從高考試題看“恒成立”問題的解決方法

張穎

摘 要：本文結合新高考實施以來部分地區高考原題，討論分析“恒成立”問題在高考試題中的呈現形式及解決辦法.通過對高考試題的分析，總結一些共性的解題策略.首先判斷待解題型是否屬于“恒成立”問題，若屬于“等式恒成立”問題，則可通過“特殊化”的辦法打開思路，尋找動因，利用變化中的不變量構造等量關系；若屬于“不等式恒成立”問題，則可利用參變分離等方法，從函數的角度理解問題，進而求出解答.

關鍵詞：恒成立；特殊化；函數；動因

“恒成立”問題一直是高考試題中的一個熱點問題.新高考實施以來，各類題型、不同考點中往往都會滲透“恒成立”問題.那么，應如何解答“恒成立”問題？下面結合近幾年的高考試題談一些求解此類問題的方法.

3 結論

綜合前面幾道高考試題的解答，今后我們在遇到問題時，可以按照下面的線索進行思考：

（1） 判斷所要解決的問題是否為“恒成立”問題.

首先看已知條件中是否有“任意的”“無論取何值”“存在無窮個”等對于某個命題都成立的語句.若并未明確指出的，我們可以通過探尋題意中是否存在“變中之不變”的含義來辨別是否為“恒成立”問題.

（2） 若屬于“等式恒成立”問題，我們可以從兩個方面考慮：

其一，能否采用“特殊化”的思想，如例1、例2.此時，或許有些問題就解決了，而哪怕有些問題不能完全解決也基本能找到問題的突破口，使復雜問題簡單化，給我們提供一些啟示.

其二，尋找“變”的原因（即“動因”）和“不變”的量，如例3.也就是說，要從問題中挖掘出是哪一個量在不斷地變化，而哪一個量又是不變的.這樣，可以列出那些“不變”的量的等式.

（3） 若問題屬于“不等式恒成立”問題，我們也可以從兩個方面考慮：

其一，將所求參數a與變量x分離，比如例4.轉化為f（x）＞a或f（x）＜a恒成立，進而求出f（x）的最值，滿足a＜f（x）min或a＞f（x）max，找出參數的范圍.

其二，構造新函數y=f（x）-a，再利用其圖象，給出滿足y＞0或y＜0的充要條件，進而將問題解決.

當然，當參數和變量可以分離時，分離參數的方法較為方便，尤其是在變量x的取值有范圍限制的時候.

總之，從歷年的考題變化看，“恒成立”問題是常考常新的熱門話題，而且常常出現在中檔或中檔以上難度的解答題中.對于“恒成立”問題，學生要掌握以上介紹的幾種處理方法，做到心中有底，這樣才能以不變應萬變.

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