小學數學中“除法”“分數”與“比”的辨析與思考

朱立明，馬云鵬

小學數學中“除法”“分數”與“比”的辨析與思考

朱立明1，馬云鵬2

（1．唐山師范學院 教育學院，河北 唐山 063000；2．東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

在小學數學中，除法、分數和比是極容易混淆的概念，這3個概念之間既有聯系，又具有自身的特性．能否理解3者的數學本質內涵及其關系是數學深度學習成敗的關鍵，直接影響學生思維與認知的發展．除法是表示兩個數之間的運算關系，當兩個數不能整除時，結果是分數．分數的本質是一個數，是表示整體與等分的關系，是一個比率．比的本質是刻畫兩組數量之間的倍數關系，在比的運算過程中，可以借助除法來完成，比值可以用分數來表示．

除法；分數；比；深度學習

1 概念的理解——小學數學核心內容視角

從《義務教育數學課程標準（2011年版）》來看，“數與運算”的知識與技能是小學數學教育中學生必須掌握的．除法、分數與比是“數與代數”領域中的核心內容．“數與代數”領域在小學數學課程結構中所占比例是三分之二左右，是小學數學課程的重要內容，其中蘊含著多個數學核心內容，例如，數與數量、運算、式與方程等．小學數學核心內容即在小學數學的3個學習領域（數與代數、圖形與幾何、統計與概率）內，能夠聯結相應領域中不同學段的小學數學內容并為其提供持續性支持具有奠基作用的數學知識結構和數學思想方法．在解決“數與代數”領域中的問題時也會涉幾何直觀、推理能力、模型思想等[1]．下面，從數學學科核心素養的視角對除法、分數、比這3個概念進行釋義．

1.1 除法是乘法的逆運算

從數學運算視角來看，除法與加法、減法、乘法一樣，是代數思想的重要基礎．從邏輯順序視角來看，小學階段的除法要包括整數除法、小數除法、分數除法，是加、減、乘3種運算的延續，也是實數體系后繼學習的基礎，是小學數學課程中非常重要的一部分．學生學習除法之前，首先要理解除法的意義．除法是以“平均分”為基礎知識和本質屬性的，“平均分”在學生除法概念的發展過程中起到了重要的作用，除法既可以用來描述將被除數平均分成相等的幾份，也可以說明被除數是除數的幾倍．在一定程度上，除法可以視為減法的簡便運算，例如，把9個蘋果平均分給3個人，對于沒有學習除法的學生也可以根據減法來分，一個一個來分．除此之外，除法還作為乘法的逆運算，已知兩個數之積和一個因數，求另一個因數的運算，就像加法與減法互逆一樣．理解除法中蘊含的3個要素（被除數、除數、商）及其關系是學生數理邏輯思維能力的重要構成部分．從運算能力與推理能力的角度來看，除法的核心內容是算理的理解，小學階段除法的算理主要集中在分數除法與小數除法，分數除法的算理是對除以一個數等于乘以該數的倒數的理解，小數除法的算理關鍵在于對位值的理解，依據不同數位上數字所表示的意義，類比整數的除法進行運算．加減法的逆運算借助相反數來表達，而除法作為乘法的逆運算，是借助倒數來進行表達的．

1.2 分數是數系擴充產生的一種新數

從詞源來看，英文分數“fraction”一詞源于frangere，是打破、割裂的意思．在《九章算術》中將分數叫“命之”，即“命分”，而《幾何原本》中的真分數也是指部分的意思．因此，從分數的命名來看，是源于第二個定義方式，小學教材中習慣上喜歡利用“整體與等分”的方式來定義分數，這種定義的優點在于借助幾何直觀，學生容易理解，但是缺點就是在強調等分的同時，弱化了分數的本質，正如弗賴登塔爾所指出的：“測量產生的是小數而不是分數，分數的出現是為了使除法可以繼續進行下去……一旦接受了7/3，那么在計算中便可將其作為這一除法的結果來加以處理．”[2]

現代數學中，分數概念的定義方式有很多種，在小學數學教材中主要涉及以下4種：第一，商的定義（運算中出現的新數）；第二，份數定義（表示整體與等分的關系）；第三，比的定義（兩個事物量之間的整數比）；第四，數線定義（數與點的對應關系）[3-6]．分數的這些概念涉及了連續量與離散量的不同情境，并具有一些特殊的性質，如等值、稠密性等．目前，雖然小學數學教材中盡量避開第一種定義方式，但是這種定義體現了分數的本質，分數首先是一個數，是為了保證運算封閉而生成的新的數字符號，是數域擴張的產物．運算為分數概念奠定了基礎，但是分數不是運算的過程，而是結果．因此，分數的現實意義主要有兩個．第一個是數系的擴張，體現了除法運算結果，這里需要注意的是分數是除法運算的結果（數），而不是除法運算本身．分數與自然數、整數等一樣，可以在具體情境中形成分數的概念，通過感悟分數的大小比較、基本運算、數量表達等來理解分數的意義．第二個是整體與等分，通過等分形成分數單位，這是非常重要的概念，無論是在分數的運算，還是分數的大小比較，都是以分數單位作為基礎；從幾何直觀的角度來看，分數可以利用幾何圖形來直觀表達，這是數形結合思想方法的集中體現，便于抽象的分數形象化．

1.3 比是對數量的倍數關系的刻畫

比的概念在中國大陸現行教材中的描述如下：按例子那樣兩個數量之間的倍數關系也說成比，兩個數的比表示兩個數相除，比值通常用分數表示，也可用小數或整數表示[7]．兩個數量之間的這種關系還可以說成比，兩個數相除又可以叫做兩個數的比，比的前項除以后項得到的商叫做比值，兩個數的比可以寫成分數形式[8]．按例子那樣，兩個數相除，又叫做這兩個數的比[9]．比表示兩個數之間的一種關系，比也可以用分數的形式表示，兩個數的比可以寫成兩個數相除的形式，兩個數相除的形式也可以寫成兩個數的比[10]．在中國臺灣的小學數學教材上對比的刻畫分為兩個階段，1993年以前的教材中，“比”是指兩個量的倍數關系的記錄，而1993年新編的教材中，“比”是指并置的兩個量的對等關系（或稱為配對關系、對應關系）的記錄[11]．由此可以看出，中國大陸的教材大體上從兩個方面對比的概念進行描述：一是刻畫數量之間的關系，這種描述揭示了比的本質；二是借用除法與分數來刻畫比，這描述模糊了比的本質，容易造成學生對比與除法之間關系的混淆．在中國臺灣的教材中更清晰地闡述了比的本質．

《辭?！穼Ρ鹊淖⑨尩娜氖牵簲祵W名詞．比較兩個同類量和的關系時，如果以為單位來度量，稱為比，所得的數稱為“比值”，記∶=．“∶”是比號，比號前的量稱為“比的前項”，比號后的量稱為“比的后項”．《辭?！分嘘P于比的解釋的缺陷是沒有概括出兩個不同類量比較的情境．實際上數學中比的本質在于揭示兩組量之間的倍數關系，其中包括同類量與不同類量．同類量相比，所得比值單位為1，例如，長方形的長與寬之比，溶液的顏色之比，夏普比等．不同類量相比，所得比值單位是復合單位，例如，路程與時間之比，總價與數量之比等．比描述了兩個量之間關系的一般性，即表達同一比值的兩個量并不是唯一的，只是它們的比值是固定不變的，這樣的兩個量有無窮多個．因此，比是對量的關系的一種表達，這里的量蘊含了同類量與不同類量兩種情況．

2 概念關系的辨析

對于比、除法與分數3者之間的關系，可以利用圖1來表示，從圖中可以看出，除法是一種數學運算，表示兩個數之間的運算關系，它的操作對象是數，當兩個數不能整除時，其運算結果就是分數；比的本質是表示兩組數量之間的倍數關系，其比值結果可以用分數來表示，在比值的運算過程中，可以借助除法運算來完成；分數是一個數字符號，與自然數、整數一樣，它的出現是數域擴充的結果．也正因為分數是一個數，才能夠將分數作為除法與比的結果．

2.1 除法與比之間的關系

除法是表示兩個數之間的運算關系，而比的本質是兩組數量之間的運算關系．因此，在理解除法與比的關系之前，需要明確數與數量的區別，數量是對現實生活中具體事物的量的抽象，其本質是多與少．例如，一塊石頭，兩只鳥，三顆星，四匹馬，五朵花，六頭牛，七張紙，八扇門，九個人，十條魚，數量中也含有數字，但數量中的數字是對事物的描述，帶有實際背景．數是對數量的抽象，其本質是大與小，在形式上，數量去掉數量詞得到了數，實質上，數的形成是擺脫實際背景的過程[12]．例如，數字“1”不再表示某一種具象的事物，而是一般化的符號，每一個具體的時間都是這個數字符號的特例，數比數量要更加抽象．也可以說，數是對數學世界的表達，而數量是對現實世界的描述．

圖1 概念之間的關系

除法與比的區別表現在以下兩個方面．第一，兩者對象不同．除法是數學中表示兩個數的運算；比是現實中表示兩組數量的關系，例如，長方形的長與寬之比為1∶3，則表示量之間的倍數關系，可以將滿足這種長寬之比的長方形視為一個集合，那么2∶6，3∶9，1.5∶4.5……都是這個集合的元素，這些長方形的形狀相同．比是一個等價類，這是除法和比之間的本質區別．第二，兩者功能不同．除法源于乘法，是平均分的數學化過程；比源于度量，包含可公度與不可公度，解決了可度量屬性（長度、面積、體積）與不可度量的屬性（顏色、形狀、質地）的可比性．因此，比是一種對數量倍數關系的數學表達，而除法是對數字的運算．除法與比的共性表現在除法與比都包含了結果，除法的結果是商，而比的結果是比值．除法與比的結果都可以用分數來表示，在計算比值的過程中可以用除法來表示比．

2.2 比與分數之間的關系

分數作為一種數，其表現形式與自然數、整數有一定的區別，自然數或整數的相等時只有自身相等，而分數則不同，分數相等不僅是自身相等，還可以根據分數的基本性質來構建一個等價類．每個分數的等價類中都包含一個最簡分數，最簡分數是分數等價類中的“代表分數”，需要強調的是，分數等價類中的所有分數并非不同的分數，而是“代表分數”的不同形式．前面已經提過，比也是一個等價類，最簡數量比就是比的等價類的“代表比”，其它的比均是這個“代表比”的不同形式．從這一點來看，分數和比之間存在相似之處．因此，分數可以作為比值來刻畫比．

雖然分數與比都可以視為一個等價類，但是兩者之間并非完全相同，也不能相互替代．首先，分數是數的等值變形，分數的等價類描述的是一種等價數，例如1/2可以用2/4，3/6…來表示，這也是教材一直強調的，分數的本質在于它是數．而比是數量關系的等值變形，比的等價類描述的是一種等價關系，只是用分數來表示它的比值結果．其次，分數與比的單位不同，分數單位是通過等分得到的，因此，分數本身具有無量綱性．例如，將一個整體平均分為5份，每份都是1/5，與整體的大小無關．而對于不同量之間的比，其單位是復合的，由簡單量詞相乘或者相除得到，因此，不同量的比值是一個有量綱的量．

2.3 分數與除法之間的關系

在分數的定義中，有一種方式就是借助除法來進行定義的，即分數是整數除以整數（≠0）所得的商[13]，這種定義方式體現了分數的本質．可以說，除法運算的封閉性是分數產生的基本根源，有了分數，就能準確描述那些可細分的量，分數的引進是數學發展的外在動力和內在動力共同作用的結果，蘊含著數學理性精神[14]．反過來，也可以對分數進行除法運算，在數系的擴充過程中，通過相反數概念來界定負數，從而實現自然數到整數的擴充，同樣，也可以利用倒數來實現整數到分數的擴充．而倒數可以通過除法來定義：對于∈Z且不為0，滿足×=1的數稱為的倒數，表示為1/，這樣就得到了分數1/，除法與分數1/的關系表示為÷=×1/．有時也把除法寫成倒數的形式÷=/，雖然在形式上這與分數是一致的，但是兩者之間具有本質差異，其根本的區別在于除法是一種基于數字的數學運算，是平均分的數學化過程，而分數是除法運算的結果，已經是一個數字．

3 對“除法”“分數”與“比”教學的啟示

基于以上分析可以看出，除法、分數與比之間既存在著必然的聯系，又具有一定的區別．研究者通過梳理3者之間的共性與特性．希望能夠對除法、分數與比這3個概念的教學有啟示．

3.1 抓住本質——凸顯概念的基本特性

數學概念是數學的核心基礎，在數學教學占有重要的地位，每一個數學概念都是事物在數量關系和空間形式方面概括抽象出來的理性結果，是人們對事物本質屬性的認識，需要學生經歷概念的抽象形成過程，從整體上感悟數學概念的屬性特征，突出概念的本質．在概念教學之初，要讓學生了解并認同引入這一概念的必要性，使學生感悟數學概念的獨特性，這對幫助學生有意識地去理解概念是非常有利的．

除法、分數與比這3個數學概念，雖然具有一定的相似性，但是互相之間又無法替代，各具教育價值．以比為例，“比”的概念教學，不能過于強調“兩個數相除就叫做兩個數的比”，要解決學生意識中“既然相除就是比，為什么要學習比？”這一質疑，而這個問題也是存在于大多數學生和教師心中的一個疑惑．為了解決這個疑惑，在學習比的概念時，首先要讓學生基于“比的意義”感知數學中引入“比”的概念的教育價值，凸顯比的重要性與必要性，然后基于“比的應用”獲得利用比的意義來解決實際問題，突出比的優越性與實用性．因此，在教學中，更應該讓學生明確分數、除法與比這3個概念的獨特價值，以及它們之間的本質特征．

3.2 橫向鏈接——建構概念的聯結關系

數學作為一個歷史概念，經過了漫長的發展過程，形成了龐大、系統的知識體系，概念之間是相互聯結的，除了要辨別除法、分數與比之間的本質特征，還要構建3者之間的聯結關系，并且以這3個概念為核心內容，輻射其它的數學知識與技能．在教學中，教師不僅要關注知識的生長點，更應該注重相關知識的連接點與延伸點，概念表征間的轉換能力是影響學生數學學習、問題解決及產生、有意義學習的重要因素[15]．從整體視角出發，形成概念的網絡體系，如圖2所示．例如，談及分數，學生腦海中會出現倒數、通分、約分、數系擴張、小數等相關概念，以分數為中心，可以生成一系列的概念，形成核心內容群，這樣更有利于學生對分數的認識．

圖2 核心內容群結構

從數學史來看，比可以與其它數學內容建立起關聯．比與音樂，古希臘學者畢達哥拉斯發現，可以把音樂歸結為線段長度之間的關系；比與黃金分割，分一線段為二線段，當整體線段比大線段等于大線段比小線段時，則稱此線段被分為中外比[16]．在小學教學中，比可以涉及到度量、正比例、反比例、比值、函數等相關概念，教師就是要幫助學生建立起概念之間的聯系，使新信息與原有認知結構中的有關概念相互發生作用，實現新舊知識的意義的同化，從而使原有的認知結構發生積極變化[17]．學生要更好地理解一個數學概念，一個有效途徑就是以該概念為核心構建一個結構網絡，網絡的結點與線路越多，概念的理解就越深刻，這是教學的關鍵所在．

3.3 創設情境——實現概念的深度學習

在概念教學中，學生學習數學概念是有一定難度的，為了解決學生學習上的困難，需要根據所教數學概念的特征，在數學概念的抽象邏輯建構基礎上，將數學概念情境化、生活化、活動化．選擇恰當的教學素材，創設適切性的教學情境，情境的創設要體現數學學科的本質，形成學生的認知沖突，使學生在沖突的過程中，經歷從具體情境中抽象出數學概念，從多個角度對數學概念進行深刻的理解，進而使學生根據問題情境的具體需求，通過改變概念的認識角度，形成數學概念的不同表征方法．

小學階段，學生的心理特征與知識結構表現為形象性與基礎性，這與數學概念的抽象性構成矛盾．以分數為例，分數的發展史漫長而曲折，學生對分數的理解過程就是整個分數發展史的縮影．分數的概念有很多種定義方式，需要讓學生能從不同的定義方式來理解．學生在概念認識階段，應該側重“商的定義”方式，讓學生體會分數是數；在概念分析階段，應該側重“份數定義”方式，讓學生進一步體會分數的整體與部分的內涵；在概念構建階段，應該側重“比的定義”與“線數定義”，讓學生感悟分數概念的多元化，參與分數概念的探究過程，讓學生盡量接觸各種不同的分數情境，引發學生的深度思考，通過問題探究與內容理解實現感念的深度學習[18]，教師能夠系統掌握分數的各種意義十分必要，這是遴選與設計分數問題的基礎，建立分數意義與問題之間的關聯有利于提高小學生對分數概念的認知與理解．

3.4 廣泛拓展——體現概念的核心素養

從國際數學教育發展趨勢來看，許多國家都將數學核心素養視為課程設計的關鍵因素，傳統的數學教學受制于應試教育，教學中更多的是以基礎知識與基本技能為價值取向，忽略了對學生數學素養的培養．數學的課堂開始從“以知識為本”逐漸轉向“以人為本”，數學核心素養也逐漸地蘊含于教學之中．在義務教育階段已經出現了10個數學核心素養，即數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識以及創新意識，這些數學核心素養都適應了時代對人才培養的需求[19]．

從數學核心素養的視角來理解這3個概念的教育價值，除法是一種數學運算，集中表現為學生運算能力與推理能力．如在學習除法時，看除法，想乘法，是利用兩者之間互為逆運算，這個過程可以表示為，若×=，又因為除法是乘法的逆運算，所以可以得到=÷，這實際上是一個完整的演繹推理的過程．分數首先是數，集中表現為數感．對于數感強的學生，會有意識地把分數與整數、自然數建立聯系，認識到分數的本質．而比則表現為符號意識，可以利用數學符號的一般性來表示比的等價類，尤其是由此衍生而成的正比例與反比例，正比例函數與反比例函數蘊含著符號意識．因此，在學習除法、分數與比等內容時，很容易聯系相關的核心素養，除法的學習過程有利于形成學生的運算能力與推理能力，分數的學習過程有利于形成學生的數感與幾何直觀，比的學習過程有利于形成學生的符號意識．

[1] 馬云鵬．關于數學核心素養的幾個問題[J]．課程·教材·教法，2015，35（9）：36–39．

[2] 弗賴登塔爾．作為教育任務的數學[M]．陳昌平，譯．上海：上海教育出版社，1995：185．

[3] 史寧中．數學與數學教育[M]．長春：東北師范大學出版社，2007：227．

[4] 史寧中．基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[J]．北京：高等教育出版社，2013：13–16．

[5] 張奠宙．小學數學研究[M]．北京：高等教育出版社，2009：78．

[6] 吳正憲，劉勁苓，劉克臣．小學數學教學基本概念解讀[M]．北京：教育科學出版社，2014：161．

[7] 戶江，楊剛．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．北京：人民教育出版社，2014：1．

[8] 孫麗谷，王林．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．南京：江蘇教育出版社，2014：1．

[9] 劉堅，孔企平，張丹．義務教育教科書數學六年級（上冊）[M]．北京：北京師范大學出版社，2014：1．

[10] 張天孝．義務教育小學實驗教科書數學六年級（上冊）[M]．杭州：浙江教育出版社，2010：1．

[11] 王永．比是什么——臺灣地區關于“比”的教材改革的啟示[J]．小學教學（數學版），2009（6）：32–33．

[12] 史寧中．基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題[M]．北京：高等教育出版社，2013：3–7．

[13] 蒲淑萍．“中國美國新加坡”小學數學教材中的“分數定義”[J]．數學教育學報，2013，22（4）：21–24．

[14] 章敏．關于分數教學的思考[J]．課程·教材·教法，2015，35（3）：63–67．

[15] ?BEHR M J, WACHSMUTH I, POST T R. Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment [J]. Journal for Research in Mathematics Education, 1984, 15 (11): 323–341.

[16] 史寧中，娜仁格日樂．小學數學教科書中的比及其教學[J]．數學教育學報，2017，26（2）：1–5．

[17] 朱立明，馬云鵬．基于新課標的數學價值感悟研究[J]．數學教育學報，2014，23（5）：33–35，55．

[18] 王躍紅．“數”的知識建構特點與課程教學建議[J]．課程·教材·教法，2008，28（8）：45–48．

[19] 朱立明．基于深化課程改革的數學核心素養體系構建[J]．中國教育學刊，2016（5）：76–80．

A Comparison and Contrast of Division, Fraction, and Ratio in Elementary School Mathematics

ZHU Li-ming1, MA Yun-peng2

(1. Faculty of Education, Tangshan Normal University, Hebei Tangshan 063000, China; 2. School of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

It is very easy to confuse the concepts of division, fraction, and ratio in primary school mathematics. Not only are there different relationships among these concepts, but they also exhibit different features. Whether students understand mathematical concepts and their relations is important to deep learning and directly influences the development of students’ thinking and cognition. Division means an operation between two numbers, and the result of this operation is a fraction when two numbers cannot be divided. The essence of a fraction is a number, or a ratio, which means a symbolic relationship between a part and whole. The essence of ratio is a relationship between two groups of numbers. Division can be used to compute the problems of ratios and the specific value can be a fraction.

division; fraction; ratio; deep learning

G632.4

A

1004–9894（2020）05–0032–04

朱立明，馬云鵬．小學數學中“除法”“分數”與“比”的辨析與思考[J]．數學教育學報，2020，29（5）：32-35．

2020–03–26

河北省高等學校人文社會科學研究項目——數學新手型教師關鍵能力生成機制的跟蹤研究（SZ18058）；河北省教育廳人文社會科學重點項目——河北省小學生課業負擔測評模型構建與應用研究（SD182012）

朱立明（1986—），男，河北承德人，講師，博士，主要從事小學數學教育研究．

[責任編校：陳漢君、陳雋]