(8)不存在直接積分值。可以借助于梯形法求定積分的公式計(jì)算過(guò)水?dāng)嗝婷娣e系數(shù)：

(11)

在式(11)中，將自變量ζ的積分區(qū)間[0，α]劃分為n=1/Δζ等分，每一等分的長(zhǎng)度Δζ取1.0×10-4，一般就可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值積分值與理論值的誤差絕對(duì)值小于1.0×10-5。若需進(jìn)一步提高數(shù)值積分的精度，可以通過(guò)縮小等分長(zhǎng)度或更換數(shù)值積分方法，如MATLAB求定積分的功能。在區(qū)間(0, 1)上給定一系列充滿度α值，可以由式(11)計(jì)算出一系列相應(yīng)的μ值，從而得到異形橢圓的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e系數(shù)μ與充滿度α的變化曲線，見(jiàn)圖3。異形橢圓斷面無(wú)壓隧洞的凈空高度比(1-α)、凈空面積比(1-μ/μ1)一并繪制于圖3中。

圖3 異形橢圓的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e系數(shù)和凈空比變化曲線

由圖3和計(jì)算數(shù)據(jù)可知，當(dāng)α=0.5時(shí)，μ=0.442，則有異形橢圓的下半部分面積占隧洞斷面面積的55.6%，上半部分面積占隧洞斷面面積的44.4%；當(dāng)α=0.273時(shí)，異形橢圓斷面的凈空高度比與凈空面積比相等(0.727)；當(dāng)α>0.273時(shí)，在充滿度相同條件下，異形橢圓斷面的凈空高度比大于凈空面積比，有利于改善過(guò)流條件提高安全性。

按照水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范[1-2]的規(guī)定，在低流速的無(wú)壓隧洞中，若通氣條件良好，在恒定流情況下，洞內(nèi)水面線以上的空間不宜小于隧洞斷面面積的15%。此時(shí)，異形橢圓斷面凈空面積比為0.15，相應(yīng)的凈空高度比為0.233，即對(duì)應(yīng)異形橢圓斷面無(wú)壓隧洞的設(shè)計(jì)充滿度不宜大于0.767。

2.3 濕周

對(duì)異形橢圓過(guò)水?dāng)嗝孑喞€進(jìn)行積分，在隧洞內(nèi)任一水深h時(shí)，則有異形橢圓的濕周χ為

(12)

式(4)兩邊對(duì)z求導(dǎo)，整理得到：

(13)

將式(13)代入式(12)，積分下限不變，積分上限變?yōu)閔/H=α，并注意到W/H=θ，則有異形橢圓的濕周公式變?yōu)?/p>

(14)

(15)

式中：T(θ,α)稱為異形橢圓的濕周系數(shù)，它是異形橢圓壓縮系數(shù)θ和過(guò)水?dāng)嗝娉錆M度α的函數(shù)。類比數(shù)學(xué)上橢圓的周長(zhǎng)定理，由式(14)定義異形橢圓的濕周定理：異形橢圓斷面濕周等于異形橢圓斷面濕周系數(shù)與異形橢圓半高度和半寬度之和的乘積。

下面分別針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)型(θ=1.00)、H型(以θ=0.67為例)和W型(以θ=1.50為例)異形橢圓斷面，在區(qū)間[0, 1]上給定一系列α值，采用數(shù)值積分方法，依次對(duì)異形橢圓斷面濕周系數(shù)按照式(15)進(jìn)行積分運(yùn)算。據(jù)此，得到以θ為參變量的T隨α的變化曲線如圖4所示。

圖4 異形橢圓斷面濕周系數(shù)隨充滿度的變化曲線

由圖4和計(jì)算結(jié)果可知，θ<1(H型)與θ=1(標(biāo)準(zhǔn)型)的T隨α的變化曲線相比是先緩長(zhǎng)后變?yōu)槎搁L(zhǎng)，其交叉點(diǎn)以α=0.514為上界，隨θ的減小而減小；θ>1(W型)與θ=1(標(biāo)準(zhǔn)型)的T隨α的變化曲線相比是先陡長(zhǎng)后變?yōu)榫忛L(zhǎng)，其交叉點(diǎn)以α=0.514為下界，隨θ的增大而增大。

對(duì)α=1.0的滿管流情況，異形橢圓斷面的濕周系數(shù)就是其周長(zhǎng)系數(shù)(又可稱為異形橢圓系數(shù))，由式(15)得到異形橢圓系數(shù)T1公式為

(16)

由式(16)可以看出，T1僅是θ的單變量函數(shù)。圖5為θ=0.5～2.0時(shí)T1的變化曲線。

圖5 異形橢圓系數(shù)隨壓縮系數(shù)的變化曲線

由圖5和計(jì)算結(jié)果可知，一個(gè)有趣的現(xiàn)象是異形橢圓系數(shù)的最小值(T1=3.191)出現(xiàn)在θ=1.05處，而非出現(xiàn)在θ=1處。

當(dāng)θ<1.05時(shí)，T1隨θ單調(diào)下降；當(dāng)θ>1.05時(shí)，T1隨θ單調(diào)上升。當(dāng)θ=0.5～2.0時(shí)，T1隨θ變化關(guān)系的擬合曲線方程為

T1=0.088θ4-0.558θ3+1.350θ2-1.395θ+3.705

(17)

式(17)的相關(guān)系數(shù)為R2=0.999 6。

值得一提的是，當(dāng)α=0.5時(shí)，不同壓縮系數(shù)異形橢圓斷面的濕周系數(shù)約占其異形橢圓系數(shù)的53.0%。

2.4 水力半徑

根據(jù)水力半徑的定義：過(guò)水?dāng)嗝婷娣e與濕周之比，由式(7)與式(14)相除，化簡(jiǎn)整理得到異形橢圓的水力半徑R的計(jì)算公式為

(18)

其中相對(duì)水力半徑R′為

根據(jù)異形橢圓斷面面積系數(shù)μ(α)和濕周系數(shù)T(θ,α)的系列計(jì)算數(shù)據(jù)，由式(19)可得到以θ為參變量的異形橢圓斷面相對(duì)水力半徑隨充滿度的變化曲線，和以充滿度為參變量的相對(duì)水力半徑隨壓縮系數(shù)的變化曲線，見(jiàn)圖6。

圖6 異形橢圓斷面相對(duì)水力半徑變化關(guān)系

由圖6可知，在θ不變的情況下，R′隨α的變化曲線存在一個(gè)極大值點(diǎn)。

由圖6(b)還可以看出，在α=0.75時(shí)的R′與其極大值隨θ的變化曲線非常接近，最大相對(duì)差值僅為-0.2%。說(shuō)明α=0.75(相應(yīng)的凈空面積比0.166>0.15，符合文獻(xiàn)[1-2]的規(guī)定)時(shí)的R′近似為最大值，這是一種比較理想的水力工況。

0.553θ+0.048

(20)

式(20)的R2= 0.999 7，適用于θ=0.5～2.0范圍。

3 異形橢圓斷面均勻流特性分析

根據(jù)水力學(xué)原理，均勻流的流速v與流量Q分別為

(21)

(22)

式中：C為謝才系數(shù)；i為比降；n為糙率。

為便于分析異形橢圓斷面均勻流的水力學(xué)特性，使其具有普遍意義，能適用于不同斷面尺寸、不同糙率的情況，采用量綱一來(lái)表示。若不滿管流的流速為v，滿管流的流速為v1，則流速比β為

(23)

若不滿管流的流量為Q，滿管流的流量為Q1，則流量比η為

(24)

在式(23)和式(24)中，不滿管流的面積系數(shù)由式(8)或式(11)確定；滿管流的面積系數(shù)(μ1為常數(shù))由式(10)確定；T(θ,α)由式(15)確定；T1由式(16)或式(17)確定。因此，流速比β和流量比η均為θ和α的函數(shù)。圖7為異形橢圓和圓形斷面均勻流流速比和流量比的特性曲線比較，表1為異形橢圓和圓形斷面均勻流流速比和流量比極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水力要素。

圖7 均勻流流速比和流量比的特性曲線比較

由圖7和表1可知，當(dāng)α= 0.457和α= 0.812時(shí)，θ=1的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面均勻流的流速比和流量比分別等于滿管流的相應(yīng)值。θ<1(H型)與當(dāng)α<0.681時(shí)，θ=1的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面均勻流的流速比大于圓形斷面的相應(yīng)值。當(dāng)α>0.681時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的流速比小于圓形斷面的相應(yīng)值；當(dāng)α=0.780和α=0.813時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓和圓形斷面分別達(dá)到最大流速比β=1.124和β0=1.140。當(dāng)α<0.849時(shí)， 標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的流量比大于圓形斷面的相應(yīng)值，當(dāng)α>0.849時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的流量比小于圓形斷面的相應(yīng)值；當(dāng)α=0.935和α=0.938時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓和圓形斷面分別達(dá)到最大流量比η=1.062和η0=1.076。

表1 均勻流流速比和流量比極大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的水力要素

θ=1(標(biāo)準(zhǔn)型)的異形橢圓斷面流速比和流量比隨充滿度的變化曲線相比，均是先陡長(zhǎng)后變?yōu)榫忛L(zhǎng)達(dá)到最大值再迅速減小到滿管流的相應(yīng)值；θ>1(W型)與θ=1(標(biāo)準(zhǔn)型)的異形橢圓斷面流速比和流量比隨充滿度的變化曲線相比，均是先緩長(zhǎng)后變?yōu)槎搁L(zhǎng)達(dá)到最大值再迅速減小到滿管流的相應(yīng)值。

按照水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范[1-2]無(wú)壓隧洞斷面凈空面積不宜小于15%，其高度不應(yīng)小于400 mm的規(guī)定，對(duì)應(yīng)85%的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e，經(jīng)計(jì)算異形橢圓和圓形斷面相應(yīng)的最大充滿度分別為0.767和0.793，前者的相對(duì)凈空高度較大，更容易滿足。由上述分析可以看出，在充滿度小于最大充滿度的條件下，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓比圓形斷面具有更大的流速比和流量比，即在相同設(shè)計(jì)條件下標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓比圓形斷面過(guò)流量大。由圖7還可以看出，在相同設(shè)計(jì)條件下對(duì)壓縮系數(shù)0.67≤θ<1的H型和1<θ≤1.50的W型異形橢圓斷面同樣具有比圓形斷面過(guò)流量大的優(yōu)點(diǎn)。

對(duì)于具有結(jié)構(gòu)支撐的挖掘，壓縮系數(shù)θ一般取原位應(yīng)力比的平方根[24]；壓縮系數(shù)θ=1的標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓與圓形斷面的獨(dú)立變量個(gè)數(shù)相同。

4 實(shí)例分析

在引漢濟(jì)渭工程秦嶺黃三段無(wú)壓隧洞斷面設(shè)計(jì)中，Q=70.0 m3/s、i=1/2 500、n=0.014。羅濤等[25]經(jīng)對(duì)圓拱直墻形、圓形和標(biāo)準(zhǔn)馬蹄形斷面的綜合比選分析，推薦采用馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)斷面：其頂拱內(nèi)緣半徑R1=3.38 m，圓心角180°；側(cè)拱內(nèi)緣半徑R2=10.14 m，圓心角11.41°；底拱內(nèi)緣半徑R2=10.14 m，圓心角22.82°；側(cè)拱拱腳處倒角半徑R3=1.50 m，圓心角67.18°。據(jù)此可知，該無(wú)壓隧洞內(nèi)輪廓線的最大寬度與最大高度都為6.76 m，總面積A1=38.43 m2，其斷面形狀及尺寸見(jiàn)圖8，相應(yīng)的設(shè)計(jì)水力要素特征值見(jiàn)表2。

表2 等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型斷面水力要素特征值比較

圖8 等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型斷面比較(單位：m)

根據(jù)羅濤等[25]在引漢濟(jì)渭大型深埋無(wú)壓隧洞斷面優(yōu)化設(shè)計(jì)中，給出的引漢濟(jì)渭工程黃三段無(wú)壓隧洞馬蹄形Ⅱ型斷面的設(shè)計(jì)資料，選用等面積標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面進(jìn)行水力學(xué)分析，并與馬蹄形Ⅱ型斷面進(jìn)行比較分析。

在引漢濟(jì)渭工程黃三段無(wú)壓隧洞設(shè)計(jì)流量、比降和糙率不變的條件下，選用與黃三段馬蹄形Ⅱ型斷面相應(yīng)的等面積標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓斷面(以下稱為等效異形橢圓斷面)進(jìn)行對(duì)比分析。即等效異形橢圓斷面與黃三段馬蹄形Ⅱ型斷面的總面積相等(A1=38.43 m2)，且壓縮系數(shù)θ=1。由異形橢圓的面積公式(7)和面積系數(shù)μ1反推計(jì)算得到等效異形橢圓斷面的最大寬度與最大高度都為6.95 m，其斷面形狀見(jiàn)圖8中虛線，zw=H/e=2.56 m處的點(diǎn)劃?rùn)M線表示最大寬度的位置高度。

下面要解決的問(wèn)題是：已知Q、H、θ、n、i，求α。即求等效異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面的水深h。首先，計(jì)算滿管流的流量Q1，由式(22)得到：

(25)

代入A1和R1的表達(dá)式化簡(jiǎn)得到：

(26)

再代入相應(yīng)的數(shù)值，得到θ=1時(shí)等效異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面滿管流的流量Q1S=79.16 m3/s。

其次，由式(24)得到相應(yīng)的設(shè)計(jì)流量比ηS=0.884，再由圖7查得相應(yīng)的充滿度αS=0.707，則有等效異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面相應(yīng)的水深為hS=4.91 m。

最后，依次計(jì)算等效異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面的過(guò)水?dāng)嗝婷娣e、濕周、水力半徑、流速、凈空面積比和凈空高度，具體數(shù)值見(jiàn)表2。

由表2可以看出，等效異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面的過(guò)流能力能夠滿足《水工隧洞設(shè)計(jì)規(guī)范》[1-2]的規(guī)定，等效異形橢圓與羅濤等[25]推薦采用的馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)無(wú)壓隧洞斷面的水力要素特征值非常接近，前者的凈空高度增加了8.5%，水力要素其他特征值的最大相對(duì)誤差絕對(duì)值只有2.8%。

5 結(jié) 論

a. 基于河流中心穩(wěn)定點(diǎn)源條件下保守物質(zhì)等濃度線方程，定義了一種新型Wu’s二參數(shù)曲線——異形橢圓，以隧洞斷面內(nèi)輪廓線的最大高度H和最大寬度W為二參數(shù)，給出了異形橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。據(jù)此，提出的異形橢圓隧洞斷面是由一個(gè)獨(dú)立二參數(shù)方程表征的完整連續(xù)與導(dǎo)數(shù)光滑曲線。

b. 以隧洞斷面的寬高比(壓縮系數(shù)θ=W/H=1)為判據(jù)，給出了H型、標(biāo)準(zhǔn)型和W型異形橢圓的形狀分類；推導(dǎo)出了異形橢圓無(wú)壓隧洞斷面的水面寬度、過(guò)水?dāng)嗝婷娣e、濕周、水力半徑等水力要素的理論計(jì)算公式，其表達(dá)式均為統(tǒng)一連續(xù)函數(shù)，無(wú)須采用分區(qū)函數(shù)表述，斷面尺寸調(diào)整靈活，在無(wú)壓隧洞斷面設(shè)計(jì)中更具優(yōu)勢(shì)。

c. 當(dāng)無(wú)壓隧洞斷面凈空面積比滿足大于15%的規(guī)定時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓的流量比大于圓形斷面的相應(yīng)值。即在相同設(shè)計(jì)條件下標(biāo)準(zhǔn)型異形橢圓比圓形斷面過(guò)流量大，前者的相對(duì)凈空高度也較大，有利于改善過(guò)流條件提高安全性。

d. 給出的異形橢圓斷面不滿管流與滿管流時(shí)流速比和流量比的理論計(jì)算公式及曲線圖，適用于不同規(guī)格的斷面尺寸、壓縮系數(shù)、糙率和比降，計(jì)算簡(jiǎn)單快捷、方便實(shí)用，為該斷面的水力設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

e. 實(shí)例分析表明，等效異形橢圓與馬蹄形Ⅱ型(帶倒角)無(wú)壓隧洞斷面的水力要素特征值非常接近，前者的凈空高度增加了8.5%。因此，異形橢圓斷面可作為一種新型的輸水隧洞斷面形式，極具學(xué)術(shù)研究和應(yīng)用價(jià)值。