基于H-like模型的壓電陶瓷作動器內模控制

尚愛鵬，王貞艷，賀一丹

(太原科技大學 電子信息工程學院, 山西 太原 030024)

0 引言

壓電陶瓷作動器作為一種微位移智能材料，在精密定位領域已被廣泛應用，但其在輸入、輸出關系上呈現率相關性，這種遲滯特性嚴重降低了應用端的控制精度[1]。針對系統非線性問題，現已發展形成多種建模和控制方法。比較常用的遲滯模型有支持向量機建模[2]、神經網絡建模[3]及Preisach模型[4]等。此外，針對率相關問題的建模理論可分為整體與分離兩種模型。常見的分離式模型有三明治模型、Hammerstein模型[5]及Wiener模型等，與整體式模型相比，其結構明確，在非線性問題的研究中尚有很大的發展空間。一般控制策略有自適應控制[6]、魯棒控制[7]、比例積分微分(PID)控制[8]及滑模控制[9]等。在控制方法中，內模控制法由于良好的實用性被逐漸應用到遲滯非線性的跟蹤控制中。本文采用最小二乘支持向量機(LS-SVM)和自回歸歷遍模型(ARX)組成Hammerstein-like模型來對壓電陶瓷作動器進行建模，然后在模型基礎上設計內模控制器，通過構建的實驗平臺進行跟蹤控制實驗，最后通過實驗結果驗證控制方案的有效性。

1 作動器率相關模型

1.1 Hammerstein-like模型

Hammerstein-like模型是在傳統Hammerstein模型基礎上發展得到的，它將傳統模型中的靜態非線性環節調整為動態以對壓電陶瓷作動器率相關特性進行更好的描述。模型結構如圖1所示，分別以LS-SVM和ARX模型來表示模型的遲滯非線性部分和線性動態部分。圖中，u，y分別為系統的輸入與輸出，x既為非線性模型的輸出又是線性模型的輸入。

圖1 Hammerstein-like模型結構圖

1.1.1 LS-SVM

LS-SVM通過對支持向量機的改進[10]，將誤差的二次項視為損失函數，不等式約束轉化為等式約束，能夠對凸二次規劃問題合理優化，其表達式為

(1)

式中：C為懲罰因子；yi為輸出；xi為回歸向量；ξ為預測輸出與實際輸出之間的誤差；ω,b為待辨識參數；φ(x)為非線性映射。

通過拉格朗日乘子法將優化問題轉化為求解線性方程組，即：

(2)

式中：e=[1,1,…,1]T;α=[α1,α2,…,αn]T;Y=[y1,y2,…,yn]T;Ωij=K(xi,xj)=φ(xi)·φ(xj)(i=1,2,…,n)為核函數。

非線性回歸估計模型為

(3)

(4)

式中：αi(i=1,2,…,n)為拉格朗日乘子；K(x,xi) (i=1,2,…,n)為高斯核函數[11]；σ為核參數。

1.1.2 ARX模型

ARX模型表達式為

(5)

式中：et為白噪聲信號；p,q為階數。其結構寫成傳遞函數形式為

(6)

式中：A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+aqz-q;B(z)=b0+b1z-1+b2z-2+…+bpz-p，z-1為單位延遲算子。

1.2 模型辨識

1.2.1 LS-SVM模型辨識

相關實驗結果表明，小于1 Hz信號的壓電陶瓷作動器遲滯環形狀基本不隨頻率變化而變化，故非線性部分LS-SVM模型通過1 Hz信號下的作動器數據建模。選取動態階數m=n=3，通過微粒群優化算法調整參數結果為C=9.20×1012，σ=9。

1.2.2 ARX模型辨識

首先在1～100 Hz正弦掃描輸入信號u(t)激勵下采集得到壓電陶瓷作動器的輸出y(t)，然后通過LS-SVM模型根據u(t)估計中間變量x(t)，最后由x(t)、y(t) 辨識出線性動態環節ARX模型。建模的精確度由均方根誤差和相對誤差表示，定義相對誤差與均方根誤差分別為

(7)

(8)

辨識得到的ARX模型為

(9)

2 內模控制器設計

內模控制器建立在系統逆模型基礎上，其結構簡單，需要調節的變量少，更易于應用到工程實踐中。Hammerstein-like模型是塊連接結構，其逆模型分別針對非線性部分和線性動態部分建立。內模控制結構圖如圖2所示。圖中，M為作動器辨識模型，N為Hammerstein-like模型非線性部分，G為Hammerstein-like模型線性部分，Q為前饋控制器，N-1為N的逆模型，W為G的逆模型，F為濾波器，r為期望信號。

圖2 內模控制結構圖

2.1 Hammerstein-like模型的逆

內模控制方案中,前饋控制器的設計是其關鍵環節。在整個控制結構中，以系統逆模型作為前饋控制器，非線性部分的逆模型同樣采用最小二乘支持向量機，無需深入分析壓電陶瓷作動器本身的物理機理，只需根據實驗測得的數據樣本，把當前時刻系統的輸出和歷史時刻的輸入、輸出作為LS-SVM的輸入，把當前時刻系統的輸入信號作為LS-SVM的參考輸出，得到壓電陶瓷作動器逆動態的規律。

動態線性部分G(z)的逆為

W(z)=G-1(z)

(10)

2.2 濾波器設計

在整個控制結構中，引入反饋濾波器可抑制輸出振蕩,從而使系統魯棒性得到增強。實際控制中，濾波器的使用更傾向于采用一階形式濾波器，即：

(11)

式中αf(0<αf<1)為濾波器系數。

濾波器參數的選取是否合理不僅直接關系到系統的響應性能，還會對其魯棒性產生影響。所以，應在考慮魯棒性及響應速度兩個因素的基礎上選取合適的參數。

3 實驗結果

3.1 實驗系統簡介

圖3為壓電陶瓷作動器實驗系統設備，主要由作動器、驅動電源、電渦流傳感器、dSPACE 4部分組成。

圖3 實驗設備

在實驗過程中，采樣頻率為10 kHz，信號由Simulink方框圖下載傳輸至dSPACE系統中，進行D/A轉換后由驅動電源實現對壓電陶瓷作動器的驅動，作動器與電渦流傳感器相連，傳感器將輸出位移信號進行A/D處理后再傳輸至dSPACE系統內。

3.2 建模結果

通過實驗數據采集系統測得壓電陶瓷作動器單一頻率(1～100 Hz)及復合頻率(10 Hz/20 Hz/…/90 Hz、20 Hz/40 Hz/60 Hz/80 Hz、30 Hz/60 Hz/90 Hz)下的輸入、輸出數據對，分別與對應頻率的模型輸出進行比較。圖4～6分別為不同頻率下的建模結果。模型檢驗誤差如表1所示。

圖4 60 Hz建模結果

圖5 復合頻率10 Hz/20 Hz/… /90 Hz建模結果

圖6 復合頻率30 Hz/60 Hz/90 Hz建模結果

表1 檢驗誤差

由圖4～6和表1可知，所建Hammerstein-like模型能很好地擬合壓電陶瓷作動器不同頻率下的遲滯曲線，均方根誤差為0.121 2～0.416 1 μm，相對誤差為0.013 3～0.050 5。

3.3 跟蹤控制結果

通過壓電陶瓷作動器實驗平臺進行1～100 Hz單一頻率和復合頻率期望信號進行跟蹤控制實驗。在線調整濾波器參數為αf=0.97，圖7～9分別為不同頻率下的跟蹤和誤差曲線。表2為不同頻率信號下的跟蹤誤差。由圖7～9和表2可知，基于Hammerstein-like逆模型的內模控制有著良好的跟蹤效果，不管對單一頻率和復合頻率都有較高的跟蹤精度，驗證了內模控制策略的有效性。

圖7 10 Hz跟蹤控制結果

圖8 80 Hz跟蹤控制結果

圖9 10 Hz/20 Hz/…/90 Hz跟蹤控制結果

表2 跟蹤誤差

4 結束語

針對壓電陶瓷作動器的率相關遲滯非線性問題，首先建立了1～100 Hz內統一的Hammerstein-like模型，分別以LS-SVM模型和ARX模型表示非線性部分和線性動態部分。在驗證了模型精度后，通過構造其正、逆模型設計了內模控制器，最后在實驗平臺對壓電陶瓷作動器進行了跟蹤控制實驗。對1～100 Hz內單一頻率和復合頻率信號都有良好的跟蹤控制效果，相對誤差均在10%內，滿足工程要求。