函數與不等式思維，恒成立問題妙解決

謝朝平

摘 要：含參不等式恒成立問題是新高考與競賽等方面數學試卷中的一個重點與熱點.此類問題場景新穎，知識交匯，內涵豐富，解法靈活.本文結合一道競賽題，就含參不等式恒成立場景下確定參數的取值范圍問題加以剖析，總結解題技巧，歸納方法策略，指導師生的數學教學與學習以及解題研究.

關鍵詞：不等式；恒成立；函數；單調性；性質

含參不等式恒成立問題一直是高考、競賽以及模擬考試中數學試卷命題的熱點題型，有時以小題（選擇題或填空題）形式出現，有時以解答題形式出現，多是壓軸題.此類問題形式多樣，變化多端，創新新穎，難度較大，解題思維靈活多變，對于考查“四基”、數學能力與素養等方面都是一個很好的落腳點，具有較好的區分度，倍受各方關注.

1 問題呈現

問題：（2023年清華大學優秀中學生暑期學堂）已知x≥y≥0，且x+y+x-y≤a（x+y），則實數a的取值范圍是 ???.

此題以含參不等式恒成立為場景加以巧妙創設，通過確定參數的取值范圍來達到全面考查“四基”的目的.題目簡單明了，在同一不等式中含有兩個變量和一個參數，會給問題的分析與求解造成較大的困惑與難度.

在實際解決問題時，可以從函數思維切入，利用函數的構建以及函數單調性的判斷來確定最值；也可以從不等式思維切入，利用不等式的基本性質與重要不等式的應用來放縮處理等.

函數思維與不等式思維是解決該問題的兩個主要思維方式，而具體處理問題時，又可以從不同視角來切入，結合不同的技巧方法來分析與處理.

2 問題破解

2.1 函數思維

3 教學啟示

3.1 總結方法，歸納策略

解決含參不等式恒成立問題，最為常見的技巧方法是函數思維與不等式思維.在函數思維應用中，合理地對相應的不等式進行恒等變換，分離參數并構建函數，借助函數的圖象與性質、函數與導數的應用等，正確判斷函數的單調性，從函數角度來化歸與應用；在不等式思維應用中，基于分離參數的基礎，借助不等式的基本性質、重要不等式（基本不等式、柯西不等式等）的合理放縮，從不等式角度來分化與應用.

當然，結合含參不等式恒成立問題的實際情況，有時也可以通過代數式的結構特征與幾何意義等，借助數形直觀思維、三角函數思維等來分析與處理，合理構建數學模型或三角換元處理等，巧妙轉化.

3.2 交匯思想，提升能力

含參不等式恒成立問題，往往可以很好交匯并融合函數與方程、不等式、三角函數、函數與導數等相關的基礎知識，契合高考“在知識交匯點處命題”的指導精神，成為考查知識、思想、能力等方面一個比較突出的知識點.

同時，在分析與解題過程中，又很好滲入函數與方程、化歸與轉化、分類討論以及數形結合等基本數學思想方法，技巧方法多變，這就需要教師在教學與學習過程中，不斷去領悟、體會與總結，對于鍛煉學生的綜合解題能力與邏輯推理能力，培養學生思維的靈活性、創造性等都有著非常獨特的作用.