聚焦數形結合思想，巧解函數問題

俞航斌

摘 要：函數貫穿整個初高中階段，不僅是數學學習的重要組成，也是數學學習的難點，更是考察的熱點.在傳統函數問題解答中，學生常常面臨諸多問題，致使其頻頻失分.鑒于此，即可借助數形結合思想，旨在借助直觀的圖形，將復雜的函數問題簡單化、具體化，拓展學生的解題思路，提升學生的解題效率.本文就以此視角切入，結合一定的例題，針對數學結合思想在函數問題中的具體應用進行了詳細地探究，具備一定的參考價值.

關鍵詞：初中數學；函數問題；數形結合；解題路徑

函數問題貫穿初高中數學學習，也是數學學習的重難點.針對初中階段來說，函數占據很大的比重，包括一次函數、正比例函數、反比例函數、二次函數等.同時，在最新的初中數學課程標準中，也對函數學習提出了新的目標：理解并掌握函數概念、解析式、圖象性質特點，建立函數與方程不等式之間的函數，將函數知識靈活應用到實際生活中等.在這一背景下，初中函數已成為考察的重點.在調查中發現當前初中生函數問題解答能力比較低，致使學生在解答函數問題時常常面臨諸多困難，甚至頻頻出現失分現象.鑒于此，唯有靈活融入數形結合思想，將抽象、復雜的數學問題進行轉化，使其變得更加簡單、具體，能夠幫助學生撥開云霧，迅速找到解題的思路.

1 數形結合思想與函數問題解題

函數作為初中數學中的重要組成，學生在解答這一類型的問題時，不僅僅要掌握相關的數學基礎知識，還應具備一定的解題技巧.在諸多函數解題技巧中，數形結合思想尤為常見.數形結合不僅僅是一種數學思想，也是一種非常重要的數學解題工具.關于數學這一學科來說，“數”和“形”是基本的研究對象，兩者相輔相成、缺一不可，共同構成了數學學科的研究要素.同時，在最新的數學課程標準中，也對其提出了明確的要求，即：在組織和開展數學教學時，并關注學生的直觀幾何性，借助圖形這一工具，對問題進行描述和分析，最終完成數學問題的解答.可以說，數形結合思想以其獨特的優勢，已經在函數問題、不等式問題、方程問題中得到了廣泛的應用，不僅促進了抽象問題具體化、復雜問題簡單化，也在很大程度上促進了學生思維的發展.

經課堂教學實踐證明，將數形結合思想與函數問題融合到一起，可借助數形結合思想化復雜為簡單、化抽象為具體，并發散學生的解題思維，真正提升學生的數學解題能力.除此之外，在數形結合思想的輔助下，還可將原本抽象的函數概念和性質等直觀地展示出來，使得學生在形象感知中，對其形成深刻地理解和記憶，提升了學生的學習效果，為日后的函數解題奠定了堅實的基礎；另外，數形結合解題訓練也是一種數學思維訓練模式，可促使學生在訓練中，逐漸形成從多個角度分析問題的能力，不僅促進了思維的發展，也實現了數學知識的靈活運用［1］.

2 數形結合思想在初中函數解題中的具體應用

2.1 數形結合，開拓解題思路

在日常函數解題教學中，存在一個常見的現象：相關的例題講了很多，但是學生的函數解題能力始終停留在教師所講解的題目中，只要條件稍微改變一下，學生便無從下手.導致這一現象的主要原因：教師在教學時，常?！熬皖}論題”，忽視了“授之以魚不如授之以漁”，致使學生在學習中并未真正領悟其中蘊含的數學思想，難以在學習中形成明確的解題思路.鑒于此，為了提升學生的函數解題能力，就必須要在日常解題教學中，適時融入數形結合思想，促使學生在圖形的輔助下，形成一定的數學解題思維.

例1 若A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）三點均在反比例函數y=2/x圖象上，且A、B、C三點橫坐標的關系是x1＜x₂＜0＜x₃，則y₁、y₂、y₃三者的大小關系是（ ?）.

A. y₃＞y₁＞y₂

B. y₁＞y₂＞y₃

C. y₂＞y₁＞y₃

D. y₃＞y₂＞y₁

解析：這一題目考察的點是“反比例函數圖象上點的坐標特征”，學生在解答這一問題時，唯有結合反比例函數y=2/x，并將其圖象畫出來（如圖1所示），并對函數的圖象進行判斷，結果為：該函數圖象分布在第一、第三象限之內.隨即，學生即可結合函數圖象所在的象限，判斷出y值伴隨著x的增加而逐漸減小.同時，再結合題目中所給的條件x₁＜x₂＜0＜x₃，即可精準判斷出y₁、y₂、y₃三者之間的關系為y₃＞y₁＞y₂.

結合本題考查的知識點，如果按照常規的思路進行解答，常常需要耗費大量的時間和精神，不宜成為該題目的解答方式.在這一背景下，借助數形結合思想，在y=2/x函數圖象的輔助下，即可精準確定y₁、y₂、y₃三者的關系.

2.2 數形結合，培養解題思維

函數知識點集數和形于一體，一個函數可以用解析式進行表示，也可以用圖形進行表示.這一點，不僅僅凸顯了函數中蘊含的數形結合思想，也是學生解答函數問題的重要方法.在解決函數問題時，學生唯有融入數形結合思想，才能將原本抽象、復雜的函數問題進行轉化，進而形成明確的解題思路.

例2 如圖2所示，點A在雙曲線y=k/x上，且AB⊥x軸，垂足為B點，且△AOB的面積為2，則k的值為多少？

解析：這一函數題目主要圍繞“反比例函數系數k的幾何意義”進行考察，將函數知識與幾何知識融為一體，難度系數有所增加.在具體解答這一問題時，結合反比例函數系數k存在的幾何意義，以及函數所屬第二、四象限的性質，即可將其確定出來.具體來說，結合題目中所給的條件，得知S_△AOB=2，因此k=4.又因為y=k/x的圖象分布在第二、第四象限之內，因此反比例函數系數k＜0，即：k=-4.這一類型的題目在日?？荚囍杏葹槌Ｒ?，做題的關鍵就在于正確理解k的幾何意義，并結合圖象分析進行解答［3］.

例3 如圖3所示，直線l1的解析式為：y=x+1，直線l2的解析式為：y=mx+n，兩條直線相交于點P（a，2），那么，關于x的不等式x+1≥mx+n的解集是多少？

解析：這一題目將一次函數與不等式知識完美地融合到一起，充分體現了數學知識的特點.在解答這一問題時，如果按照傳統的解題思路進行，學生需要結合兩條直線的解析式，求出a的值，但是無法確定出m、n的值，只能得出兩者的關系.面對這一現狀，在引導學生解答該題目時，就可借助數形結合思想，將l1縱坐標大于l2的部分標出來，就可直接發現，包括P點在內的右側部分，均是符合題目要求.同時，解題題目中所給的條件，因為P點的橫坐標為a，且a=1.由此即可得出答案，該不等式的解集為x≥1.由此可見，在部分函數題目中，單純地借助數學思維進行解題，常常會陷入到一定的思維困境中.此時，就可融入函數圖象這一工具，通過圖形分析，由圖轉數，最終即可輕松得出答案.

例4 證明方程（x-m）（x+n）=1必有兩個實數根，且x1＞m，x2＜m.

解析：這一道證明題，如果按照常規的解題思路，先將其進行轉化，使其成為一元二次方程，然后再通過判別式的大小，對方程實數根的個數進行判斷，最后求解并與m進行比較.這種解題思路顯然比較困難.此時，就可融入數形結合思想，根據方程轉化成為函數，并畫出函數圖象.具體來說，假設y=（x-m）（x+n）-1，此時結合二次函數的性質，得出該函數的二次項系數大于0，因此該函數圖象為開口向上的拋物線，又因為當x=m時，y=-1，因此，點（m，-1）在x軸的下方，據此就可將該函數的圖象畫出來（如圖4所示）.假設該拋物線與x軸存在兩個交點，分別為A（x₁，0）B（x₂，0），且這兩點位于（m，-1）的兩側，則存在x₂＜m＜x₁，且x₁、x₂則為方程的解.在本題目中，常規證明思路常常會受阻，唯有借助數形結合思想，將方程進行轉化，構造二次函數，并據此畫出圖象，結合其性質進行證明.

2.3 數形結合，解決實際問題

新課程下，倡導培養學生解決實際問題的能力，真正實現知識的“學以致用”.函數問題在生活中也尤為常見.鑒于函數問題的特點，一旦遇到生活問題，將是難上加難，致使不少學生都出現失分的現象.針對這一現狀，在引導學生進行解題時，就可融入數形結合思想，徹底攻克這一難題.

例5 花園中有一個圓形的噴水池，噴水池中間有個噴水柱正在噴水，水流從柱子的頂端朝著各個方向噴出，形成了條條拋物線（如圖5所示），假設點A為噴水柱的頂端，點B為噴水拋物線的最高點，噴出的水流恰恰在C點落入到水池中.假設水流的高度y（米）和水平距離x（米）之間存在一個函數關系式，這一函數的解析式為y=-x²+2x+5/4.

求：（1） 噴水柱DA的高度.

（2） 水流噴出的最大的高度是多少？

（3） 要想保證該噴水池中噴泉的水不會噴到外面，則圓形水池的半徑最小應控制在多少？

解析：這一問題就是函數在生活中的應用，以學生最為常見的噴泉作為題目素材，為學生設計了有關函數的問題.在第（1）問中，要求OA的高度，即可結合圖象得知，當x=0時的縱坐標即為噴水柱OA的高度，通過函數解析式即可得出A點的坐標，即0，54，因此，OA的高度為1.25米；在第（2）問的解答中，水流噴出的最大的高度即為函數的頂點坐標，據此就可將函數進行轉化，使其成為頂點式，得出y=-（x-1）²+9/4，最終得出水流的最高高度為2.25米；在第（3）問的解答中，就可將水池半徑進行轉化，使其成為方程-x²+2x+5/4=0的根，最終解方程得出C點的坐標為（2.5，0），因此水池的半徑最小應控制在2.5米［4］.由此可見，在這一題目中，解題的關鍵就是對生活問題進行轉化，使其成為數學中常見的函數問題，再在基礎上借助數形結合思想，利用圖象分析即可輕松解答.

2.4 數形結合，規避常見的錯誤

在初中各種類型的考試中，函數問題尤為常見.部分學生雖然已經掌握了相關的知識，但在解題時忽略了數形結合思想的融入，致使解題中頻頻出現失誤.面對這一現象，在引導學生規避解題錯誤時，就可借助數形結合思想這一工具，引導學生在代數和幾何思維相結合的過程中，得出正確的答案.

例6 當-2≤x≤2時，求函數y=x²-2x-3的最大值和最小值？

解析：這是一道非常基礎的函數最值問題，也是各大考試重點.部分學生在解答這一問題的時候，由于其忽略了數形結合思想的應用，導致其出現錯誤，即：分別將x=-2，x=2代入到函數解析式中，求出對應的值.當x=-2時，y=5；當x=2時，y=-3.據此得出該函數的最大值為5，最小值為-3.這一解題過程卻是錯誤的，究其主要原因就是在代數思維的影響下，直接將自變量x的最大值和最小值代入到函數式中，誤認為其對應的值就是函數最大值和最小值.

但是在解答問題時，如果融入了數形結合思想，就會出現不一樣的答案.具體來說，先引導學生結合所學的內容，將函數y=x²-2x-3的圖象畫出來（如圖6所示）.

對圖象進行觀察得知，該函數是一個開口向上的拋物線，根據所學知識，很輕松得出其對稱軸為x=-b/2a=1.因此，當x=1時，y_最小=-4.之后，再將x=-2帶入到函數解析式中，得出y=5；將當x=2帶入到函數解析式中，得出y=-3，因為-3＜5.因此，當x=1時，函數y=x²-2x-3存在最小值，y_最小=-4；當x=-2時，函數y=x²-2x-3存在最大值，y最大=5.由此可見，在解答部分初中函數問題時，一旦忽視了數形結合思想的運用，按照常規的代數思維解題，就會出現各種各樣的錯誤，而在數形結合的輔助下，則能有效規避這一現象，不斷提升學生的數學解題正確率.

3 結語

綜上所述，在數學學習中，數軸打開了數形結合思想的帷幕，隨之而來的不等式、函數等知識，都必須要依托于一定的數形結合思想，才能形成深刻的理解，才能靈活解決相關的問題.尤其是在新課程改革背景下，數形結合思想作為一種重要的數學思想得到了前所未有的重視.鑒于此，作為一名初中數學教師，唯有立足于具體的內容，將數形結合思想融入到函數日常教學、解題訓練中，才能促使學生在潛移默化中形成一定的數形結合思想，并在這種意識的支配下，將其靈活應用到日常解題中.

參考文獻：

［1］ 姚靜嫻.初中函數教學滲透數形結合思想的研究［D］.揚州大學，2022.

［2］ 方福強.淺析初中函數“數形結合”的解題策略［J］.新課程（下），2019（4）：88.

［3］ 廖瓊.試論數形結合思想在函數解題技巧中運用的價值［J］.讀寫算，2019（10）：192.

［4］ 雷紅，楊文.數形結合思想在初中數學解題中的應用——以初中函數問題為例［J］.福建中學數學，2019（2）：4648.