淺談高中生物教學中數學模型

邱圖謀

數學模型方法是生物學研究的常用方法，其在邏輯的嚴密性和量化分析的準確性上具有其他研究方法不可比擬的優勢。本文主要對高中生物教材中的數學模型的案例進行研究和挖掘，對數學模型在高中生物教學中應用的性進行探討，進而探索數學模型在高中生物教學中的運用，以期豐富高中生物教學內容，改進教學方式，提升學生科學思維能力。

1 孟德爾遺傳定律中的數學模型

遺傳規律的發現是數學模型成功應用的典范。在孟德爾之前的很長一段時間內，遺傳學研究都是停留在遺傳現象的描述，缺乏數學工具的支持，遺傳理論裹足不前。孟德爾正是用組合數學的思想對豌豆雜交實驗統計結果的分析，發現了分離定律和自由組合定律，從此開啟了遺傳學的新篇章。在單因子雜交實驗中，孟德爾分別用七對相對性狀的豌豆進行雜交，發現F1 代全為顯性性狀，F2代顯性性狀與隱性性狀的分離比均為3：1，孟德爾繼續對F2 進行自交，發現F2代中顯性性狀的個體有2/3是雜合子（原文用雜種性狀），即3：1可以拆成1：2：1。孟德爾對其中的兩對性狀進行了6代實驗，發現都符合這樣的規律，他應用歸納法推斷連續自交n代，第n代中AA：Aa：aa=2n-1 ：2 ：2n-1。在雙因子雜交實驗中，孟德爾發現F2代分離比為9：3：3：1，實際上就是兩對獨立遺傳性狀的自由組合，可以用（3：1）2表示，三因子雜交實驗結果則可用（3：1）3表示。孟德爾總結：以n表示相對性狀的數目，表現型（原文用保持穩定的組合數）為2n，基因型（原文用組合系列的項數）為3 n，分離比之和為4 n。孟德爾從觀察到的現象中抽提出數學特征，利用組合數學的原理構建數學模型，推導出各對性狀的遺傳是相互獨立互不干擾的。孟德爾進一步推斷性狀的組合是生殖細胞的組合導致的。只考慮一對相對性狀的情況下，雜合子產生的花粉細胞和卵細胞都有A和a兩種，且數量相等。不同的花粉細胞有同等機會與不同的卵細胞相結合，可得A_：aa=1：2：1，這實際上對一對相對性狀的分離現象做出了解釋。利用組合數學的思想，孟德爾接著對多對相對性狀的自由組合現象做出解釋。值得一提的是，與孟德爾同時代的達爾文在報春花的研究中也得出了3：1的比例。但是達爾文沒有受過足夠的數學訓練，對數字缺乏敏感性，沒有繼續深入研究，也就與遺傳學的重大發現失之交臂。孟德爾之后，遺傳學的另一位奠基人摩爾根在孟德爾的研究方法基礎上拓展創新，發現了遺傳學的第三定律即連鎖互換定律。

2 紅綠色盲患病率的數學模型

紅綠色盲是伴X染色體遺傳病，現行人教材將紅綠色盲當做單基因遺傳病進行處理。視錐細胞分別隨機表達某種單一的視蛋白來感受紅綠藍三種顏色。編碼綠色視蛋白的OPN1MW基因和編碼紅色視蛋白的OPN1LW基因首尾相連排列在X染色體的長臂上（Xq28）。綠色視蛋白基因被認為是紅色視蛋白基因復制而來，兩者具有高度的同源性。紅色視蛋白基因后面緊跟著一個或多個綠色視蛋白基因，但是只有排在最前面的兩個基因可以表達。高度同源的重復序列造成初級卵母細胞減數分裂時使頻繁發生不均等交叉互換和基因轉換，使紅色視蛋白基因或綠色視蛋白基因易于失活。教版教材在《調查人群中的遺傳病》的討論題中提出：“我國紅綠色盲中男性發病率為7%，女性發病率為0.5%。”，對調查數據可以分析如下：設紅綠色盲基因為，則男性群體中色盲基因頻率為p=7%，根據遺傳平衡定律易得出女性群體中色盲患者的基因型頻率=0.49%。筆者查閱資料，發現在歐洲男性紅色盲占2%，綠色盲占6%，兩者統稱為紅綠色盲，合占8%，而全色盲個體較為罕見。但是實際調查發現歐洲女性群體色盲患病率只有0.4%，比預期少了約，原因何在？這是由于我們構建的數學模型過于簡化。若將紅綠色盲作為兩對等位基因控制的疾病進行處理，得出來的結果更接近真實情況。由于同時為紅色盲和綠色盲的個體非常少，我們可以簡單認為紅色視蛋白基因和綠色視蛋白基因不會同時突變，則紅色盲基因r可表示為，基因頻率=2%，綠色盲基因g可表示為 基因頻率=6%，則女性中紅色盲患者基因型頻率=0.04%，綠色盲患者基因型頻率=0.36%，這樣就可解釋為什么女性群體色盲患病率只有0.4%。

3 種群增長的數學模型

構建數學模型解釋種群的數量變化是應用數學模型培養學生科學思維的一次重要實踐，也是高考重要考點，筆者嘗試對種群增長模型的演變過程做個簡單梳理。1789年，馬爾薩斯提出的馬爾薩斯人口模型。他假設：人口增長過程中指數增長率（exponential growth，單位時間內人口的凈增長數與人口總數之比）是常數r，r=出生率-死亡率，建立微分方程：

著名統計學家C.R.Rao曾說：“在抽象的意義下，一切科學都是數學”。生命現象的背后往往隱藏著深刻的數學原理，構建數學模型是發現生命活動本質規律的重要工具，是解決生物學實際問題的重要手段。在日常教學中充分利用課程資源，開展數學模型教學，能夠增進學生對生物學規律的理解，能夠培養學生的科學思維，提高學生解決實際的生物學問題的能力，是踐行新課程標準的必經途徑。因而，教師應該注重數學模型的學習與挖掘，在日常教學過程中滲透建構數學模型的思想與方法。

（作者單位：福州一中貴安學校）