兩階段免費增值商業模式中的定價優化與時序研究

陳小艷, 耿 維,2

(1.西南交通大學 經濟管理學院，四川 成都 610031; 2.服務科學與創新四川省重點實驗室，四川 成都 610031)

0 引言

免費是網絡經濟中的重要概念。在與免費相關的諸多商業模式中，企業向市場推出功能有限的免費版和功能升級的付費版兩種產品，通過免費版建立用戶基礎而通過付費版轉化得到利潤的模式被稱為免費增值商業模式。網絡外部性驅動著免費增值商業模式的發展。在諸如數字電視[1]、CD唱片機[2]、通訊[3]、P2P音樂分享[4]、物聯網服務[5]、在線評價系統[6]、網絡游戲[7]、虛擬世界[8]等行業中，網絡外部性都普遍存在，即每個用戶因使用同一產品或服務的用戶總數變化而感知到不同的效用[9]。網絡外部性使得消費者的決策不僅受產品價格和質量的影響，也與產品用戶總數息息相關。成本是影響免費增值商業模式的重要因素。一方面，信息產品往往高度模塊化而容易拆分功能、且研發完成后的邊際生產成本低至可以忽略，因此企業易于提供免費版產品[10]。另一方面，由于消費者需要付出使用成本，產品即使免費也不能輕易覆蓋整個市場?，F有文獻對免費版和付費版產品使用成本相同和不同的各種情形都進行了討論[11,12]。

在免費增值商業模式中，企業有兩種策略來選擇產品推出的時機。一種是同時向市場提供免費和付費兩種產品，如網易云音樂、QQ音樂等在線音樂播放器同時向用戶提供免費試聽和付費會員，各種手機應用軟件同時向用戶提供免費普及版和付費高級版等。另一種是首先向市場推出免費版產品再推出付費版產品，如美劇總是先試播免費的先導片再推出正劇，在線游戲常常先免費公測一段時間后再推出付費版本等。在第二種策略中，企業分兩階段序貫推出免費和增值產品主要是借助消費者學習來降低使用成本。一系列文獻已經發現消費者學習為企業所帶來的諸多益處：Iyengar等發現它在一定條件下可以實現企業和消費者共贏[13]；Villas-Boas發現它能夠促使消費者重復購買、建立品牌忠誠[14]；Dey等發現它可以幫助消費者從免費版產品中獲取更大的效用[15]。在這種兩階段免費增值商業模式中，率先推向市場的免費版產品將向潛在消費者提供學習和使用產品的機會，幫助用戶熟悉產品和獲得相關信息，這種學習效應有助于企業銷售后續推出的付費版產品從而增加利潤。

現有文獻已經較為廣泛地研究了同時推出免費和付費產品的單階段免費增值商業模式。例如，Haruvy和Prasad針對軟件產品討論了該模式的應用，尤其是免費版產品質量在其中的影響[16]；Lee等針對電商企業進行了討論，發現借此增大用戶規模從而在銷售付費版產品時可以獲得更高利潤[17]；Cheng和Tang討論了企業應用這種模式的獲利條件，發現企業在網絡外部性較強時更能獲利[11]。

對兩階段免費增值商業模式的研究則較少。針對企業序貫推出產品的商業實踐，目前主要有三類相關文獻可作為參考。第一類是關于企業跨渠道序貫推出產品的文獻。Elberse和Eliashberg研究了跨國市場產品擴散問題，發現產品發布的時間差直接影響著渠道間的市場關系[18]。August等針對影視資源的發布渠道進行了類似討論[19]。在這類文獻中，企業先后推出的是同一種產品，而非率先推出功能有限的免費產品。第二類是關于產品更新換代的文獻。Zhang和Seidmann基于兩階段模型分析了不同網絡外部效應影響下產品更新換代的定價問題[20]。Mehra等研究了競爭環境下產品更新問題[21]。在這類文獻中，企業先后推出的兩種產品質量或功能遞增，但都是需要付費的，這使其明顯有別于免費增值商業模式。第三類是關于免費試用的文獻。Niculescu和Wu討論了企業采用免費試用商業模式的條件[10]。Cheng等將其與單階段免費增值商業模式進行了對比分析，發現網絡外部性是影響商業模式選擇和產品設計的決定性因素[22]。在這類文獻中，企業率先推出的試用版產品雖然免費但有使用期限，與免費增值商業模式中可持續使用的免費版產品明顯不同。

本文在現有文獻基礎上，研究了兩階段免費增值商業模式中的定價優化和時序問題。首先解析地給出了此時企業對付費版產品的最優定價；然后討論了企業應用這種模式相對單階段模式獲得較高利潤的條件；最后探討了這種模式中學習效應強度對企業利潤的影響。

1 模型

企業在兩階段免費增值商業模式中先向市場提供免費版產品，再提供付費版產品。在不致誤解的情況下以質量來反映相關功能差異，即付費版產品質量為sH，免費版產品質量為sL，且sH>sL。不失一般性，將(sH,sL)記為(1,α)以簡化建模和分析，其中α∈(0,1)。與文獻一致[9,11,12]，假設消費者在使用產品前已獲知產品真實質量，并假設產品的邊際生產成本為零。

市場中消費者對產品的估值系數θ具有異質性。將市場規模標準化為1后，θ服從[0,1]上的均勻分布。假設網絡外部性直接影響消費者的估值系數[9,23～25]，并采用文獻中常用的線性估值函數[11,23,26]，即估值系數為θ的消費者對免費版產品的估值為(θ+γQ)α，對付費版產品的估值為θ+γQ，其中γ>0為網絡外部性強度、Q為產品用戶總數。記付費版的使用成本為cH，免費版的使用成本為cL，且有cL≤cH<1和cL<α。假設cH=η(α)cL，其中η(α)是α的增函數，即兩種版本的使用成本比例與質量比例有關，付費版產品質量越高則使用成本越高。本文對η(α)的具體形式不作假設，僅討論一般情形。

以企業推出付費版的時間為界，將問題分為兩個階段。在第一階段，企業只推出免費版產品，消費者根據自身所獲效用決策是否使用該產品。容易看到，在第一階段未使用產品的消費者在第二階段仍然不會使用。若消費者在第一階段使用免費版產品，則在第二階段的使用成本將降低。具體而言，該消費者在第二階段繼續使用免費版產品時將沒有使用成本，而使用付費版產品的使用成本為(cH-cL)/β,其中β≥1為學習效應強度。在此基礎上，消費者在第二階段選擇繼續使用免費版產品或購買付費版產品。顯然越大的β值對降低消費者使用成本越有利。在現實當中，企業可操縱序貫推出兩種產品的時間差長度，利用這段時間差加大營銷推廣或鼓勵消費者在社會網絡上分享經驗等來提升學習效應。無論企業采用傳統營銷方式還是社會化營銷，它都將承受一定成本。比照現有文獻[27～29]，采用二次函數形式的成本函數，記為k(β-1)2Q2，其中k>0為單位成本系數、β-1表明企業所承受的實際成本與它通過努力而實現的學習效應增加值有關、Q2為第二階段付費版產品的用戶數量。注意到，在單位成本系數給定的情形下，企業可以通過延長序貫推出兩種產品的時間差來提升學習效應。

記第一階段市場中對是否使用免費產品無差別的邊際消費者的估值系數為θ1，它滿足以下等式:

α(θ1+γQ1)-cL=0

(1)

此時Q1=1-θ1，故可求解得到產品在第一階段的用戶總數如下：

(2)

因此應有γ<1以保證Q1>0。

記第二階段企業向市場推出付費版產品時定價為p，此時市場中對繼續使用免費版產品和購買付費版產品無差別的邊際消費者的估值系數為θ2，它滿足以下等式：

(3)

此時Q2=1-θ2，故可求解得到在第二階段的付費用戶總數如下：

(4)

其中，記B=αγcH-αγcL-αcH+αcL+βαγcL-α2β-βγcL+αβ以保持表達式簡潔。

2 企業對增值產品的最優定價

考慮企業以最大化利潤為目標來確定最優價格。先考慮無約束的問題，即

(5)

由(4)和(5)式可得

(6)

由(6)式可知Π關于p是全局凹函數，從而易得無約束問題的最優解為

(7)

顯然企業的定價決策受到諸多條件的限制。首先，第二階段付費版產品用戶數量應該低于第一階段使用免費版的用戶數量，即Q2(α(cL-cH-βcL)+βcL)/αβ=p1。當價格為p1時，所有免費版產品用戶都會升級購買付費版產品。其次，付費版產品用戶數量應為非負值，即Q2>0。于是有pk(β-1)2=p3。當價格為p3時，企業銷售產品的收入全部用于支付成本。上述3個條件應當同時滿足，即max(p1,p3)p2≥p1總是成立，且p3>0。如果p1>p3，則付費版產品價格應滿足p1

綜上所述，給出如下引理。

引理1在兩階段免費增值商業模式中，企業為付費版產品定價的可行域為

圖1 付費版產品價格的可行域

命題1在兩階段免費增值商業模式中，企業對付費版產品的最優定價及企業的最優利潤為：

(8)

(9)

(10)

(11)

在兩階段免費增值商業模式中，基于直觀感覺容易認為企業在第二階段將越多的免費版產品用戶轉化為付費版產品用戶則可獲得越多的利潤，即轉化率越高越好。注意到付費版產品定價可行域的建立方式，可知當價格為p1時，轉化率達到最高值，此時所有免費版產品用戶都將購買付費版產品。但由命題1可知，最優定價實際上并不總是取值為p1，反而在更多情形下取值大于p1。具體而言，若免費版產品質量相對較低且網絡外部性強度相對較弱，則企業應通過合理定價使全部免費版產品用戶轉化為付費版產品用戶；否則，企業應保留一部分免費版產品用戶。

3 兩階段模式與單階段模式的比較

命題2若2cL/(1+cH)<α<1且γ1<γ<1，或cL<α≤2cL/(1+cH)且γ2<γ<1，則企業應采用單階段免費增值商業模式，此時企業的最大利潤為Π#=A2/4α2(1-γ)2(1-α)，其中A=-α2+α-γcL+αγcH-αcH+αcL。

將前述命題1與命題2比對，可以比較得出當免費版產品質量α、網絡外部性強度γ和學習效應強度β等參數給定時，兩階段模式相比單階段模式可帶來較高利潤的條件。記Δ=Π*-Π#，即企業采用兩階段模式相對于單階段模式所獲利潤的變化值。若Δ>0，則兩階段模式是有優勢的。學習效應強度β是影響企業是否采用兩階段模式的重要因素。在后續分析中，考慮到表達式的簡潔和分析的方便，本文將借助參數k來討論β的影響。記

(12)

(13)

(14)

(15)

命題3若0

證明由命題1和命題2分別可知，Π*有兩種取值，Π#有一種取值，于是Δ=Π*-Π#共有兩種取值，即

(16)

(17)

分別求解公式(16)和(17)可知，當且僅當00，當且僅當00，且k2

注意到若2cL/(1+cH)<α<1則γ1>γ2，若cL<α≤2cL/(1+cH)則γ1≤γ2。

命題得證。

從命題3可以看到，單位成本系數k過高時企業將不采用兩階段免費增值商業模式；若該系數較低，則企業在網絡外部性較強時總可以通過采用該模式來獲得較高的利潤，此時其所對應的網絡外部性強度最低閾值受到免費版產品質量的影響。在具體的運營實踐中，當單位成本系數滿足命題3所述要求時，企業可以首先根據免費版產品質量α所處區間，判斷當前市場中產品網絡外部性強度是否達到所需的最低閾值，若能夠達到則可采用兩階段模式，并按命題1對付費版產品進行最優定價。下面的圖2匯總地直觀給出了決策路徑。

圖2 企業采用兩階段模式的條件

4 學習效應強度對利潤的影響

學習效應強度β對采用兩階段免費增值商業模式的企業具有重要影響。從前兩節的結果來看，它對企業利潤的影響比較復雜，分式和高階多項式的存在使得要解析地給出相關閾值或者對它進行優化是相當困難的。本文在此通過數值算例進行演示。

圖3 單位成本系數不同時企業利潤隨學習效應強度的變化

從圖3中可以看到，學習效應強度對企業最優利潤的影響呈現單峰特性，即最優利潤并非隨著學習效應強度的增加而單調上升，而是存在一個明顯的峰值，在到達該峰值后若再繼續增大學習效應強度利潤反而會下降。在單位成本系數一定時，一般認為學習效應強度與序貫推出兩種產品的時差長度相關，時間越長則學習效應越強。因此企業在兩階段免費增值商業模式中應注意產品推出的時間差，不能一味地推遲付費版產品的發布。圖3還表明單位成本系數對最優利潤值和峰值位置都有顯著影響，也顯著地影響著兩階段模式相對于單階段模式的優勢區間。因此企業應當注意市場調研和成本控制，增加對該系數的認知。

圖4 兩階段模式可獲得較高利潤的區域

數值計算中所發現的企業最優利潤對于學習效應強度的單峰性意味著企業有可能對學習效應強度進行優化，即企業在完成產品設計、確定免費版產品質量α后，可根據網絡外部性強度γ的實際情況獲得最優學習效應強度β的值。通過優化學習效應強度可以進一步提升企業采用兩階段免費增值商業模式所獲得的利潤，增強兩階段模式的適用性。圖4在α-γ平面上展示了基于最優學習效應強度的利潤比較結果，其中cL=0.4，cH=0.6，k=0.01，邊界γ1和γ2均與β值無關，而邊界γ0對應β=2。圖中陰影部分表示兩階段模式所獲利潤較高的區域，若β為定值β=2，則企業僅在淺色陰影部分可獲得較高利潤，其中(1)、(2)和(3)三個子區域分別對應命題3中的三種情形；若對學習效應強度進行優化，則企業在深色陰影部分(4)中也可獲得較高利潤。

5 結論

兩階段免費增值商業模式在企業當中已經得到較為廣泛的應用。采用兩階段模式的企業利用率先推出的免費版產品向潛在消費者提供學習和使用的機會，幫助消費者降低相應付費版產品的使用成本，意圖促進付費版產品的銷售以增加利潤。這種模式在文獻中得到的討論目前還不夠充分，值得深入探究。

本文針對企業在兩階段模式中利用免費產品和付費產品推出的時間差來降低消費者使用成本的商業實踐，首先建立了一個兩階段模型，解析地給出了給定系統參數時以最大化企業利潤為目標時付費版產品的最優定價。在該管理情景當中，企業主要是在定價過高導致付費用戶數過低和定價過低導致利潤率過低當中進行權衡。與文獻當中的情形不同的是，在企業進行權衡時，學習效應顯著地影響著企業定價的靈活性，帶來明顯有別的結論。對該模型的研究發現，對轉化率越高越好的直觀認知并不符合理論結果，企業在免費版產品質量相對較高或網絡外部性強度相對較強時應保留一部分未轉化的免費版產品用戶。

然后，本文將企業在兩階段模式中所獲最優利潤與單階段模式中的結果進行了比較，得到了采用兩階段模式可獲得較高利潤的條件。在該管理情景當中，學習效應強度是給定值，除前述權衡之外，企業主要在利用兩種產品推出的時間差進行營銷的投入和產出當中進行權衡。這種權衡在關于免費增值商業模式的文獻當中還未得到充分討論。它首先受到單位成本系數的影響，即過高的單位成本系數將阻礙企業采用兩階段模式。只有單位成本系數適當時，企業才會繼續考慮兩階段模式，而此時網絡外部性的影響顯現出來，即無論免費版產品質量如何，都只有較強的網絡外部性才能支持這種商業模式。當然，網絡外部性強度的下界因免費版產品質量而變。本文的結果為企業在兩階段和單階段模式當中進行選擇時提供了決策基礎、決策路徑和關鍵閾值。關于較低單位成本系數和較強網絡外部性的發現將鼓勵企業在推出具有社交屬性等強網絡外部性的產品例如網絡游戲、職場社交等產品時采用兩階段模式，并鼓勵它們積極采用社會化營銷、病毒營銷等新興低成本營銷方式。

最后，本文借助數值算例展示了學習效應強度對最優利潤的影響，發現學習效應強度對企業最優利潤的影響可能是單峰的，并在此基礎上討論了優化學習效應強度后拓展兩階段模式適用范圍的問題。在該管理情景當中，企業在權衡利用兩種產品推出的時間差進行營銷的投入和產出時，可以通過優化學習效應強度即企業自身的投入來在一定程度上改變權衡結果，從而獲得更高的利潤。

在本文的建模和分析中，假設企業首先對免費增值商業模式當中的產品進行設計，確定免費版產品質量和付費版產品學習效應強度后，再進行產品的定價優化。這種假設有助于獲得最優價格的解析解和接下來的分析。在后續研究當中，可以進行全部或某些重要參數的聯合優化，有可能獲得進一步的管理洞察。同時，在企業利用推出兩種產品的時間差進行營銷以提升學習效應時，消費者的響應，如學習方式和策略等，對學習效應也有重要影響，消費者的這種響應可能還具有異質性從而帶來不同的學習效果。在后續研究當中，可以從學習效應角度考慮企業和消費者之間的博弈，進一步深化相關研究。