利用GeoGebra實現《解析幾何》教學的可視化

姜兆敏 孟鳳娟 嚴靜

摘 要：文中基于GeoGebra動態幾何軟件，以師范生的解析幾何課程為例，探索使解析幾何教學內容可視化的途徑，為學生探究解析幾何中的概念、理論、圖形等提供思路，有效提升了課堂教學效果，培養了數學方向師范生的空間想象能力和運用數形結合的思想方法研究問題的能力，提高了師范生的數學素養水平和信息技術應用能力.

關鍵詞：GeoGebra軟件；可視化；動態演示；解析幾何

《解析幾何》是師范專業數學方向的一門必修課，具有抽象性和直觀性兩重屬性.關于這部分的教學用傳統教學手段，教師很難徒手在黑板上快速、準確、生動地畫出空間曲面、曲線，雖然可以結合PPT講解，但是PPT上的靜態的圖形缺乏生動性、直觀性，難以實現教學效果.為了改善這類弊端，有的高校教師用數學軟件Matlab、Mathematic、Maple等輔助教學，但是這些軟件需要較強的編程能力，不適合大部分數學教師，且這些軟件不能插入PPT使用.“工欲善其事，必先利其器”，動態幾何畫板GeoGebra軟件簡便易學［1］，文件占用內存小，可以加載到PPT中演示，為一些需要“數形結合”課程的教學帶來了高效便捷，同時，生動的動畫演示增強了學生的學習興趣，拓展了學生的空間想象力，能迅速提升教學效果.

蘇格拉底時代，教師需要聲如洪鐘；課堂教學時代，教師需要板書工整；PPT教學時代，教師需要熟悉多媒體教學；慕課教學時代，教師需要讓課堂生動、有趣；智慧教學時代，教師需要學會智能操作.隨著時代的進步和發展，教師應與時俱進，優化課堂教學模式，不斷成長和進步.信息技術時代，人們對信息的獲取絕大部分是依賴視覺實現的，信息的圖像化能夠加深學生對所學內容的理解.教師將信息技術與課程深度融合的目的是以信息技術為云梯，縮小數學家的思維方式和學生的思維方式之間的鴻溝，考慮學生的認知心理，理解學生的認知困難所在，能更有效地助力學生的學習，為學生探索未知啟發思路，引導學生改善學習方法，實現傳統教學手段難以實現的教學效果.在《解析幾何》［2］的教學中，如果教師應用GeoGebra軟件輔助教學，將教學內容進行可視化、多元化呈現，能使得一些抽象復雜的教學內容變得直觀易懂，促進學生迅速掌握所學知識，提高學習效率，教師能夠輕松實現《解析幾何》課程的培養目標.由于GeoGebra軟件容易上手，教師也可以在課堂上向學生傳授一些指令的使用方法，提高新時代的師范生應用信息技術的能力，使師范生的高等教育向著信息化高水平發展.

1 可視化案例

1.1 理解圓錐曲線的概念

用一個平面去截一個二次錐面，得到的交線稱為圓錐曲線，圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線.在教學時，教師可以利用GeoGebra軟件為學生理解圓錐曲線的概念創設背景，動態展示不同位置的平面去截圓錐面得到不同形狀的交線，幫助學生理解圓錐曲線的概念.具體過程如下：

在指令欄輸入：無限長圓錐（（0，0，0）， z軸， 45°），得到圓錐面z2=x2+y2，創建角度滑動條α，最小0°，最大360°，創建數值滑動條b，最小-5，最大5，輸入指令：平移（旋轉（z=0， α， y軸）， 向量（（0， 0， 0）， （0， 0， b））），得到平面p，使用工具欄中的相交曲線工具，得到平面p和圓錐面的交線，啟動滑動條α、b，改變交線的形狀，還可以創建平面p的平面視圖，在平面視圖上考查截線形狀，隨著滑動條取值的改變，平面的位置隨之變化，得到變化的圓錐曲線.

1.2 截痕法研究曲面的形狀

在空間解析幾何教學中，有些空間曲面形狀比較復雜，學生很難通過曲面的方程得到曲面的形狀，比如雙曲拋物面.在課堂教學中，教師很難在黑板上徒手畫出圖形，即使用繪圖軟件畫出靜態圖形在PPT上展現給學生，但是學生們也只是對圖形走馬觀花似的看了一番，只能直觀感受到雙曲拋物面形狀像“馬鞍”，并不能深入理解曲面方程和圖形的內在聯系，也不能深刻領會方程中各個變量的內在數量關系.

如果教師使用GeoGebra進行教學，那么將會給學生帶來全新的學習體驗.教師結合雙曲拋物面的方程表達式z=x²/a²－y²/b²，令x，y，z取不同的常數a，b，c，首先進行理論上的推導，得到不同的截線的方程，然后再利用GeoGebra動態展示截痕，將抽象的幾何圖形變成“看得見，摸得著”的動態曲線，通過觀察動態演示，學生能非常容易地把截線和其方程建立起直接聯系，并通過在大腦中綜合截痕得出雙曲拋物面的形狀，在這樣的學習中，學生更容易頓悟出雙曲拋物面名稱的由來.

作圖過程：在指令欄輸入：如果（-5<=x<=5-5<=y<=5，x^2/4-y^2/9），得到雙曲拋物面a（x，y），創建三個數值滑動條a，b，c，使用工具欄里的相交曲線指令，分別得到雙曲拋物面a（x，y）與平面x=a，y=b，z=c的截線，啟動動畫a，b，c，得到截線的動畫.

1.3 空間曲面概念的可視化

旋轉曲面是由平面里的一條曲線繞著同一平面里的一條直線旋轉一周形成的曲面.在進行旋轉曲面的教學時，借助GeoGebra可以動態演示旋轉曲面形成的過程.通過改變母線的形狀，能夠旋轉出不同形狀的旋轉曲面，學生在學習過程中，能直觀地感受到數學的美.下面以圓環面為例簡要說明旋轉曲面的教學設計.

同時打開繪圖區和3D繪圖區，首先在平面繪圖區繪制母線c：x²+（y－2）²=1，在指令欄輸入： x^2+（y-2）^2=1，得到圓c，然后輸入：曲面（c，360°，x軸），可在3D繪圖區生成圓周c繞x軸旋轉所得到的旋轉曲面——圓環面.如果要展示圓環面的形成過程動畫，可創建角度滑動條α，最小0°，最大360°，在指令欄輸入：曲面（c，α，x軸），啟動動畫α，那么可以觀察到圓環面的整個形成過程.我們還可以繪制母線c繞著x軸旋轉的動態過程，創建整數滑動條n，最小1，最大50，在指令欄輸入：序列（旋轉（c，2pi*i/n，x軸），i，1，n），可以觀察到母線繞著x軸旋轉生成圓環面的過程，如圖1.將母線換成其他曲線，可以生成不同形狀的旋轉曲面.

1.4 理解空間曲面、曲線參數方程

1.4.1 球面的參數方程及經緯線

空間中一點M的直角坐標（x，y，z）和球面坐標 （r，θ，φ）的關系為

在講解球面坐標（r，θ，φ）的定義時，可以借助滑動條動態演示. 創建數值滑動條r，范圍［0，5］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，2π）， 啟動滑動條r，可以觀察到球面的大小發生改變. 創建角度滑動條α，范圍［0， 2π］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π，θ，0，α）， 創建角度滑動條β，范圍［0，π］，輸入：曲面（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，β，θ，0，2π），啟動角度滑動條α和β，可以觀察到部分球面的生成，將球面的參數方程中的參數φ，θ的幾何含義和取值范圍直觀的呈現給學生，如圖2所示.

在球面的參數方程教學時，還可以進一步地利用序列指令繪制球面上的經線和緯線.在指令欄輸入：序列（曲線（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），φ，0，π），θ，0，2π，0.5），得到球面上的一組經線，序列（曲線（rsin（φ）cos（θ），rsin（φ）sin（θ），rcos（φ），θ，0，2π），φ，0，π，0.5），得到球面上的一組緯線，可以進一步加強學生對于球面的參數方程中的參數φ，θ的定義的理解.

1.4.2 例題展示

2 思考與展望

目前，GeoGebra軟件在中小學數學教學中已經廣泛使用［35］.實踐證明，在教學中利用GeoGebra軟件對于動點問題、最值問題和函數圖像的教學起到了非常顯著的教學效果.在國外高校GeoGebra軟件使用非常廣泛［6］，在國內高校的教學中，GeoGebra軟件的使用已經悄然升起.GeoGebra軟件除了可以輔助解析幾何的教學，還可以應用于微積分、線性代數、概率論與數理統計、物理、化學等學科.鑒于GeoGebra軟件的優勢，在高校的理工科教學中有非常廣闊的發展空間，值得大力推廣.將GeoGebra軟件融入大學數學課堂，優化課堂教學形式已成為必然趨勢.GeoGebra軟件豐富的網絡學習資源以及容易上手的特點，利于學生開展數學實驗，使師范生在本科階段掌握信息化技術，更有利于學生將來就業和提高中小學數學授課水平.對于大學教師來說，利用GeoGebra軟件輔助教學能夠提高教學質量，訓練學生的空間思維能力，培養學生善于利用先進工具探索新知的良好學習品質，減輕學生的認知負荷.但是教師在教學時，如何在抽象思維和具象思維之間的取得平衡，避免過度可視化教學內容，把握教學內容可視化的時機，做到不提前不滯后，如何指導學生開展數學實驗，還需要我們進一步的探索和研究.

參考文獻：

［1］ 沈翔.GeoGebra基本操作指南［M］.北京：高等教育出版社，2021.

［2］ 呂林根，許子道.《解析幾何》（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2019.

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［8］ 李春峰.探索化歸思想在高中數學解題中的應用［J］.數學之友，2022，36（6）：5355.

［9］ 李瑩.課程思政視域下的高中數學教學設計研究——以高中數學“數列”教學為例［J］.數學之友，2022，36（6）：3538.

［10］ 周凱悅，湯建鋼.人教版與北師大版關于“線段、直線、射線”內容的比較研究［J］.數學之友，2022，36（6）：912.

［11］ 張文晴，曹佳慧，李香，李婭玲，王雪燕.新高考背景下江蘇省數學試題變化分析［J］.數學之友，2022，36（5）：8385.

［12］ 孟凡群.四法演繹一道圓錐曲線最值問題［J］.數學之友，2022，36（5）：6668.