例談模型構造法在解直角三角形中的應用

2020-10-26 10:14:16

（漳浦達志中學福建·漳州 363209）

模型構造法是分析實際問題中的數量關系，構造模型，轉化為數學問題，利用相應的數學知識解決問題，它是一種有效的數學思考方法和解題策略。

1 銳角三角函數概念的理解是模型構造法的前提

銳角三角函數邊的比值隨角度的變化而變化，依托于直角三角形，不同的兩邊比值采用不同的符號。從勾股定理的掌握到銳角三角函數的概念的理解，全面地認識直角三角形，這是解直角三角形中模型構造法的前提。

例1：當梯子與地面所成的∠A滿足50°≤∠A≤75°時，梯子可以安全攀登。現有一個把6m的梯子，問：（1）這個梯子最高可以安全攀上多高的墻?

（精確到 0.1m，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

圖1

圖2

（2）當梯子底端距離墻面3m時，梯子與地面所成的∠A等于多少？這時人是否能夠安全使用這個梯子？

分析：從實際問題構造出基本模形，由斜邊和∠A的取值范圍，探討梯子可以到達的高度范圍，體現了直角三角形兩邊比值隨角度變化而變化，蘊含了函數本質。正確理解銳角三角函數的概念有助于學生快速構造模型，利用模型解決問題。

不上高山，能測山高；不下湖泊，能測河寬。解直角三角形中測量問題種類較多，但模型構造主要為以下幾類。

當觀測點在被測物的異側時，為異側模型（背靠背型），解題策略為：作垂直，構造直角背靠背型，采用異側求和法列方程解題。

例2：熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟大樓頂部的仰角為30°，看大樓底部的俯角為60°，大樓高為，此時熱氣球與大樓的水平距離有多遠？

分析：本題被測物兩端在觀測點的異側。解題策略：異側模型，作垂直，構造直角背靠背型，采用異側求和法解題。作垂線構造基本模型；以公共邊設元是解決本題的關鍵，選擇合適的關系式，構造方程解決問題。

當觀測點在被測物的同側時，為同側模型（母抱子型），解題策略為：作垂直，構造直角母抱子型，采用同側作差法列方程解題。

例3：某小島P的周圍海18里內有暗礁，一只小船由西向東航行，在點A測得小島P在北偏東60°方向上，航行12海里到達B點，又測得小島P在北偏東方向45°上。如果小船不改變航線繼續向東航行，有沒有觸礁危險？請說明理由。

分析：本題被測物的兩端在觀測點的同側。解題策略：同側模型，作垂直，構造直角母抱子型，采用同側作差法解題。作垂線構造基本模型；緊扣公共邊是解題的關鍵。

當觀測點較多且處于同一觀測平面時，可結合實際構造同側或異側模型，化難為簡。尋找不同平面的交集，即找到構成不同直角三角形的公共元素，如公共邊或公共角，使不同平面的圖形得以聯系，此類題型多為中考的創新題。

例4：龍文塔是漳州古城的標志性建筑，巍峨秀麗，俯瞰西溪。學習小組在點A處測得龍文塔頂C的仰角為45°，塔底D的仰角為30°，前進20米到點B，此時測得塔頂C的仰角為60°，求龍文塔的高？

分析：本題有兩處觀測點，都在被測物兩端的同側，條件較多，圖形較散，作出垂直，可使分散的條件聯系在一起，解題策略：同側母抱子，作差列方程，緊扣公共邊設元，使分散的已知條件聯系起來。

從不同的情境中抽象出合理的數學結構，轉化為圖形邊角問題，用規范的符號語言表述，就能把復雜的問題簡化，快速尋找到解決問題的方法和策略。

當有多個不同的觀測點時，觀測平面可能會有多個，這是多點測量模型（空間轉換型），解題策略為：尋找不同平面的交集，即找到構成不同直角三角形的公共元素，如公共邊或公共角，使不同平面的圖形得以聯系。

例5：小穎想測量河對岸樹AB的高，在樹底B的正對岸C 處，測得∠ACB=30°，河的兩岸平行。（1）若河寬 BC=60米，求樹AB的高；（2）若河寬BC的長度無法直接測量，她從點C出發，沿河岸前進20米到達點D處，測得∠BDC=60°，求樹AB的高。

分析：本題的觀測點有兩處，在測量中形成了兩個不同的平面，需要學生有一定的空間想象力，關鍵是抓住不同平面的交集，兩個不同平面直角三角形的公共邊，進行空間轉換。

幾何計算三法為勾股定理、銳角三角函數和運用相似比。數學解模要注重巧思細算，寧乘勿除是減少計算失誤的有效方法。

圖3

圖4

分析：不同的直角三角形構造可以產生不同的解法，但各種解法計算的繁易程度不同。合造的構造，能使分散的已知條件集中，化折為直，使計算更簡便，有利于更快解決問題。

解直角三角形的模型構造，蘊含多種數學思想方法。將實際問題抽象出數學問題，畫出圖形，使之轉化為解直角三角形的計算、推理問題；從圖形分析數量關系，以公共邊設元（解題關鍵），用三角函數表述邊角關系、列方程求解；解方程并檢驗解的合理性，從而使實際問題得到解決。