二次函數中三角形面積最大值問題解法探究

■湖南省冷水江市城東學校 謝雄俊

二次函數是初中數學知識體系中的重點和難點，它綜合幾何圖形形成的綜合題和探究題更是增加了學習的深度和廣度，對學生的思維能力和學習能力提出了更高的要求，成了近年來中考的熱點。本文將以2016年湖南省某市數學中考第26題為例，就二次函數中三角形面積最大值問題的解題思路、方法與技巧進行探討和歸納，供大家參考。

例：如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）經過點A(-1，0)，B(5，- 6)，C(6，0)。

圖1

（1）求拋物線的解析式：(y=x2-5x-6)

如圖，在直線AB下方的拋物線上是否存在點P使ΔABP的面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在請說明理由。

（3）若點Q為拋物線的對稱軸上的一個動點，試指出△QAB為等腰三角形的點Q一共有幾個？并請求出其中一個點Q的坐標。

下面著重探究問題（2）“二次函數中三角形面積最大值問題”蘊含的解題思想、方法與技巧。

解法一：割補法

解：過點B作BD⊥x軸，連接PD

圖2

因此當x= 2 時，S△ABP最大值27

評析：割補法通過靈割、巧補化不規則圖形為規則圖形或化不規則圖形為有利于面積表達的常規幾何圖形進行面積的推導和計算。本題利用割補法求△ABP的面積，關鍵在于分割出有利用面積表達的△ADP和△BDP，利用其面積和減去△ABD的面積。使用割補法解題時可考慮乘法分配律與結合律，降低運算難度。

解法二：鉛錘法

圖3

解：過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E

設P(x，x2- 5x- 6)(-1＜x＜5)，則E(x，-x- 1)

∴PE=(-x- 1)-(x2- 5x- 6)=-x2+ 4x+ 5

因此當x= 2時，S△ABP最大值27

評析：鉛錘法是求斜置三角形面積最常用的方法，其利用“橫平豎直，改斜歸正”大大降低了解題難度。如圖：

圖4

解法三：三角函數法

圖5

解：過點P作PD⊥x軸于點D，交AB于點E；過點P作PF⊥AB于點F

設P(x，x2- 5x- 6)，則E(x，-x- 1)

∵A(-1，0)，B(5，- 6)

∴當x= 2時，S△ABP最大值27

評析：銳角三角函數建立起了三角形邊角之間的關系，為此類問題的解決提供了新的思路和方法。本題因△ABP底AB為定值，求其面積只需用P點橫坐標表示PF長即可。借用三角函數性質得則進而求得△ABP面積最大值。

解法四：切線法

解：過點P作直線l∥AB，

設直線l的解析式為y=-x+b

圖6

當Δ= 0 時，解得x1=x2= 2，直線l 與拋物線只有一個交點。

∴P(2，- 12)，E(2，- 3)

∴PE=-3-(-12)= 9

∴S△ABP最大值

評析： 切線法從幾何模型的角度另辟蹊徑解決了二次函數中三角形面積最大值問題。題中因三角形底AB為定值，要求面積最大，只需高PF最大。又因為P是拋物線上一個動點，且在AB下方，可過動點P作直線AB的平行線l逐漸向下平移。移動中發現直線與拋物線交點數從2 個變為1 個時，高PF最大，此時三角形面積最大。本文從各個角度探究了二次函數中三角形面積最大值問題的解法，但在教學中，引領學生探究習題的解法，不只是為了讓學生會用不同的方法解題，重要的是啟發學生的思維，發展學生的思維，提高學生解決問題的能力。