巧作輔助線 找到突破口

陳學(xué)義

中圖分類號(hào)：G633.6???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B??? 文章編號(hào)：1672-1578（2020）21-0165-01

通過證明三角形全等是解決有關(guān)證明角相等或線段相等的重要方法，也是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)考察內(nèi)容，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何證明的難點(diǎn)內(nèi)容，尤其在需要作輔助線后才能找出全等三角形的問題更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，本文通過“巧作輔助線，找到突破口”為題，為讀者歸納幾題先巧作輔助線，再通過證明三角形全等來解決線段相等的問題，僅供參考。

問題背景，請(qǐng)你證明以下兩個(gè)命題：

①如圖1，在正三角形ABC中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正三角形外角∠ACK的平分線，若∠ANM=60°，則AN=NM;

②如圖2，在正五邊形ABCDE中，N為BC邊上任一點(diǎn)，CM為正五邊形外角∠DCK的平分線，若∠ANM=108°，則AN=NM.

先證命題①，在線段AB上取一點(diǎn)E，使AE=NC，連接EN，如圖3，

∵△ABC是等邊三角形

∴AB=BC，∴BE=BN

∴△BEN也是等邊三角形

∴∠BEN=∠ENB=60°，∠AEN=∠NEC=120°，

∠EAN+∠ANE=60°

又∵∠ANM=60°

∴∠ANE+∠CNM=60°

∴∠EAN=∠CNM

∵CM為正△ABC的外角∠ACK的平分線

∴∠NCM=120°

在△AEN和△NCM中

∵∠EAN=∠CNMAE=NC∠AEN=∠NCM

∴△AEN≌△NCM（ASA）

∴AN=NM.

再證命題②，在線段AB上取一點(diǎn)G，使AG=NC，連接GN，如圖4，

∵五邊形ABCDE是正五邊形

∴AB=BC，GB=BN，∠B=108°

∴∠BGN=∠GNB=36°，∠GNM=∠AGN=144°

∴∠GAN+∠ANG=36°

又∵∠ANM=108°

∴∠ANG+∠CNM=36°

∴∠GAN=∠CNM

∵CM為正五邊形形ABCDE的外角∠DCK的平分線

∴∠MCK=36°

∴∠NCM=144°

在△AGN和△NCM中

∵∠GAN=∠NCMAG=NC∠AGN=∠NCM

∴△AGN≌△NCM（ASA）

∴AN=NM.

在幾何證明中，作輔助線往往可以起到“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺，本文所歸納的幾個(gè)例子就是很好的說明。